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1、后缀数组,后缀数组字符串处理中的有力武器,后缀树的一个简单而高效的替代品,当今字符串处理研究中的热门,让我们一同揭开她神秘的面纱,后缀数组定义和符号,字符集、字符、字符串都按照惯常的定义,字符串S的长度表示为len(S) 字符串的下标从1开始到len(S)结束,字符串S的第i个字符表示为Si 从i到j这一段的子串表示为Sij,后缀是一种特殊的子串 从某个位置i开始到整个串的末尾结束 S的从i开头的后缀等价于Silen(S),后缀数组定义和符号,约定一个字符集 待处理的字符串约定为S，约定len(S)=n,规定S以字符“$”结尾，即Sn=“$” “$”小于中所有的字符 除了Sn=“$”之外，S的
2、其他字符都属于,对于约定的字符串S，其i开头的后缀表示为 Suffix(i),后缀数组定义和符号,字符串的大小关系 按照通常所说的“字典顺序”进行比较,我们对S的n个后缀按照字典顺序从小到大排序 将排序后的后缀的开头位置顺次放入数组SA中，称为 后缀数组,令Ranki保存Suffix(i)在排序中的名次，称数组Rank为 名次数组,后缀数组构造方法,把n个后缀当作n个字符串，按照普通的方法进行排序 O(n2),低效的原因 把后缀仅仅当作普通的、独立的字符串，忽略了后缀之间存在的有机联系。,如何构造后缀数组?,后缀数组构造方法,倍增算法(Doubling Algorithm),定义k-前缀比较关
3、系k，=k和k 对两个字符串u,v， ukv 当且仅当 ukvk u=kv 当且仅当 uk=vk ukv 当且仅当 ukvk,后缀数组构造方法,u,v,ukv? u=kv? ukv?,u,v,u2kv? u=2kv? u2kv?,后缀数组构造方法,设u=Suffix(i)，v=Suffix(j),后缀u，以i开头,后缀v，以i开头,对u、v在2k-前缀意义下进行比较,比较红色字符相当于在k-前缀意义下比较Suffix(i) 和 Suffix(j),比较绿色字符相当于在k-前缀意义下比较Suffix(i+k) 和 Suffix(j+k),在2k-前缀意义下比较两个后缀可以转化成 在k-前缀意义下
4、比较两个后缀,后缀数组构造方法,把n个后缀按照k-前缀意义下的大小关系从小到大排序 将排序后的后缀的开头位置顺次放入数组SAk中，称为 k-后缀数组,用Rankki保存Suffix(i)在排序中的名次，称数组Rankk为 k-名次数组,后缀数组构造方法,利用SAk可以在O(n)时间内求出Rankk,利用Rankk可以在常数时间内对两个后缀进行k-前缀意义下的大小比较,后缀数组构造方法,如果已经求出Rankk,采用快速排序O(nlogn) 采用基数排序O(n),后缀数组构造方法,1-前缀比较关系实际上是对字符串的第一个字符进行比较,后缀数组构造方法,直接根据首字符排序,m=2t且mn,后缀数组构
5、造方法,O(nlogn)求出 SAm和Rankm,可以在O(nlogn)时间内求出后缀数组SA和名次数组Rank,后缀数组构造方法,mn， SAm=SA Rankm=Rank,我们已经在O(nlogn)的时间内构造出了 后缀数组SA 和 名次数组Rank,后缀数组方法总结,利用到后缀之间的联系 用k-前缀比较关系来表达2k-前缀比较关系,每次可以将参与比较的前缀长度加倍 根据SAk、Rankk求出SA2k、Rank2k,参与比较的前缀长度达到n以上时结束,倍增思想,后缀数组辅助工具,仅仅靠后缀数组和名次数组 有时候还不能很好地处理问题,后缀数组的最佳搭档LCP,定义两个字符串的最长公共前缀Lo
