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1、第 1 讲函数与方程思想 1函数与方程思想的含义 (1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本 质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使 问题获得解决经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等 (2)方程的思想， 就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程， 通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决方程的教 学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问 题方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系 2和函数
2、与方程思想密切关联的知识点 (1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当 y0 时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离 不开不等式 (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要 (3)在三角函数求值中，把所求的量看作未知量，其余的量通过三角函数关系化为未知量的表 达式，那么问题就能化为未知量的方程来解 (4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才 能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论 (5)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立
3、函数表达式的 方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切. 热点一函数与方程思想在不等式中的应用 例 1(1)f(x)ax33x1 对于 x 1,1总有 f(x)0 成立，则a_. (2)设 f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x0，且 g(3)0，则不等式f(x)g(x)0 即 x(0,1时， f(x)ax33x10 可化为 a 3 x 2 1 x 3. 设 g(x) 3 x 2 1 x 3，则 g(x) 3 12x x 4 ，所以 g(x)在区间0， 1 2 上单调递增，在区间 1 2，1 上单 调递减， 因此 g(x)max g 1 2 4，从而
4、 a4； 当 x0， 所以 x0 时， F(x)也是增函数 因为 F(3) f( 3)g( 3)0 F(3) 所以，由图可知F(x)0 或 f(x)0 或 f(x)max3 2 Cm 3 2 Dm0 恒成立， 所以 f(x)在1， )上是增函数， 故当 x1 时， f(x)minf(1)3， 即当 n1 时， (bn)max 1 6， 要使对任意的正整数n，不等式bnk 恒成立， 则须使 k(bn)max 1 6， 所以实数k 的最小值为 1 6. 思维升华(1)等差 (比)数列中各有5 个基本量，建立方程组可“知三求二 ”； (2)数列的本质是定义域为正整数集或其有限子集的函数，数列的通项公
5、式即为相应的解析式， 因此在解决数列问题时，应注意利用函数的思想求解 (1)(2014 江苏 )在各项均为正数的等比数列 an中，若 a21，a8a62a4，则 a6 的值是 _ (2)已知函数f(x)(1 3) x，等比数列 a n的前 n 项和为 f(n)c，则 an的最小值为 ( ) A 1 B1 C.2 3 D 2 3 答案(1)4(2)D 解析(1)因为 a8a2q6，a6 a2q4， a4a2q2，所以由a8a62a4得 a2q6a2q42a2q2，消去 a2q 2，得到关于 q2的一元二次方程(q2)2q220，解得 q22，a6a2q41224. (2)由题设，得a1f(1)c
6、 1 3c； a2f(2)cf(1)c 2 9； a3f(3)cf(2)c 2 27. 又数列 an是等比数列， ( 2 9) 2(1 3c)( 2 27)，c1. 又公比 q a3 a2 1 3， an 2 3( 1 3) n1 2(1 3) n，nN*. 且数列an 是递增数列， n 1时， an有最小值a1 2 3. 热点三函数与方程思想在几何中的应用 例 3已知椭圆 C：x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 2 2 .直线 yk(x1)与椭 圆 C 交于不同的两点M，N. (1)求椭圆 C 的方程； (2)当 AMN 的面积为 10 3 时，求
7、 k 的值 解(1)由题意得 a2， c a 2 2 ， a 2b2c2， 解得 b2. 所以椭圆C 的方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)由 y k x1 ， x 2 4 y 2 2 1 得 (1 2k2)x2 4k2x 2k240. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则 x1x2 4k 2 12k 2，x1x2 2k 24 12k 2. 所以 |MN|x2x1 2 y 2y1 2 1k2 x1x2 24x 1x2 21k 2 46k 2 12k 2. 又因为点A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d |k| 1k 2， 所以 AMN 的面积为 S 1 2
8、|MN| d|k| 46k 2 12k 2. 由 |k|4 6k 2 1 2k 2 10 3 ，解得 k 1. 所以， k 的值为 1 或 1. 思维升华几何最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一 般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个 ) 变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决 (1)(2014 安徽 )设 F1，F2分别是椭圆E：x 2y 2 b 21(01，则双曲线 x 2 a 2 y 2 a1 21 的离心率 e 的取值范围是 () A(1，2) B(2，5) C2，5 D(3，5) 答案(1)x2 3
