2019中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题(word版).pdf

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1、2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 1 / 18 等腰三角形的存在性问题解题策略 专题攻略 如果 ABC 是等腰三角形，那么存在AB AC， BA BC， CA CB 三种情 况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分 线 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以 使得 解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般 也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 例题解析 例?如图 1-1，在平面直角坐标系xOy 中，已知点 D 的坐标为 (3, 4)，点 P 是 x 轴正半 轴上的一个动点

2、，如果DOP 是等腰三角形，求点P 的坐标 图 1-1 【解析】分三种情况讨论等腰三角形DOP： DODP ， ODOP， POPD 当 DODP 时，以 D 为圆心、 DO 为半径画圆，与x 轴的正半轴交于点P，此时点 D 在 OP 的垂直平分线上，所以点P 的坐标为 (6, 0)（如图 1-2） 当 ODOP5 时， 以 O 为圆心、OD 为半径画圆， 与 x 轴的正半轴交于点P(5, 0) （如 图 1-3） 当 POPD 时， 画 OD 的垂直平分线与x 轴的正半轴交于点P， 设垂足为 E （如图 1-4） 在 RtOPE 中，cos DOP OE OP 3 5 ，OE 5 2 ，所以

3、OP 25 6 此时点 P 的坐标为 ( 25 6 ,0) 图 1-2 图 1-3 图 1-4 上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中 和画好图就知道答案了，只需要对进行计算 代数法先设点P 的坐标为 (x, 0)，其中 x0，然后罗列 DOP 的三边长（的平方） DO 252，OP2x2，PD2(x3)2+42 当 DODP 时， 52(x3)2+4 2解得 x6，或 x0 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 2 / 18 当 x0 时既不符合点P 在 x 轴的正半轴上，也不存在DOP 当 OD OP 时， 52 x2解得x

4、5当 x 5 时等腰三角形DOP 是存在的，但 是点 P 此时不在x 轴的正半轴上（如图1-5） 当 POPD 时， x2 (x 3)2+42这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义 是两条直线（ x 轴和 OD 的垂直平分线）有且只有一个交点 代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验 图 1-5 例?如图 2-1，在矩形 ABCD 中，AB6，BC 8，动点 P 以 2 个单位 /秒的速度从点A 出发，沿AC 向点 C 移动，同时动点Q 以 1 个单位 /秒的速度从点C 出发，沿CB 向点 B 移 动，当 P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动在 P、Q 两点

5、移动的过程中，当 PQC 为等腰三角形时，求t 的值 图 2-1 【解析】在P、Q 两点移动的过程中，PQC 的 6 个元素（ 3 个角和 3 条边）中，唯一 不变的就是 PCQ 的大小，夹 PCQ 的两条边CQt，CP 102t.因此 PQC 符合“边 角边”的解题条件，我们只需要三个C 就可以了，在C 的边上取点P 或 Q 画圆 图 2-2 图 2-3 图 2-4 如图 2-2，当 CPCQ 时， t102t，解得t 10 3 ( 秒). 如图 2-2，当 QPQC 时，过点 Q 作 QMAC 于 M，则 CM 1 2 PC 5 t . 在 RtQMC 中cos QCM 4 5 CM CQ

6、 5t t ，解得t 25 9 ( 秒). 如图 2-4，当 PQPC 时，过点 P 作 PNBC 于 N，则 CN. 在 RtPNC 中，cos PCN 4 5 CN CP 1 2 102 t t ，解得t 80 21 ( 秒 ). 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 3 / 18 这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的PCQ，使得画图简 洁，计算简练 例?如图 3-1，直线 y2x2 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点 B，点 P 是 x 轴正半轴 上的一个动点，直线PQ 与直线 AB 垂直，交y 轴于点 Q，如果 APQ 是等腰三角形，

