《【优质文档】2012全国高中数学联合竞赛福建省预赛试题版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】2012全国高中数学联合竞赛福建省预赛试题版含答案.pdf（46页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 2013 福建省高中数学竞赛 2014 年福建省高中数学竞赛 暨 2014 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间： 2014 年 5 月 17 日上午 9：0011：30，满分 160 分） 一、填空题（共10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中 的横线上） 1已知直线 1 l：260axy， 2 l： 2 (1)10xaya，若 12 ll，则 a。 【答案】 2 3 【解答】 12 2 12(1)0 3 llaaa。 2 函 数 2 3 ()3s i ns i nc o s 2 fxxxx（ 122 x ，） 的 值 域 为。 【答案】 1
2、 1 2 x ， 【解答】 1cos21313 ( )3sin2sin 2cos2sin(2) 222223 x f xxxxx。 由 122 x ，知， 2 2 633 x， 1 sin(2)1 23 x。 3在三棱锥 DABC 中，2ABBC ， ABBC ， BC CD ， DAAB ， 60CDA。则三棱锥 DABC 的体积为。 【答案】 4 3 【解答】 如图，作DEABC面于 E，连 EA、 EC 、 ED 。 B CC D ， DAAB ， E CC B ， EAAB ，四边形 EABC 为矩形。 由 ABBC 知，四边形 EABC 为正方形，且 DADC 。 又60CDA，因此
3、，DAC为正三角形， DAAC 。 2222 E AE DE AE C。于是，2EDEC。 三棱锥 DABC 的体积为 114 (2 2)2 323 。 4已知 1 F、 2 F为双曲线 C ： 2 2 1 24 y x的左、右焦点， P 为双曲线 C 上一点， 且点 P在第一象限。若 1 2 4 3 PF PF ，则 12 PF F内切圆半径为。 【答案】2 【解答】 设 1 4PFt ，则 2 3PFt ， 12 432ttPFPF。 于是，2t， 1 8PF， 2 6PF，结合 12 10F F知， 12 PF F为直角三角 形， 12 PFPF。 12 PF F内切圆半径 68 10
4、2 2 r。 5已知集合 2 280Ax xx， 2 240Bx xax。若0a，且 AB 中恰有 1 个整数，则a的取值范围为。 【答案】 1 35 62 ， 【解答】42Ax xx或。 设 2 ( )24f xxax，则( )f x的轴对称0xa。 由( 4)16840fa，知4Bx x。 因此， AB 中恰有的一个整数为3。 ( 3 )9640 ( 4 )1 6840 fa fa ，解得 135 62 a。故，a的取值范围为 135 62 ，。 6若分数 p q （ p ，q 为正整数） 化成小数为0.198 p q ，则当 q 取最小值时， pq。 【答案】121 【解答】由 1 0.
5、198 5 p q ，知 1 5 p q ，5qp，记5qpm（m为正整数）。 于是，0.198 5 p pm ，0.198(5)0.199(5)pmppm。 1 9 . 83 9 . 8mpm。 当1m时，2039p，取20p，1m时， q最小为 101。 又 20 0.19801980 101 符合要求。故，当 q最小时，121pq。 7随机地投掷3 粒骰子，则其中有2 粒骰子出现的点数之和为7 的概率 为。 【答案】 5 12 【解答】 投掷 3 粒骰子共有 3 6216种可能。考虑 7162534。 投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1 和 6 的可能有 6 6630 （种） 。 （分为(1
6、 6)， ，(16)，(6 1)，(61)，(1 6)，(6 1)， ，这 6 种可 能， 每类有 6 种情况。其中，(1 6 1)，(1 6 6)， ，(1 1 6)，(6 1 1)，(6 1 6)，(66 1)， ， 重复出现） 同理，投掷三粒骰子， 有两粒骰子出现2 和 5 的可能与有两粒骰子出现3 和 4 的可能均为 30 种。 投掷 3 粒骰子，其中有 2 粒骰子出现的点数之和为7 的有 3 3090种可 能。 所求概率为 905 21612 。 8 已知点(11)A，(40)B，(22)C，。 平面区域 D 由所有满足APABAC （1a ，1b）的点()P xy，组成的区域。 若
