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1、1 （扬州）在 ABC 中， ACB=90 ，AC=BC，直线MN 经过点C，且 ADMN 于 D， BEMN 于 E （1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图1的位置时，求证：ADCCEB； DE=AD BE； （2）当直线MN 绕点 C 旋转到图2 的位置时，求证：DE=AD BE； （3）当直线MN 绕点 C 旋转到图3的位置时，试问DE、 AD、BE 具有怎样的等量关系？ 请写出这个等量关系，并加以证明 2（锦州） 如图 A，ABC 和 CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 C， 连接 AF 和 BE （1）线段 AF 和 BE 有怎样的大小关系?请证明你的结论； （2）
2、将图 A 中的 CEF 绕点 C 旋转一定的角度，得到图B，（ 1）中的结论还成立吗?作 出判断并说明理由； （3）若将图A 中的 ABC 绕点 C 旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形C（草图 即可），（ 1）中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由； （4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现 3.如图（ 1） ABC 为等边三角形，动点D 在边 CA 上，动点P 边 BC 上，若这两点分别 从 C、B 点同时出发，以相同的速度由C 向 A 和由 B 向 C 运动，连接AP，BD 交于点 Q， 两点运动过程中AP=BD 成立吗？请证明你的结论； （2）如果把原题中“ 动点 D 在边 C
3、A 上，动点P 边 BC 上， ” 改为 “ 动点 D， P 在射线 CA 和射线 BC 上运动 ” ，其他条 件不变，如图（2）所示，两点运动过程中BQP 的大小保持不变请你利用图（2） 的情形，求证：BQP=60 ； （3）如果把原题中“ 动点 P 在边 BC 上” 改为 “ 动点 P 在 AB 的延长线上运动，连接PD 交 BC 于 E” ，其他 条件不变，如图（3），则动点D，P 在运动过程中，DE 始终等于PE 吗？写出证明 过程 C B A E D 图 1 N M A B C D E M N 图 2 A C B E D N M 图 3 4、如图，已知AOB=120 ，OM 平分 A
4、OB ，将等边三角形的一个顶点P 放在射线OM 上，两边分别与OA、 OB（或其所在直线）交于点C、D （1）如图，当三角形绕点P 旋转到 PCOA 时，证明： PC=PD （2）如图，当三角形绕点P 旋转到 PC 与 OA 不垂直时，线段PC 和 PD 相等吗？请说 明理由 （3）如图，当三角形绕点P 旋转到 PC 与 OA 所在直线相交的位置时，线段PC 和 PD 相等吗？直接写出你的结论，不需证明 5.用两个全等的等边三角形ABC和 ACD拼成菱形 ABCD.把一个含 60角的三角尺与这 个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合 .将三角尺绕点 A按逆时针方
5、向旋转. （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点 E，F时， （如图 131） ，通 过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论； （2） 当三角尺的两边分别与菱形的两边BC， CD的延长线相交于点E， F时 （如图 132） ， 你在（ 1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由. 6.如图， A、 B、 C、D 在同一直线上，ABCD，DE AF，且 DE AF，求证： AFC DEB 如果将BD 沿着 AD 边的方向平行移动，如图，B 点与 C 点重合时，如图，B 点 在 C 点右侧时，其余条件不变，结论是否仍成立，如果成立，请予证明；如果不成立，请 说
6、明理由 7.如图 (1)，已知 ABBD，ED BD， ABCD，BC DE，求证： AC CE若将 CD 沿 CB 方向平移得到图(2)(3)(4)(5) 的情形，其余条件不变，结论AC1C2E 还成立吗？请说明 理由 8.在等腰 RtABC 中，ACB=90 ，AC=CB ，F 是 AB 边上的中点， 点 D、E 分别在 AC 、 BC 边上运动，且始终保持AD=CE 连接 DE、DF 、EF （1）求证： ADF CEF （2）试证明 DFE 是等腰直角三角形 9.、如图 1，若ABC和ADE 为等边三角形， M，N 分别 EB，CD 的中点， 易证： CD=BE ， AMN 是等边三角
7、形 （1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图2 的位置时， CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明， 若不成立请说明理由； （2）当ADE 绕 A 点旋转到图3 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给 出证明，并求出当AB=2AD 时， ADE 与ABC 及AMN 的面积之比；若不是，请说明理 由 图 1 图 2 图 3 10、如图，已知ABC中，10ABAC厘米，8BC厘米，点D为AB的中点 （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 /秒的速度由B 点向 C 点运动， 同时， 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1
8、 秒后，BPD与CQP是否全等， 请说明理由； 若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD与CQP全等？ （2）若点 Q 以中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都 逆时针沿ABC三边运动，求经过多长时间点P 与点 Q 第一次在ABC的哪条边上相 遇？ 11.在ABC中，ABAC，点D是直线BC上一点（不与BC、重合），以AD为一边 在AD的右侧 作 ADE，使ADAEDAEBAC，连接CE （1）如图 1，当点D在线段BC上，如果90BAC，则BCE度； （2）设BAC，BCE 如图 2，当点D在线段BC上移动，则，之间
9、有怎样的数量关系？请说明理由； 当点D在 BC 边的延长线上时有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 A E E A C C D D B B 图 1 图 2 A A 备用图 B C B C 备用图 A Q C D B P 12、已知，点O 为等边三角形ABC 的内心，直线m 过点 O，过 A、B、C 三点分别作直线 m 的垂线，垂足分别为点D、E、F当直线 m 与 BC 平行时（如图1） ，易证： BE+CF=AD 图 1：图 2：图 3： 13、将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中45和 30的两个角顶点重合在一起 (1) 如图 1 所示，边OA与 OC重合，此时，AB CD ，则 BOD_ ； (2) 三角板 COD的位置保持不动，将三角板AOD绕点 O 顺时针方向旋转，如图2，此时 OA CD ，求出 BOD的大小； (3) 在图 2 中，若将三角板AOB绕点 O按顺时针方向继续旋转，在转回到图1 的过程中， 还存在 AOB中的一边与CD平行的情况，请针对其中一种情况，画出图形，并直接写出 BOD 的大小