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1、中考数学复习指导：垂径定理在实际问题中的应用举例 1 / 2 垂径定理在实际问题中的应用 “数学源于生活， 生活中充满着数学”, 我们刚刚学过的垂经定理在生活中就有着广泛的 应用，中考中也常常体现这一点，现采撷几例, 以飨读者 例 1 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图1 所示，为配到与原来大小 一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（） A第块 B第块 C第块 D第块 析解： 显然，小明带到商店去的应是一块能确定其圆心和半径的玻璃碎片，观察图中的 玻璃碎片，根据垂径定理可知，由第块可确定出圆心和半径（如图2 所示），故选答案 B. 例 2 高速公路的隧道和桥梁最多如
2、图 3 是一个隧道的横截面，若它 的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB=10 米，净高CD=7 米， 则此圆的半径OA=（） A.5 B.7 C. 5 37 D. 7 37 析解： 本题主要考查垂径定理与勾股定理的知识.设圆的半径为r，有 (7r)2+5 2=r2. 解之得 ,r= 7 37 . 故选 D. 例 3 兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图4 所示，已知 AB=16m，半径OA=10m ，高度CD为 _m 析解 : 考查垂径定理及其应用, 如图根据垂径定理, 三角形ADO 是 Rt , 所以 OD= 2216 10()6 2 ,CD=106=4, 填 4. 例 4 如图是“明
3、清影视城”的圆弧形门，黄红同学到 影视城游玩， 很想知道这扇门的相关数据，于是她从景点 管理人员处打听到： 这个圆弧形门所在的圆与水平地面是 相切的，AB=CD=20cm， 且 AB ， CD与水平地面都是垂直的根 O D A B C 图 3 D B A O C 图 4 O M N G 图 5 图 1 中考数学复习指导：垂径定理在实际问题中的应用举例 2 / 2 据以上数据，请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？ 析解 : 本题解决的关键是利用垂径定理构造直角三角形，进行运用勾股定理求出圆弧形门 所在圆的半径 . 如图 5，连接 AC ，作 AC的中垂线交AC于 G ，
4、交 BD于 N，交圆的另一点为M ，由垂径定 理可知： MN 为圆弧形的所在的圆与地面的切点，取 MN 的中点 O ，则 O为圆心， 连接 OA 、OC ， AB BD，CD BD ， AB CD AB=CD,四边形 ABCD 为矩形 , AC=BD=200cm,GN=AB=CD=20 cm, AG=GC= 1 2 AC=100 cm 设 O的圆心为R,由勾股定理得 OA 2=OG2+AG2,即 R2=(R- 20)2+1002, 解得 R=260 cm, MN=2R=520 cm 答: 这个圆弧形门的最高点离地面的高度是=520 cm 总评：垂径定理及其推论是圆中的重要性质，它是根据圆的对称
5、性推导出来的，希望同 学们熟练掌握其内容，并会灵活应用，同时注意它经常和勾股定理结合来解决问题。 备用： 每位同学都看到过日出时美丽的景色. 图 4 是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图 上”太阳与海平线交于A、B两点，他测得“图上”圆的半径为5 厘米， AB=8厘米，若从目 前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16 分钟，则 “图上” 太阳升起的速度为（） A. 0.4厘米 / 分 B. 0.5厘米 / 分 C. 0.6厘米 / 分 D. 0.7厘米 / 分 解析 ：作与弦AB垂直的直径，交AB于点 C，交圆 O于点 D ，连接 OB. 根据垂径定理可知BC=2 1 AB=4 （厘米） . 在 Rt OBC 中， OC= 22 BCOB= 22 45=3(厘米 ). 所以 DC=OD+OC=8（厘米） . 故“图上”太阳升起的速度为816=0.5 （厘米 /分），应选择答案B。