7、区域 D 的面积为 8，则ab 的 最小值为。 【答案】4 【解答】 如图，延长 AB至点 N ，延长 AC 至点 M ，使得 ANa AB ， AMb AC 。 四边形 ABEC、 ANGM 、 EHGF 均为平行四边形。 由条件知，点()P xy，组成的区域 D 为图中的阴影部分， 即 四边形 EHGF （不含边界 EH 、 EF ） 。 ( 31 )AB，(1 3)AC，( 2 2)BC，。 10AB，10AC，2 2BC， 101083 cos 521010 CAB， 4 sin 5 CAB。 四边形 EHGF 的面积为 4 (1) 10(1) 108 5 ab。 (1 ) (1 )a
8、b， 11 (1)(1)2 11 abaa aa 。 由1a，1b知，当且仅当11a，即2ab时， ab 取最小值 4。 9 232014 8888 9999 A被 63 除的余数为。 （符 号 x 表示不超过x的最大整数。） 【答案】56 【解答】对任意正整数 k ， 21 8 9 k 与 2 8 9 k 均不是整数， 且 212 2188 8 99 kk k 。 对任意正整数 k ， 212212 21 8888 1817 ( mod63) 9999 kkkk k 。 232 0 1 4 8888 1 0 0 775 6 ( m o d 6 3 ) 9999 A。 10若a，b ，c为关于
9、x的方程 32 0xxxm的三个实根，则m的最小值 为。 【答案】 5 27 【解答】 依题意，有 32 ()()()xxxmxaxbxc。 3232 ()()xxxmxabc xa bb cc a xa b c。 1() 1 abc abbcca mabc ， 1 1 abc abbcca mabc 。 2 1()1()1( 1)1b ca bc aa bcaaaa。 2222 ()2()3abcabcabbcca。 2 1a， 2 1b， 2 1c中至少有一个成立。不妨设 2 1a，11a。 232 (1 )ma b ca aaaaa。 设 32 ( )mf aaaa，则 2 ( )321
10、(31)(1)faaaaa 。 1 1 3 a时，( )0fa； 1 1 3 a时，( )0fa。( )f a在 1 1 3 ，上 为减函数，在 1 1 3 ，上为增函数。 m有最小值 15 () 327 f。 此时， 1 3 a， 1 3 b， 5 3 c或 1 3 a， 5 3 b， 1 3 c。 二、解答题（共5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程） 11已知 n a为递增的等比数列， 且 12 6aa， 34 24aa。 2 (1) n n n a b a ， 数列 n b的前n项和为 n T，求证：对一切正整数n均有，3 n T。 【解答】 设 n a的公比为
11、 q，则0q。 由 12 6aa， 34 24aa，知 11 23 11 6 24 aa q a qa q ， 1 2 2 a q 。 1 222 nn n a。 5 分 22 2 (1)(21) n n n n n a b a 。 2n时， 1 211 222211 (21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121 nnnn nnnnnnnnnn b ， 10 分 2n时， 12231 1111111 ()()()2 13 2 1212121212121 nnnn Tb 。 15 分 又1n时， 11 23Tb。 对一切正整数n均有 3 n T。 20 分 12已知 F 为椭
12、圆 C ： 22 1 43 xy 的右焦点， 椭圆 C上任意一点 P 到点 F 的距 离与点 P到直线 l ：xm的距离之比为 1 2 。 （1）求直线 l 方程； （2） 设 A为椭圆 C 的左顶点，过点 F 的直线交椭圆 C 于 D 、E两点，直线 AD 、 AE 与直线 l 分别相交于 M 、 N 两点。以 MN 为直径的圆是否恒过一定点？若是， 求出定点坐标；若不是，请说明理由。 【 解 答 】 （ 1）(1 0)F， 设()P xy，为 椭 圆 C 上 任 意 一 点 ， 依 题 意 有 22 (1)1 2 xy xm 。 22 4(1 )4()xyxm。 将 22 4123yx代
13、入 ， 并 整 理 得 2 (82)160m xm 。 由点()P xy，为椭圆上任意一点知，方程 2 (82)160m xm对22x的 x均成立。 820m，且 2 160m。解得4m。 直线l的方程为 4x。 5 分 （2）易知直线 DE 斜率不为 0，设 DE 方程为1xty。 由 22 1 1 43 xty xy ，得 22 (34)690tyty。 设 11 ()D xy， 22 ()E xy， 则 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t 。 10 分 由( 2 0)A，知 AD 方程为 1 1 0 0(2) 2 y yx x ，点 M 坐标为 1 1