7、求点 P 的坐标 【解析】我们先用代数法解这道题 图 3-1 由 y2x2 得， A(1，0)，B(0，2)所以 OA1，OB 2 如图 3-2，由于 QPA ABO，所以 OPOQOBOA 21 设点 Q 的坐标为 (0，m)，那么点 P 的坐标为 (2m，0) 因此 AP 2(2m1)2， AQ2m21，PQ2 m2(2m)25m2 当 APAQ 时，解方程 (2m1) 2m21，得 m 0或m 4 3 所以符合条件的点P 不存在 当 PAPQ 时，解方程 (2m1)25m2，得m 2 5所以P(4 25 , 0) 当 QAQP 时，解方程m215m2，得m 1 2 所以P(1, 0) 图

8、 3-2 图 3-3 图 3-4 我们再用几何法验证代数法，并进行比较如图3-3，在直线PQ 平移的过程中，根据 “两直线平行，同位角相等”，可知 QPO 的大小是不变的，因此PQA 也符合“边角边” 的解题条件，我们只需要三个P，点 P 在点 A 的右侧，暂时不画y 轴（如图 3-4） 如果 APAQ，以 A 为圆心、 AP 为半径画圆，得到点Q（如图 3-5） 因为点 Q 在 y 轴上，于是“奇迹”出现了，点A(1, 0)怎么可以在y 轴的右侧呢？ 图 3-5 图 3-6 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 4 / 18 当 PAPQ 时，以 P 为圆心、 P

9、A 为半径画圆，得到点Q，再过点 Q 画 y 轴此时由 2m 1 5 m ，解得m 2 5，所以P(4 25 , 0) （如图3-6） 请问代数法解得的点 P(4 25 , 0) 在哪里？看看图3-7 就明白了 当 QAQP 时， 点 Q 在 AP 的垂直平分线上， 由于 A(1, 0)， 所以 P(1, 0)（如图 3- 8） 我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便 图 3-7 图 3-8 例?如图 4-1，已知正方形OABC 的边长为 2，顶点 A、 C 分别在 x、y 轴的正半轴上， M 是 BC 的中点P(0, m)是线段 OC 上一动点（C 点除外）， 直线 PM

10、交 AB 的延长线于点D 当 APD 是等腰三角形时，求m 的值 图 4-1 【解析】 点 P(0, m)在运动的过程中， APD 的三个角都在变化，因此不符合几何法 “边 角边”的解题条件，我们用代数法来解 因为 PC/DB，M 是 BC 的中点，所以BDCP2m所以 D(2, 4 m) 于是我们可以罗列出APD 的三边长（的平方） ： AD 2 (4 m) 2 ， AP 2 m 2 4， PD 2 2 2 (4 2m) 2 当 APAD 时， (4 m) 2 m 2 4 解得m 3 2 （如图 4-2） 当 PAPD 时， m2 4 2 2 (4 2m) 2 解得 m 4 3 （如图 4-

11、3）或m 4 （不合题意，舍去） 当 DADP 时， (4 m) 2 2 2 (4 2m) 2 解得 m 2 3 （如图 4-4）或m 2 （不合题意，舍去） 综上所述，当APD 为等腰三角形时，m 的值为 2 3 ， 4 3 或 3 2 图 4-2 图 4-3 图 4-4 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 5 / 18 其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单： 如图 4-2，当 APAD 时， AM 垂直平分PD，那么 PCM MBA 所以 PCMB CMBA 1 2 因此 PC 1 2 ， m 3 2 如图 4-3，当 PAPD 时， P 在 AD

12、 的垂直平分线上 所以 DA 2PO因此4 m 2m 解得 m 4 3 例?如图 5-1，已知 ABC 中， ABAC6，BC 8，点 D 是 BC 边上的一个动点， 点 E 在 AC 边上， ADE B设 BD 的长为 x，如果 ADE 为等腰三角形，求x 的值 图 5-1 【解析】在 ADE 中， ADE B 大小确定，但是夹ADE 的两条边DA、DE 用含 有 x 的式子表示太麻烦了 本题的已知条件ADE B C 非常典型，由于ADC ADE 1， ADC B 2， ADE B，所以 1 2于是得到典型结论DCE ABD 如图 5-2，当 DADE 时， DCE ABD因此 DCAB，8