6、ngest Common Prefix lcp(u,v)=maxi|u=iv 也就是从头开始比较u和v的对应字符持续相等的最远值,后缀数组辅助工具,定义LCP(i,j)=lcp(Suffix(SAi),Suffix(SAj),也就是SA数组中第i个和第j个后缀的最长公共前缀,LCP Theorem 对任何1ijn LCP(i,j)=minLCP(k-1,k) | i+1kj,称j-i为LCP(i,j)的“跨度”，LCP Theorem意义为： 跨度大于1的LCP值可以表示成一段跨度等于1的LCP值的最小值,若ij LCP(i,j)=LCP(j,i),可以用跨度为1的LCP值来表示任何一个LCP
7、值,后缀数组辅助工具,定义LCP(i,j)=lcp(Suffix(SAi),Suffix(SAj),也就是SA数组中第i个和第j个后缀的最长公共前缀,LCP Theorem 对任何1ijn LCP(i,j)=minLCP(k-1,k) | i+1kj,称j-i为LCP(i,j)的“跨度”，LCP Theorem意义为： 跨度大于1的LCP值可以表示成一段跨度等于1的LCP值的最小值,后缀数组辅助工具,Suffix(SAi),Suffix(SAj),Suffix(SAi+1),Suffix(SAi+2),后缀数组辅助工具,设heighti=LCP(i-1,i),根据LCP Theorem LCP
8、(i,j)=minheightk | i+1kj,计算LCP(i,j)等价于 询问数组height中下标从 i+1 到 j 范围内所有元素的最小值,经典的RMQ (Range Minimum Query)问题!,线段树、排序树 O(nlogn)预处理 , O(logn)每次询问 标准RMQ方法 O(n)预处理 , O(1)每次询问,后缀数组辅助工具,采用一种“神奇的”方法，可以在O(n)时间内计算出height数组,采用标准RMQ方法在O(n)时间内进行预处理,之后就可以在常数时间内算出任何的LCP(i,j),根据lcp(Suffix(i),Suffix(j)=LCP(Ranki,Rankj)
9、,可以在常数时间内计算出 任何两个后缀的最长公共前缀,后缀数组辅助工具,采用一种“神奇的”方法，可以在O(n)时间内计算出height数组,采用标准RMQ方法在O(n)时间内进行预处理,之后就可以在常数时间内算出任何的LCP(i,j),可以在常数时间内计算出 任何两个后缀的最长公共前缀,这是后缀数组 最常用以及最强大的功能之一,后缀数组应用举例,几个常见的问题,问题一 给定一个字符串S，对它的所有后缀进行排序。,问题二 给定一个待匹配串S，每次输入一个模式串P，要求返回P在S中的一个匹配的开头位置，或者返回无匹配。,问题三 给定一个字符串S，求出S中的最长回文子串。,O(n2),O(m+n),
10、O(n2),O(nlogn),O(m+logn),O(nlogn),后缀数组应用举例,怎样使用后缀数组？,后缀数组应用举例,回文串顺读和倒读完全一样的字符串,奇回文串 字符串u满足： len(u)=p为奇数 对任何1i(p-1)/2，ui=up-i+1,偶回文串 字符串v满足： len(v)=q为奇数 对任何1iq/2，vi=vq-i+1,后缀数组应用举例,字符串T的回文子串T的子串，并且是回文串,字符串T的最长回文子串T的回文子串中长度最大的,给出一个字符串T，求它的最长回文子串,给出最大长度即可 设len(T)=m,后缀数组应用举例,分析求最长奇回文子串的算法 最长偶回文子串可以类似求出,
11、后缀数组应用举例,枚举奇回文串中间一个字符的位置 尽量向两边扩展,后缀数组应用举例,以某个位置为中心向两边扩展的复杂度为O(m) 整个算法的复杂度为 O(m2),后缀数组应用举例,求以一个位置i为中心向两边扩展的最远值 是算法的核心部分 需要降低这一步的复杂度,后缀数组应用举例,$,#,求以i为中心向两边扩展的最远值，等价于 求Suffix(i)和Suffix(i)的最长公共前缀,后缀数组！,同时和粉红串反射相等,T串,T串,Suffix(i)和Suffix(i)的公共前缀,后缀数组应用举例,解法：,初始化答案为0。按照前述方法修改串T，得到串S,求出后缀数组SA、名次数组Rank,计算hei