14、6 (4) 2 y M x ，。 同理，点 N 坐标为 2 2 6 (4) 2 y N x ，。 15 分 由对称性，若定点存在，则定点在x轴上。设(0)G n ，在以 MN 为直径的圆上。 则 21212 1212 6636 (4) (4)(4)0 22(2)(2) yyy y GMGNnnn xxxx ，。 221212 2 121212 3636 (4)(4)0 (3)(3)3 ()9 y yy y nn tytyt y yt yy 。 即 2 22 36( 9) (4)0 93 ( 6 )9(34) n tttt ， 2 (4)90n，1n或7n。 以 MN 为直径的圆恒过x轴上两定点
15、(1 0)，和(70)，。 20 分 注： 若只求出或证明两定点中的一个不扣分。 也可以由特殊的直线 l ，如1x，得到圆与x轴的交点(1 0)，和(70)，后，再予 以证明。 13如图，在五边形 ABCDE 中，BCAE， ABBCAE，ABCCDE ， M 为 CE 中点， O 为BCD的外心，且OMMD 。延长 DM 至点 K ，使得 MKMD。 （1）求证：BKCBDC ； （2）求证：2ABCBDA。 【解答】（1） M 为 KD 中点，且 OMMD ， O KO D ，点 K 在BCD的外接圆上。 B K CB D C。 5分 （2）延长 AE至点 T ，使得 ETBC 。联结 T
16、B， TC ， TD ，TK ， KE 。 由 ABBCAE 知， AT AB 。 又 BCAE。 C B TB T AA B，2ABCBTA，且四 边形 BCTE为平行四边形。 M 也是 BT 中点。 10 分 四边形 BKTD 为平行四边形，BKDKDT 。 四边形 KCDE 为平行四边形，CKDKDE 。 BKCBKDCKD KDTKDEEDT 。 B D CB K CE D。 15 分 B D TB D EE D TB D E CDEABC 。 180BDTBATABCBAT。 B、 A、T 、 D 四点共圆。 BDABTA。 22ABCBTABDA 。 20 分 14已知 1 ( )
17、ln(1)31 1 f xaxx x 。 （1）若0x时，( )0f x恒成立，求实数a的取值范围； （2）求证： 2222 23411 ln(21) 4 11421431414 n n n 对一切正 整数n均成立。 【解答】（1） 22 222 13(1)(1)13(6)2 ( )3 1(1)(1)(1) axa xxaxa fx xxxx 。 若2a，则60a，0x时，( )0fx。此时，( )f x在区间 0，上为 增函数。 0x时，( )(0)0f xf。2a符合要求。 5 分 若2a，则方程 2 3(6)20xaxa有两个异号的实根， 设这两个实根为 1 x， 2 x，且 12 0x
18、x。 2 0xx时，( )0fx。( )f x在区间 2 0 x，上为减函数， 2 ()(0)0f xf。 2a不符合要求。 a的取值范围为2，。 10 分 （2）由（ 1）知，0x时，不等式 1 2ln(1)310 1 xx x 恒成立。 0x时， 1 312ln(1) 1 xx x 恒成立。 令 2 21 x k （ * kN） ，得 122 312ln(1) 2 2121 1 21 kk k ， 整理得 2 8821 2ln 4121 kk kk 。 15 分 2 1121 ln 41421 kk kk 。令1k，2，3，n，得 2 213 ln 4 1141 ， 2 315 ln 42
19、143 ， 2 417 ln 43145 ， 2 1121 ln 41421 nn nn 。 将上述n个不等式的左右两边分别相加，得 2222 23411357211 ln()ln(21) 4 114214 31414135214 nn n nn 。 2222 23411ln(2 1) 4 11421431414 n n n 对一切正整数n 均成立。 20 分 15给定 2014 个和为 1 的非负实数 1 a， 2 a， 3 a， 2014 a。 证明：存在 1 a， 2 a， 3 a， 2014 a的一个排列 1 x， 2 x， 3 x， 2014 x，满足 1 2232013201420