13、x6解得 x2 如图 5-3，如果 ADAE，那么 AED ADE C由于 AED 是 DCE 的一个 外角，所以 AED C如果 ADE C，那么 E 与 C 重合，此时D 与 B 重合， x0 如图 5-4，当 EAED 时， DAE ADE B C，所以 DAC ABC因此 86 68 x 解得 x 7 2 图 5-2 图 5-3 图 5-4 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 6 / 18 12 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1已知线段AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨迹 是什么？

14、2已知线段AB6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形ABC 有多少个？顶点C 的轨 迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除 外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果 ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC， BABC， CACB 三种情 况 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以 使得 解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合用 几何法呢？ 如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹A 的两边 AB 和 AC 可以用含x

15、的式子 表示出来，那么就用几何法 如图 1， 如果 ABAC， 直接列方程； 如图 2， 如果 BABC， 那么 1 2 AC AB cos A ； 如图 3，如果 CACB，那么 1 2 AB AC cos A 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表示出来， 那 么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 图 1 图 2 图 3 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 7 / 18 例 9 如图 1，抛物线yax 2bxc（a、b、c 是常数， a0）的对称轴为 y

16、轴，且经过 (0,0) 和 ( a , 1 16 ) 两点，点P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的 P 总经过定点A(0, 2) （1）求 a、 b、c 的值； （2）求证：在点P 运动的过程中，P 始终与 x 轴相交； （3）设 P 与 x 轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点， 当 AMN 为等腰三角形时， 求圆心 P 的纵坐标 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ，拖动圆心P 在抛物线上运动，可以体验到，圆 与 x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长MN4 是定值 2等腰三

17、角形AMN 存在五种情况，点P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MAMN 和 NANM 时，点 P 的纵坐标是相等的 图文解析 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 yax2所以 b0，c 0 将 ( a , 1 16 ) 代入 yax 2，得 1 16 a 2 解得 a 1 4 （舍去了负值） （2）抛物线的解析式为y 1 4 x 2 ，设点 P 的坐标为 (x, 1 4 x 2 ) 已知 A(0, 2)，所以 PA 2221 (2) 4 xx 41 4 16 x 1 4 x 2 而圆心 P 到 x 轴的距离为 1 4 x 2 ，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动

18、的过程中，P 始终与 x 轴相交 （3）如图 2，设 MN 的中点为H，那么 PH 垂直平分MN 在 RtPMH 中，PM 2 PA 2 1 16 x 4 4 ，PH 2 ( 1 4 x) 2 1 16 x 4 ，所以 MH24 所以 MH2因此 MN4，为定值等腰 AMN 存在三种情况： 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 8 / 18 如图 3，当 AMAN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点P 的纵坐标为0 图 2 图 3 如图 4，当 MAMN 时，在 RtAOM 中， OA2， AM4，所以 OM2 3 此时 xOH2 3 2 所以点P 的纵坐标为 1

19、 4 x 2 1 4 (2 3 2) 2 ( 3 1) 2 4 2 3 如图 5，当 NANM 时，根据对称性，点P 的纵坐标为也为4 2 3 图 4 图 5 如图 6，当 NANM4 时，在 RtAON 中， OA2，AN 4，所以 ON23 此时 xOH 23 2 所以点 P 的纵坐标为 1 4 x 2 1 4 (2 3 2) 2 ( 3 1) 2 4 2 3 如图 7，当 MNMA4 时，根据对称性，点P 的纵坐标也为4 2 3 考点伸展 图 6 图 7 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 9 / 18 如果点 P 在抛物线y 1 4 x 2 上运动，以点

20、P 为圆心的 P 总经过定点B(0, 1)，那么在点 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 10 / 18 P 运动的过程中，P 始终与直线y 1 相切这是因为： 设点 P 的坐标为 (x, 1 4 x 2 ) 已知 B(0, 1)，所以 PB 2221 (1) 4 xx 221 (1) 4 x 1 4 x 2 1 而圆心 P 到直线 y 1 的距离也为 1 4 x 2 1， 所以半径PB圆心 P 到直线 y 1 的距 离所以在点P 运动的过程中，P 始终与直线y 1 相切 例 10 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， 抛物线 yax2bxc （a0）过