12、ght数组并进行标准RMQ方法预处理,复杂度： 设len(S)=n，则n=2m+2,O(m),+ O(nlogn),+ m*O(1),= O(nlogn),枚举i，计算以i为中心向两边扩展的最远值并更新答案,+ 2*O(n),后缀数组 VS 后缀树,后缀树也可以做到类似的事情,后缀数组有什么优势呢？,后缀数组 VS 后缀树,后缀数组在信息学竞赛中最大的优势： 易于理解，易于编程，易于调试,后缀数组比后缀树占用的空间少 处理长字符串，如DNA分析,后缀数组 VS 后缀树,时间复杂度的比较,按照字符总数|把字符集分为三种类型：,Constant Alphabet |是一个常数,Integer Al
13、phabet |为字符串长度n的多项式函数,General Alphabet 对|没有任何限制,后缀数组 VS 后缀树,后缀数组是直接针对General Alphabet设计的算法 复杂度跟字符集的类型没有关系,后缀树则对不同字符集有不同的表现,如果采用儿子-兄弟方式来表达后缀树： 构造的复杂度为O(n*|) 显然不适合Integer和General Alphabet， 对于|稍大的Constant Alphabet也无法胜任,解决方法：每个节点建立一棵红黑树来保存儿子，复杂度为O(n*log|)。 竞赛的时候有时间编吗？,结论 对于Integer和General以及|较大的Constant
14、Alphabet，后缀树甚至在时间复杂度上都无法胜过后缀数组。 但是对于|较小的Constant Alphabet， 后缀树还是有着速度上的优势的。 我们要根据实际情况，因“题”制宜选择合适的数据结构,后缀数组最后的话,研究后缀数组，不是因为害怕后缀树的繁琐,也没有贬低后缀树，抬高后缀数组的意思,对于功能相似的两个数据结构，我们应该灵活地掌握，有比较有选择地使用,构造后缀数组用到的倍增思想对我们的思考也是有帮助的,后缀数组,谢谢大家！,后缀数组关于“$”,为什么规定S以“$”结尾？,后缀数组关于“$”,设u=Suffix(i)，v=Suffix(j),后缀u，以i开头,后缀v，以i开头,对u、
15、v在2k-前缀意义下进行比较,比较红色字符相当于在k-前缀意义下比较Suffix(i) 和 Suffix(j),比较绿色字符相当于在k-前缀意义下比较Suffix(i+k) 和 Suffix(j+k),在2k-前缀意义下比较两个后缀可以转化成 在k-前缀意义下比较两个后缀,后缀数组关于“$”,i,j,i+k,j+k ? 大于n!,$,“$”小于对应的字符,不相等,后缀数组关于“$”,结尾的“$”避免了下标越界造成无意义表达式的麻烦,为什么规定“$”小于中的任何字符？ 规定“$”不等于中的任何字符可以达到同样的目的？,后缀数组关于“$”,i,j,$,相等,i开头的后缀 j开头的后缀,$小于对应字
16、符,仍然能得到 i开头的后缀 j开头的后缀,原串,新串,后缀数组关于“$”,规定“$”小于中的任何字符是为了保证 在串S结尾添加“$”改造为S之后， S中的后缀之间的大小关系在S中依然成立。 于是S的后缀数组、名次数组都和S的一样。,另外不难看出 S的height数组和S的也是一样的。,在待处理的串后添加“$” 不会影响结果的正确性， 只是令操作变得方便。,后缀数组关于“$”,后缀数组关于“#”,为什么要先在T串后加“#”然后再反射T串？,后缀数组关于“#”,$,i,#,T串,T串,Suffix(i)和Suffix(i)的公共前缀,Suffix(i)和Suffix(i)的最长公共前缀 不再能准