20、141 1 2014 x xx xxxxx。 【解答】 为方便起见，称和式 12232013201420141 y yy yyyyy为 2014 个实 数 1 y， 2 y， 2014 y的“循环和式”。 由于 2014 个排列： 1 b， 2 b， 3 b， ， 2014 b； 2 b， 3 b， 2014 b， 1 b； 3 b， 4 b， ， 2014 b， 1 b， 2 b； 2014 b， 1 b， 2 b， 2013 b。对应的“循环和式”是同一个“循 环和式” 。 因此， 1 a， 2 a， 3 a， 2014 a的2014!个排列对应2013!个“循环和式”。 5 分 记这20
21、13!个“循环和式”为 1 P， 2 P， 3 P， k P。其中2013!k。 设这2013!个“循环和式”总和为S，即 123k SPPPP。 由于每一个 m a（1m，2，3，2014）在每个“循环和式”中均出现两次， 因此，在 S中共出现 22013!次。 12 0 1 4 22 0 1 2 ij ij Sa a（）！ 。 10 分 （这里 12 120 ij ij a aa aa aa aa aa aa aaa） 另一方面，由 22222 12320141232014 12014 2()() ij ij a aaaaaaaaa， 以及柯西不等式： 222222222 12320141
22、232014 ()(1111 )()aaaaaaaa， 得 2222 1232014 1 2014 aaaa， 12014 1 21 2014 ij ij a a。 12 0 1 4 2 0 1 3 22 0 1 4 ij ij a a。 15 分 2 0 1 32 0 1 3 ! 22 0 1 2 ! 22 0 1 42 0 1 4 S。 1 P， 2 P， 3 P， k P中至少有一个不大于 1 2013!2014 S 。设 1 2014 l P，则 对应的“循环和式”为 l P的排列符合要求。 存在一个 1 a， 2 a， 3 a， 2014 a的排列符合要求。 20 分 2015 年福
23、建省高中数学竞赛 暨 2015 年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案 （考试时间： 2015 年 5 月 24 日上午 9：0011：30，满分 160 分） 一、填空题（共10 小题，每小题 6 分，满分 60 分。请直接将答案写在题中 的横线上） 1设集合 4 0 3 x AxxZ x ，从集合 A中随机抽取一个元素x，记 2 x，则随机变量的数学期望E。 【答案】5 【解答】4321 0 1 2A， ，随机变量的取值为 0，1，4，9， 16。 易得，的概率分布列为 0 1 4 9 16 P 1 7 2 7 2 7 1 7 1 7 12211 01491 65 77777 E
24、。 2已知( )( )fxxg x，其中( )g x是定义在 R上，最小正周期为2 的函数。 若( )f x在 区 间2 4，上 的 最大 值 为 1， 则( )f x在 区 间 1012，上 的 最 大 值 为。 【答案】9 【解答】 依题意，有(2)(2)(2)( )2( )2f xxg xxg xf x。 ( )fx在区间 2 4， 上的最大值为 1， ( )fx在区间 4 6， 上的最大值为3，在区间 6 8， 上的最大值为5，在区 间 8 10，上的最大值为 7，在区间 10 12，上的最大值为 9。 3 1 F、 2 F为椭圆 C ： 22 22 1 xy ab （0ab）的左、右
25、焦点，若椭圆C 上存 在一点 P，使得 12 PFPF，则椭圆离心率e的取值范围为。 【答案】 2 1 2 ， 【解答】 设 A为椭圆 C 的上顶点，依题意有 12 90F AF。 2 4 5FA O，1 c b 。 222 cac， 2 2 1 2 c a ， 2 1 2 e。 4 已 知 实 数x， y ，z满 足 222 232 4xyz， 则23xyz的 最 小 值 为。 【答案】12 【解答】 由柯西不等式，知 22222222 (23 )(12233 )1(2)(3)(23)144xyzxyzxyz 。 231 2xyz， 当且仅当 23 123 xyy ， 即2x y z时等号成
26、立。 23xyz的最小值为12。 5已知函数 2 ( )cos 2 x f xx，数列 n a中，( )(1) n af nf n（ * nN） ， 则数列 n a的前 100 项之和 100 S。 【答案】10200 【解答】依题意，有 100 222222 100 1 ()246898 n TfnLL 399 4255100 2 。 1 0 01 0 0 2( 1 )(1 0 1 )25 1 0 0001 0 2 0 0STff。 6如图，在四面体 ABCD 中，2DADBDC， DADB ，DADC ，且 DA 与平面 ABC 所成角的余弦值为 6 3 。则该四面体外接球半径 R。 【答