21、 O、B、 C 三点， B、C 坐标分别为 (10, 0)和（ 18 5 , 24 5 ），以 OB 为直径的 A 经过 C 点，直线 l 垂 直 x 轴于 B 点 （1）求直线 BC 的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标； （3）点 M 是 A 上一动点（不同于O、B） ，过 点 M 作 A 的切线，交 y 轴于点 E， 交直线 l 于点 F， 设线段 ME 长为 m，MF 长为 n，请猜想mn 的值， 并证明你的结论； （4）若点 P 从 O 出发，以每秒1 个单位的速度 向点 B 作直线运动，点Q 同时从 B 出发，以相同速 度向点C 作直线运动，经过t（0t8）秒时恰好 使 BP

22、Q 为等腰三角形，请求出满足条件的t 值 图 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 张家界 25” ，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到，EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高拖动点Q 在 BC 上运动，可以体验到，BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形 思路点拨 1从直线BC 的解析式可以得到OBC 的三角比，为讨论等腰三角形BPQ 作铺垫 2设交点式求抛物线的解析式比较简便 3第（ 3）题连结AE、AF 容易看到AM 是直角三角形EAF 斜边上的高 4第（ 4）题的 PBQ 中， B 是确定的，夹 B 的两条边可以用含t 的式子表示分 三种情况讨论等腰三角形 图文解析 20

23、19 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 11 / 18 （1）直线 BC 的解析式为 y 3 4 x 15 2 （2）因为抛物线与x 轴交于 O、B(10, 0)两点，设 yax(x10) 代入点 C（ 18 5 , 24 5 ），得 5 24 a 所以 y 5 24 x(x10) 5 24 x 2 5 12 x 5 24 (x 5) 2 125 24 抛物线的顶点为 (5, 125 24 ) （3）如图 2，因为 EF 切 A 于 M，所以 AMEF 由 AE AE，AOAM，可得 RtAOERtAME 所以 1 2 同理 3 4 于是可 得 EAF90 所以 5 1由

24、 tan5 tan 1，得 MA ME MF MA 所以 MEMF MA2，即 mn25 图 2 （4）在 BPQ 中， cosB 4 5 ，BP10 t，BQ t 分三种情况讨论等腰三角形BPQ： 如图 3，当 BPBQ 时， 10tt解得 t5 如图 4，当 PBPQ 时， 1 2 BQ BP cos B 解方程 1 2 t 4 5 (10 t) ，得t 80 13 如图 5，当 QBQP 时， 1 2 BP BQ cos B 解方程 1 2 (10 t) 4 5 t ，得t 50 13 图 3 图 4 图 5 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 12 / 1

25、8 考点伸展 在第（ 3）题条件下，以EF 为直径的 G 与 x 轴相切于点A 如图 6，这是因为AG 既是直角三角形EAF 斜边上的中线， 也是直角梯形EOBF 的中位 线，因此圆心G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以G 与 x 轴相切于点A 图 6 例 11 在平面直角坐标系中，抛物线 yx2(mn)xmn （mn） 与 x 轴相交于 A、 B 两点（点 A 位于点 B 的右侧），与y 轴相交于点C （1）若 m2， n1，求 A、B 两点的坐标； （2）若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧， C 点坐标是 (0,1)，求 ACB 的大小； （3）若 m2， ABC 是等腰三角形，求n

26、的值 动感体验 请打开几何画板文件名“14 邵阳 26” ，点击屏幕左下方的按钮（2） ，拖动点A 在 x 轴 正半轴上运动，可以体验到， ABC 保持直角三角形的形状点击屏幕左下方的按钮（3） ， 拖动点 B 在 x 轴上运动，观察ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到， 等腰三角形ABC 有 4 种情况 思路点拨 1抛物线的解析式可以化为交点式，用m，n 表示点 A、B、C 的坐标 2第（ 2）题判定直角三角形ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角 比 3第（3）题讨论等腰三角形ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方程 图文解析 （1）由 y x 2(m