9、 2y 21 (2)B 解析(1)设点 B 的坐标为 (x0，y0)， x2 y 2 b 21，且 01 时， 0bcBacb CcabDcba 答案C 解析0 1 2 1 log 2 1， 即 01，所以 cab. 2(2014 福建 )设 P，Q 分别为圆 x 2 (y 6)22 和椭圆 x 2 10 y21 上的点，则P， Q 两点间的 最大距离是 () A5 2 B.462 C72 D6 2 答案D 解析如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x2 (y6)2r 2(r0)，与椭圆方程x 2 10y 21 联立得方程组，消掉 x 2 得 9y212yr2460. 令 1
10、2249(r 246)0， 解得 r 250， 即 r5 2. 由题意易知P， Q 两点间的最大距离为r262， 故选 D. 3(2014 江苏 )在平面直角坐标系xOy 中，若曲线yax 2b x(a，b 为常数 )过点 P(2， 5)，且 该曲线在点P 处的切线与直线7x2y 30 平行，则ab 的值是 _ 答案3 解析yax2 b x 的导数为y 2ax b x 2， 直线 7x2y3 0的斜率为 7 2. 由题意得 4a b 2 5， 4a b 4 7 2， 解得 a 1， b 2， 则 ab 3. 4(2014 福建 )要制作一个容积为4 m 3，高为 1 m 的无盖长方体容器已知该
11、容器的底面造价 是每平方米20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是_(单位： 元) 答案160 解析设该长方体容器的长为x m，则宽为 4 x m又设该容器的造价为y元，则 y2042(x 4 x)10， 即 y8020(x 4 x )(x0) 因为 x 4 x 2x 4 x4(当且仅当 x 4 x ， 即 x2时取 “ ”)， 所以 ymin80204160(元) 押题精练 1函数 f(x)的定义域为R， f(1)2，对任意xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解集为 () A(1,1) B(1， ) C(， 1) D(， ) 答案B 解析f(x)2 转化为 f (x)
12、20，构造函数F(x)f(x)2x， 得 F(x)在 R 上是增函数 又 F(1) f(1) 2(1)4， f(x)2x4， 即 F(x)4 F(1)，所以 x1. 2设直线xt 与函数f(x)x 2，g(x)ln x 的图象分别交于点 M、N，则当 |MN|达到最小时t 的值为 () A1 B.1 2 C. 5 2 D. 2 2 答案D 解析可知 |MN|f(x) g(x)x2ln x. 令 F(x)x2ln x，F(x)2x 1 x 2x 21 x ， 所以当 0 2 2 时， F(x)0， F(x)单调递增， 故当 xt 2 2 时， F(x)有最小值，即|MN|达到最小 3 (2014
13、 辽宁 )当 x2,1时， 不等式 ax 3x24x30 恒成立，则实数 a 的取值范围是 ( ) A5， 3 B6， 9 8 C6， 2 D 4， 3 答案C 解析当 x0 时， ax 3x24x30 变为 30 恒成立，即 aR. 当 x(0,1时， ax3x24x3，a x 24x3 x 3 ，所以 a x 2 4x3 x 3 max. 设 (x) x 24x3 x 3 ， 所以 (x) 2x4 x 3 x2 4x3 3x2 x 6 x 2 8x9 x 4 x9 x1 x 40， 所以 (x)在(0,1上递增， (x)max (1) 6.所以 a6. 当 x2,0)时， a x 24x3
14、 x 3，所以 a x 24x3 x 3 min. 仍设 (x) x 24x3 x 3， (x) x9 x1 x 4. 当 x2， 1)时， (x)0， (x)在( 1,0)上单调递增 所以当 x 1 时， (x)有极小值，即为最小值 而 (x)min ( 1) 143 1 2，所以 a2.综上知 6a2. 4若关于x 的方程 (2 2 |x2|)22a 有实根，则实数 a 的取值范围是_ 答案1,2) 解析令 f(x)(22 |x2|)2.要使 f(x)2a 有实根，只需 2a 是 f(x)的值域内的值f(x)的 值域为 1,4)，1a20，即 (a1) 24a2 3a22a 1(3a1)
15、(a1)0， 10，x1x2 a1 a . 设点 O 到直线 g(x)xa 的距离为d，则 d |a| 2 ， S 1 2 11 2|x 1x2| |a| 2 1 2 3a 22a1 1 2 3 a1 3 24 3.11)， M：(x1) 2y21，P 为椭 圆 G 上一点，过P 作 M 的两条切线PE、PF，E、F 分别为切点 (1)求 t|PM |的取值范围； (2)把PE PF 表示成 t 的函数 f(t)，并求出f(t)的最大值、最小值 解(1)设 P(x0，y0)，则 x 2 0 a 2 y 2 0 a 211(a1)，y 2 0(a 21) 1 x 2 0 a 2， t2|PM |
16、 2(x 01) 2y2 0(x01) 2(a21) 1x 2 0 a 2 1 ax0 a 2， t 1 ax0 a . ax0a， a1t a1(a1) (2)PE PF |PE |PF |cosEPF|PE | 2(2cos2EPM1) (|PM | 21) 2 |PM | 21 |PM| 2 1 (t 21) 2 t 21 t 2 1 t 22 t 23， f(t)t2 2 t 23(a1 ta1) 对于函数f(t)t 22 t 23(t0)，显然在 t(0， 4 2时， f(t)单调递减， 在 t 4 2， )时， f(t)单调递增 对于函数f(t)t 22 t 23(a1ta1)， 当 a 4 21，即 a1 4 2时， f(t)maxf(a1)a 22a2 2 a 1 2， f(t)minf(a 1)a 22a2 2 a1 2； 当12a 4 21 时， f(t)maxf(a1)a 22a2 2 a1 2， f(t)minf( 4 2)223； 当 1a 12时， f(t)maxf(a1)a22a2 2 a1 2， f(t)minf( 4 2)223.