27、案】3 【解答】如图，作DOABC面于 O，连结 AO ，并延长交 BC 于点 E ， 连结 DE 。 则DAE 是 DA 与 平 面 ABC 所成 的 角 ， 6 cos 3 DAE。 2DADBDC， DADB ， DADC ， DADBC面， O为ABC的外心，且22ABAC。 DADE ， E 为 BC 中 点 ， 结 合 6 cos 3 DAE知 ，6AE， 22 862BEABAE。 222B CB E， DBDC 。 DA、 DB、 DC 两两互相垂直，四面体外接球半径R3。 7 在复平面内，复数 1 z、 2 z、 3 z的对应点分别为 1 Z、 2 Z、 3 Z。 若 12
28、2zz， 12 0OZOZ uuu r uuu r ， 123 1zzz，则 3 z的取值范围是。 【答案】1 3， 【解答】 设 111 zxy i， 222 zxy i（ i 为虚数单位）， 12 2zz， 12 0OZ OZ uuu r uuu r ， 2222 1122 2xyxy， 1212 0x xy y， 222222 12112211221212 ()()2()2zzxyxyxyxyx xy y。 设复数 12 zz对应的点为 P 。由 123 1zzz知，点 3 Z在以 P 为圆心， 1 为 半径的圆上。 又2OP，因此， 3 212 1OZ，即 3 z的取值范围是1 3，
29、。 8已知函数( )() xx f xexae恰有两个极值点 1 x， 2 x（ 12 xx） ，则a的取值 范围为。 【答案】 1 ( 0) 2 ， 【解答】( )()(1)(12) xxxxxx fxexaeeaexaee。 依题意，( )(12)0 xx fxxaee有两个不同的实根。 设( )12 x g xxae，则( )12 x gxae，( )0g x有两个不同的实根。 若0a，则( )1g x，( )g x为增函数，( )0g x至多 1 个实根，不符合要求。 若0a，则当 1 ln 2 x a 时，( )0g x； 1 ln 2 x a 时，( )0g x。 ( )g x在区
30、间 1 ln 2a ，上为增函数， 1 ln 2a ，上为减函数。 ( )g x的最大值为 111 (ln)ln1 1ln 222 g aaa 。 又x时，( )12 x g xxae ；x 时，( )12 x g xxae。 当且仅当 11 (ln)ln0 22 g aa ，即 1 0 2 a时，( )0g x恰有 2 个不同的实 根。 设( )0g x的两根为 1 x， 2 x（ 12 xx） 。 则 1 xx时，( )0g x，( )0fx；1 2 xxx 时，( )0g x，( )0fx； 2 xx时， ( )0g x ， ( )0fx 。 1 x为( )f x的极小值点， 2 x为(
31、 )f x的极大值点。 1 0 2 a符合要求。 a的取值范围为 1 (0) 2 ，。 9 已知 2 ( )2 x f xmxnx， 若() 0( () 0x f xx f f x， 则 mn 的取值范围为。 【答案】0 4， 【解答】 设 1 ( )0xxf x，则 12 111 ()20 x f xmxnx。 1 () )( 0 )0ffxfm。 2 ( )fxxnx， 222222 ( )()()()()()ff xf xnxxnxn xnxxnxxnxn。 由( )0( ( )0xf xxff x知，方程 2 0xnxn的解集A 是方程 2 0xnx的解集 B 的子集。 若A，则 2
32、40nn， 04n。 若A，设 0 xA，则 2 00 2 00 0 0 xnxn xnx ，得0n。 又 04n时，( )0xf x， 所以， 04n。 mn的取值范围是0 4， 。 10 若 214 s i ns i ns i nt a n 99929 n L， 则 正 整 数n的 最 小 值 为。 【答案】4 【解答】由cos()coscossinsin， cos()coscossinsin，知 2sinsincos()cos()。 3 2 s i ns i nc o sc o s 91 81 81 8 ， 235 2sinsincoscos 9181818 ， (21)(21) 2si
33、nsincoscos 9181818 nnn 上述各式左右两边分别相加，得 2(21) 2(sinsinsin) sincoscos 999181818 nn L。 14( 21) 2t ansi nc o sc o s 291 81 81 8 n ， (21) coscoscos 181818 n 。 ( 21) c o s0 18 n ， (21) 182 n k（kZ ） ，94nk（ kZ ） 。 正整数n的最小值为 4。 二、解答题（共5 小题，每小题 20 分，满分 100 分。要求写出解题过程） 11求函数 2 2483yxxx的最小值。 【解答一】 由 2 4830xx，得 1