27、n)x mn(xm)(xn)，且 mn，点 A 位于点 B 的右侧，可知 A(m, 0)，B(n, 0) 若 m2，n1，那么 A(2, 0)，B(1, 0) （2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0,1)，mn 1， OC1 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 13 / 18 若 A、B 两点分别位于y 轴的两侧，那么OAOBm( n) mn1 所以 OC 2OA OB所以 OCOB OAOC 所以 tan1tan2所以 1 2 又因为 1 与 3 互余，所以 2 与 3 互余所以 ACB 90 图 1 图 2 图 3 （3）在 ABC

28、中，已知A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n) 讨论等腰三角形ABC，用代数法解比较方便： 由两点间的距离公式，得AB 2(n2)2，BC25n2， AC2 44n2 当 ABAC 时，解方程 (n2) 244n2，得 n 4 3 （如图 2） 当 CACB 时，解方程44n25n2，得 n 2（如图 3），或 n2（ A、B 重合， 舍去） 当 BABC 时，解方程 (n2) 25n2，得 n 51 2 （如图 4），或 n 51 2 （如 图 5） 考点伸展 图 4 图 5 第（ 2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理 由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是 (0,1)，mn

29、1 由 A(m, 0)， B(n, 0)，C(0,1)，得 AB2 (mn) 2m22mnn2m2n22， BC 2n21，AC2m21 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 14 / 18 所以 AB2BC 2AC2于是得到 RtABC， ACB90第（ 3）题在讨论等腰三角 形 ABC 时，对于CACB 的情况，此时A、B 两点关于 y 轴 对称，可以直接写出B(2, 0)，n 2 例 12 如图 1，在 ABC 中， ACB90 ，AC4cm，BC3cm如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C

30、匀速运动，它们的速度均为 1cm/s连结 PQ，设运动时间为t（s） （0t4） ，解答下列问题： （1）设 APQ 的面积为S，当 t 为何值时， S 取得最大值？ S 的最大值是多少？ （2）如图 2，连结 PC，将 PQC 沿 QC 翻折，得到四边形PQPC，当四边形PQPC 为菱形时，求t 的值； （3）当 t 为何值时， APQ 是等腰三角形？ 动感体验 图 1 图 2 请打开几何画板文件名“14 娄底 27” ，拖动点 Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点P 运动到 AB 的中点时， APQ 的面积最大， 等腰三角形APQ 存在三种情况 还可以体验到， 当 QC2HC 时，四边形

31、PQPC 是菱形 思路点拨 1在 APQ 中， A 是确定的，夹A 的两条边可以用含t 的式子表示 2四边形PQPC 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形， 图文解析 （1）在 RtABC 中， AC4，BC3 所以 AB5，sinA 3 5 ，cosA 4 5 作 QDAB 于 D，那么 QDAQ sinA 3 5 t 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 15 / 18 所以 SSAPQ 1 2 AP QD 1 2 (5 t) 3 5 t 3 10 (t 2 5t) 3 10 (t 5 2 ) 2 + 15 8 当t 5 2 时， S 取得最大值，最大

32、值为 15 8 （2）设 PP与 AC 交于点 H，那么 PP QC，AHAPcosA 4 5 (5 t) 如果四边形PQPC 为菱形，那么PQPC所以 QC2HC 解方程 4 t 24 4 5 (5 t)，得t 20 13 图 3 图 4 （3）等腰三角形APQ 存在三种情况： 如图 5，当 APAQ 时， 5tt解得 t 5 2 如图 6，当 PAPQ 时， 1 2 AQ AP cos A解方程 1 2 t 4 5 (5 t)，得t 40 13 如图 7，当 QAQP 时， 1 2 AP AQ cos A 解方程 1 2 (5 t) 4 5 t ，得t 25 13 图 5 图 6 图 7