17、确地反映向两边扩展的最远值 因为左边的浅绿色串用到了T中的字符 这是不合实际的,后缀数组关于“#”,在T的结尾加上“#”保证了 Suffix(i)和Suffix(i)的最长公共前缀能正确反映 以i为中心向两边扩展的最远值,特殊判断也可以做到这一点， 但是加一个“#”稍微方便一些。,后缀数组关于线性算法,采用Farach的构造方法，对于Integer Alphbet， 可以在O(n)时间内构造出后缀树,我们不打算把Farach方法列入考察范围,这个算法实现极为繁琐 更像是挖空心思将几个算法凑在一起的“大杂烩” 竞赛的有限时间内几乎无法完成,后缀数组关于线性算法,后缀数组关于线性算法,即使构造完成
18、了，如果想使用后缀树， 还是得想办法处理每个节点指向儿子的指针。,对字符总数太大的情况只能排序存储 时间复杂度立刻增加到O(nlog|) 并没有得到改善，也未必比后缀数组快,后缀数组关于线性算法,访问的时候要二分查找指向儿子的指针 几乎所有的基本操作复杂度都要乘上系数 log| 某些情况下甚至比后缀数组差，如多模式串匹配,后缀数组关于线性算法,只有极少数情况下后缀树才能真正做到 线性时间构造，常数时间基本操作,Farach构造方法的理论价值 大于它在竞赛中的实际价值,不适合拿来和本文所讲的后缀数组相比,后缀数组关于线性算法,更令人吃惊的是 后缀数组也有对Integer Alphbet情况下线性
19、构造的算法,这是一种三分法，比Farach方法优美得多,但是我们也无意在本文中探讨,后缀数组关于线性算法,虽然说它比Farach方法优美， 但是实现起来仍然比倍增算法繁得多 不适合在竞赛中使用 有兴趣的同学可以自行研究,三分法的技巧性显得较强 与技巧相比 我更加欣赏倍增算法所体现出的深刻思想,后缀数组关于空间,从Rankk推出SAk和Rank2k 需要两个数组（共2n个整数）以实现基数排序 同一时刻Rankk和Rank2k只需要保存一个 SA2k可以直接覆盖SAk 2n个整数保存结果 + 2n个整数辅助计算 技巧性地操作可以将辅助计算的空间减少至n个整数,后缀数组关于空间,后缀树通常有2n个以
20、上节点 通常每个节点要两个整数，至少要保存一个整数 每个节点两个指针 4n个指针 + 2n个整数 至少是 4n个指针 + n个整数,后缀数组关于空间,为什么不算上height数组和RMQ预处理的空间？ 为了处理问题，后缀树需要预处理以便计算节点的最近公共祖先（Least Common Ancestor） LCA问题和RMQ问题是等价的 后缀树预处理的空间占用和后缀数组基本一样,后缀数组关于RMQ,RMQ问题的标准解法是怎么做的？ 同样用到了倍增思想 对每个位置i记录从开始向后1,2,4,8. 长度的一段中的最小值 总共有nlogn个值，通过动态规划计算,后缀数组关于RMQ,采用对待询问数组建立
21、Treap的方法转化为0-1 RMQ 采用模板方法将复杂度降为线性 竞赛中用O(nlogn)预处理的方法已经足够,后缀数组关于倍增思想,倍增思想，本质上是一种特殊的 动态规划思想 与一般的动态规划不同的是， 它划分阶段是按照规模的对数来分 也就是先处理规模为20的问题 然后顺次推出规模为21，22，23，.的问题,后缀数组关于倍增思想,关键在于找到2k到2k+1转换的桥梁 本文中的桥梁就是 2k-前缀比较关系可以转化为k-前缀比较关系,后缀数组关于倍增思想,知易行难 要用好用活倍增思想不是那么简单的事情 难点也就在于寻找转化的桥梁,后缀数组关于倍增思想,道德经云： 道生一，一生二，二生三，三生万物 是否能用好倍增思想，做到： 一生二，二生四，四生八， 要看各人的道行如何了,后缀数组关于倍增思想,如果能够用好倍增思想 虽然不见得能化生万物 但是相信能够在很多情况下帮助你 独辟蹊径，解决规模巨大的题目 举重若轻 挥洒自如,