34、 2 x或 3 2 x。 函数的定义域为 13 22 ，。 5 分 记 2 ( )2483yf xxxx， 则 22 8844 ( )22 2 483483 xx fx xxxx 当 3 2 x时，易知( )0fx。 2 ( )2483f xxxx在 3 2 ，上为增函数。 3 2 x时，( )f x的最小值为 3 ()3 2 f。 10 分 当 1 2 x时， 22 444(1)4(1) ( )2220 2(1) 4834(1)1 xxx fx x xxx 。 ( )f x在 1 2 ，上 为 减 函 数 ， 1 2 x时 ，( )f x的 最 小 值 为 1 ()1 2 f。 15 分 综
35、合得， 函数 2 2483yxxx的最小值为 1。 20 分 【解答二】 函数化为 2 (22)(22)12yxx。 由 2 (22)1x，知221x，可设 1 22 sin x（ 22 ，且0） 5 分 当 0 2 时， 2 111cos1 1222 sinsinsin tan 2 y， 当 2 ， 即 3 2 x时，y取最小值 3。 10 分 当0 2 时 ， 2 111c o s 122t a n2 s i ns i ns i n2 y， 当 2 ，即 1 2 x时，y取最小值 1。 15 分 综合得，函数 2 2483yxxx的最小值为 1。 20 分 或换元后利用导数求解。 【解答三
36、】 由 2 2483yxxx，得 22 (2 )483yxxx， 222 44483yx yxxx， 2 3 48 y x y 。 5 分 依题意，有2yx， 因此， 2 31 482 y y y 。 10 分 2 3 0 24 y y y ， (3)(1) 0 2(2) yy y ，解得12y或3y。 15 分 将1y代入方程 2 2483yxxx，解得 1 2 x。 1y在函数 2 2483yxxx的值域内。 函数 2 2483yxxx的最小值为 1。 20 分 12已知过点(0 1)P，斜率为 k 的直线 l 交双曲线 C ： 2 2 1 3 y x于 A、 B 两点。 （1）求 k 的
37、取值范围； （2）若 2 F为双曲线 C 的右焦点，且 22 6AFBF，求 k 的值。 【解答】（1）设 l 方程为1ykx。 由 2 2 1 3 1 y x ykx ，得 22 (3)240kxkx 。 直线 l 与双曲线 C 有两个不同的交点， 2 22 30 416(3)0 k kk ，解得22k，且3k。 k 的取值范围为( 23)(33)(32)，。 5 分 （2）设 11 ()A xy， 22 ()B xy，。则 12 2 2 3 k xx k ， 12 2 4 3 x x k 。又 2(2 0)F， 2222 2111111 (2)44(33)AFxyxxxx， 22 21BF
38、x。 10 分 2 121212 222 1 6441 3 ( 21 ) ( 21)42 ()11 333 kkk xxx xxx kkk ， 2 3k时， 12 (21)(21)0xx， 22121212 2121(21)(21)2AFBFxxxxxx 2 2 1212 2 4 34 2 ()4 3 k xxx x k 。 由 22 6AFBF，得 2 2 4 34 6 3 k k ，解得 2 1k或 211 3 3 k（舍去） 。 2 1k，1k。 15 分 2 34k时， 12 (21)(21)0xx， 22121212 2121(21)(21)21AFBFxxxxxx 2 2 21 3
39、 k k 。 由 22 6AFBF，得 2 2 216 3 k k ，解得2k或 3 2 k或 113 2 k， 均不符合，舍去。此时，满足条件的k 不存在。 综上可得， k 的值为 1 或 1。 20 分 13如图， I 、D 分别为ABC的内心、旁心， BC 与圆 I 、圆 D 相切，切点 分别为 E、 F ，G 为 AD 与 BC 的交点。 （1）求证： AIGE ADGF ； （2）若 M 为 EF 中点，求证： AEDM。 （旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角形一个内角的平 分线和其它两个内角的外角平分线的交点。） 【解答】 （1）设圆 I 、圆 D 的半径分别为r、 R， 则 AI