33、考点伸展 在本题情境下，如果点Q 是 PPC 的重心，求t 的值 如图 8，如果点Q 是 PPC 的重心，那么QC 2 3 HC 解方程 24 44(5) 35 tt，得 t = 60 23 图 8 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 16 / 18 例 13 如图 1，已知 RtABC 中， C90，AC 8，BC6，点 P 以每秒1 个单位的速度从 A 向 C 运动， 同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从ABC 方向运动， 它们到 C 点后都停止 运动，设点P、Q 运动的时间为t 秒 （1）在运动过程中，求P、Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运

34、动，求ABC 被直线 PQ 扫过的面积S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间t，使得 PQC 为等腰三角形若存在， 求出此时的t 值，若不存在，请说明理由 （ 5 2.24 ，结果保留一位小数） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 怀化 22” ，拖动点 P 在 AC 上运动， 可以体验到， PQ 与 BD 保持平行，等腰三角形PQC 存在三种情况 思路点拨 1过点 B 作 QP 的平行线交AC 于 D，那么 BD 的长就是 PQ 的最大值 2线段 PQ 扫过的面积S 要分两种情况讨论，点Q 分别在 AB、 BC 上 3等腰三角形PQC 分三种情

35、况讨论，先罗列三边长 图文解析 （1）在 RtABC 中， AC8，BC6，所以 AB 10 如图 2，当点 Q 在 AB 上时，作BD/PQ 交 AC 于点 D，那么 AB AD AQ AP 2t t 2 所以 AD5所以 CD3 如图 3，当点 Q 在 BC 上时， CQ CP 162 8 t t 2 又因为 CB CD 6 3 2 ，所以 CQ CP CB CD 因此 PQ/BD所以 PQ 的最大值就是BD 在 RtBCD 中， BC6，CD3,所以 BD3 5所以 PQ 的最大值是3 5 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 17 / 18 图 2 图 3

36、图 4 （2）如图2，当点 Q 在 AB 上时， 0t5，SABD15 由 AQP ABD ，得 2 () AQP ABD S AP SAD 所以 SSAQP15 ( 5 t ) 2 3 5 t 2 如图 3，当点 Q 在 BC 上时， 5t8，SABC24 因为 SCQP 1 2 CQ CP 1 2 (16 2t)(8 t) (t 8) 2 ， 所以 SSABCSCQP24(t8)2 t216t40 （3）如图 3，当点 Q 在 BC 上时， CQ2CP， C 90，所以 PQC 不可能成为等腰 三 角形 当点 Q 在 AB上时，我们先用t表示 PQC 的三边长：易知CP8 t 如图 2，由

37、 QP/BD，得 QPAP BDAD ，即 5 3 5 QPt 所以 QP 3 5 5 t 如图 4，作 QHAC 于 H在 RtAQH 中， QHAQ sinA 6 5 t ，AH 8 5 t 在 RtCQH 中，由勾股定理，得CQ 22 QHCH 22 68 ()(8) 55 tt 分三种情况讨论等腰三角形PQC： （1）当 PCPQ 时，解方程8 t 3 5 5 t ，得 t 6 5 10 3.4（如图 5 所示） 当 QCQP 时 22 68 ()(8) 55 tt 3 5 5 t ，得整理，得 11t 2 128t 320 0 所以 (11t40)(t8)0解得t 40 11 3.6

38、（如图 6所示），或t8（舍去） 当 CPCQ 时，8 t 22 68 ()(8) 55 tt整理，得5t 2 16t 0 解得t 16 5 3.2（如图 7 所示），或t0（舍去） 综上所述，当t 的值约为3.4，3.6，或等于3.2 时， PQC是等腰三角形 2019 中考数学专题复习等腰三角形的存在性问题（word 版） 18 / 18 图 5 图 6 图 7 考点伸展 第（ 1）题求 P、Q 两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： 如图 8，当点 Q 在 AB 上时， PQ 22 OHPH 22 68 ()() 55 ttt 3 5 5 t 当 Q 与 B重合时， PQ 最大，此时t5，PQ 的最大值为3 5 如图 9，当点 Q 在 BC 上时， PQ 22 CQCP 22 (2)CPCP5 (8 t) 当 Q 与 B重合时， PQ 最大，此时t5，PQ 的最大值为3 5 综上所述， PQ 的最大值为35 图 8 图 9