40、r ADR 。 5 分 （作 IPAB 于 P ，DQAB于Q，则 AIIPr ADDQR 。 ） 由条件知， A、 I 、 D 三点共线， IEBC ， DFBC。 I ED F， GEIEr GFDFR 。 AIGE ADGF 。 10 分 （2）由 AIGEGI ADGFGD ，得 AIGIGE ADGDGF ， 即 AGGE ADGDGF 。 A GG E A DG DA GG FG E 。 15 分 M 为 EF 中点， G M F D I B A C E N Q P G M F D I B A C E ()2GFGEMFMGMEMGMG， 22 AGGE DGMG ，即 AGGE
41、DGGM 。 结合EGAMGD ，可得EGAMGD。因此，GEAGMD 。 A ED M。 20 分 另解： 设 ID 的中点为 N ，则由 IEDF， M 为 EF 中点知， MN IEDF， 且 1 () 2 MNDFIE 。 由 AIIE ADDF ， 可得 AIIE ADAIDFIE ，2 2 AIIE DNMN ， 即 A IIE D NN M 。 15 分 又AIEDNM 。 AIEDNM，EAIMDN 。 A ED M。 20 分 14在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶点都是整点的 三角形称为整点三角形。求以点(2015 72015)I，为内心且直角顶点在坐标原点
42、O 的整点直角三角形 OAB 的个数。 【答案】 不妨设点 A在第一象限。 设xOI，则tan，直线OA的斜率 tan1713 tan() 41tan174 OA k。 4 3 OB k。 5 分 由 A、 B为整点，设 11 (43 )Att， 22 ( 34 )Btt，其中 1 t， 2 t为正整数。 1 5O At， 2 5OBt 。 O A B内切圆的半径 22 5 2201552015 22 rOI。 又 2 OAOBAB r，2ABOAOBr ， 222 2 (2 )ABOAOBrOAOB 。 222 1212 ( 55252 0 1 5 )2 52 5tttt。 。 10 分 2
43、22 1212 (22015)tttt。 设 1 2015tx， 2 2015ty，则 222 ()(2015)(2015)xyxy。 2 20152xyxy， 2222 (2015)(2015)22015251331xy。 15 分 由2OAr ，2OBr 知，2015x，2015y为正整数，又 222 2 51331 的正因数有 2 3 3 354个。 符合条件的()xy，有 54 组。 符合条件的三角形有54个。 20 分 15若对任意的正整数m，集合1299m mmmL， ，的任意n（3n） 元子集中，总有 3 个元素两两互素，求n的最小值。 【答案】 考察集合1 2 3100L，（1
44、m时）的 67元子集： 2 4 6100 3 9 1599PLL， ，（偶数与被 3 整除的奇数）。 显然 P中不存在 3 个两两互素的元素。 67n不符合要求。 5 分 引理：对任意的正整数m，集合12345m mmmmm，的任意 5 元子集中，总有 3 个元素两两互素。 引理的证明：设集合A是集合12345m mmmmm，的一个5 元子集。 m，1m，2m，3m，4m，5m这 6 个数中， 3 奇 3 偶，恰有 1 个 5 的倍数。 若 A中含有 3 个奇数，则这 3 个奇数必两两两互素，结论成立。 若 A中元素为 2 奇 3 偶。由于 3 个偶数中至多有1 个为 3 的倍数，至多有1 个
45、为 5 的倍数。因此， 3 个偶数中必有 1 个数既不是 3 的倍数，也不是 5 的倍数， 它与 2 个奇数两两互素。结论成立。 引理成立。 10 分 对任意的正整数m，将集合1299m mmmL， ，划分成如下 17 个集 合： 1 12345Am mmmmm， 2 67891011Ammmmmm， 16 909192939495Ammmmmm， 17 96979899Ammmm，。 15 分 显 然 上 述17个 集 合 的 两 两 交 集 为 空 集 ， 并 集 为 集 合 1299m mmmL， ，。 设集合 M 是集合1299m mmmL， ，的 68 元子集。 若集合 M 有 4
46、个元素来自集合 17 A。 由于m为奇数时，96m、97m、98m 两两互素；m为偶数时，97m、98m、99m两两互素。因此， M 中至少有 3 个元素两两互素。 若集合 M 至多 3 个元素来自集合 17 A。则 M 至少有 65 个元素来自集合 1 A、 2 A、 16 A 。根据抽屉原理， M 至少有 5 个元素来自同一个集合，不妨设它们 来自集合 1 A。由前面的引理可知，它们中存在3 个两两互素的元素。 集合 M 中总有 3 个两两互素的元素。 68n符合要求，即对任意的正整数m， 集合1299m mmmL， ， 的任意 68 元子集中，总有 3 个元素两两互素。 n的最小值为68。 20 分