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1、学习必备欢迎下载 二次函数存在性问题的分类讨论 一. 如图，抛物线交轴于点 C，直线 l为抛物线的对称轴，点P在第三 象限且为抛物线的顶点.P 到轴的距离为，到轴的距离为1. 点 C关于直线l 的对称点 为 A，连接 AC交直线 l于 B. （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接 BD交轴 于点 E ，且 DE:BE=4:1. 求直线的表达式； （ 3）若 N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M ，使得以点O 、 F、M 、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】 解： （1）抛物线交轴于点
2、 C，C（ 0，-3 ）则 OC=3。 P 到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限， P（ -1 ，-） 。 C 关于直线l 的对称点为A，A（ -2，-3 ） 。 将点 A（-2，-3 ） ，P（-1 ，-）代入得， 3 2 bxaxyy x 10 3 y mxy 4 3 yy mxy 4 3 mxy 4 3 2 3yaxbx y x 10 3 y 10 3 10 3 2 3yaxbx 学习必备欢迎下载 ，解得。 抛物线的表达式为。 （2）过点 D做 DG 轴于 G ，则 DGE= BCE=90 。 DEG= BEC ， DEG BEC 。 。 DE:BE=4:1， BC=1 ， ,
3、则 DG=4 。 将=4代入，得=5。 D（ 4,5 ） 。 过点 D（4,5 ）, , 则=2。 所求直线的表达式为。 （3）存在。 M1， M2，M3， M4。 【分析】（1）求出点A 、 P的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。 （2）过点 D做 DG 轴于 G，由 DEG BEC求出点 D的坐标，代入 即可求得直线的表达式。 （3）存在。分三种情况讨论： 当 OF和 FM都为菱形的边时， 点 F 在上， F（ 0，2） ，OF=2 。 设 M，则 FM=， 由 OF=FM 解得。 当时，M1。当时， M 。 当 OF为菱形的对角线时，MN垂直平分OF ， 4233 10 3 3
4、ab ab 1 3 2 3 a b 2 12 3 33 yxx y DGDE BCBE DG4 11 x 212 3 33 yxxy 3 4 yxm 3 54 4 m m 3 2 4 yx 816 (,) 55 84 (,) 55 4 (, 1) 3 4814 (,) 2525 y 3 4 yxm 3 4 yxm 3 2 4 yx 3 ,2 4 xx 2 2 35 22 44 xxx 8 5 x 8 5 x 316 2 45 x 816 ( ,) 55 8 5 x 34 2 45 x 84 (,) 55 学习必备欢迎下载 在中令，即，解得。M3。 当 FM为菱形的对角线时，设 M，则 OM=，
5、 由 OF=OM 得解得（舍去） 。， M4。 综上所述， M1，M2，M3， M4。 二 如图，在平面直角坐标系中，直线交 x 轴于点 P，交 y 轴于点 A抛物线 的图象过点E（ 1，0） ，并与直线相交于A、B两点 （1）求抛物线的解析式（关系式）； （2）过点 A作 AC AB交 x 轴于点 C，求点 C的坐标； （3）除点 C外，在坐标轴上是否存在点M ，使得 MAB是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】 解：（ 1）一次函数交 y 轴于点 A， 令 =0，得 y=2。A（ 0，2）。 A （0，2）、E （ 1，0）是抛物线的图象上的点， 3 2
6、4 yx1y 3 21 4 x 4 3 x 4 (, 1) 3 3 ,2 4 xx 2 2 3 2 4 xx 2 2 3 22 4 xx 48 25 x0x 325 2 414 x 4814 (,) 2525 816 (,) 55 84 (,) 55 4 (, 1) 3 4814 (,) 2525 1 yx2 3 2 1 yxbxc 2 1 yx2 3 21 yxbxc 2 学习必备欢迎下载 ，解得。抛物线的解析式是：。 （2）一次函数交轴于点P，令 y=0，得 =6。P（ 6，0）。 AC AB ，OA OP ， AOC POA 。 AO=2 ， PO=6 ，。点 C的坐标为。 （3）存在。
7、 设除点 C外，在坐标轴上还存在点M ，使得 MAB是直角三角形， 即AMB=90 0 或ABM=90 0。 点 B是直线和抛物线的交点， ，解得。 若 AMB=90 0，那么点 M是以 AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时 点 M会在 x 轴的正半轴上和y 轴的正半轴上。 若交点在y 轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标 相等，即。 若交点在x 轴的正半轴上（如图），设，过点 B作 BD x轴 点 D ，则有 AOM MDA 。 AO=2 ， MD=，OM=m ，DB=， ， 解 得。 或 。 c2 1 bc0 2 3 b 2 c2 2 13 yxx2 22 COAO AOPO
8、CO2 26 2 CO 3 2 , 0 3 1 yx2 3 213 yxx2 22 2 1 yx2 3 13 yxx2 22 11 x= 3 7 y 9 117 B(,) 39 1 7 M (0,) 9 M(m,0) AOOM MDDB 11 m 3 7 9 2m 117 m 39 1165 m= 6 2 1165 M (, 0) 6 3 1165 M (, 0) 6 学习必备欢迎下载 若 ABM=90 0，即过 B作 BM AP ，这时 M在 x 轴的正半轴上和 y 轴 的负半轴上。 若交点在x 轴的正半轴上（如图），设，过点 B 作 BD x 轴于点 D，则有 BDM PDB 。 BD=， MD=，PD=， ，解得。 若交点在y 轴的负半轴上（如图），设，过 B 作 BF垂直 y 轴于点 F，则有 ABF BMF 。 BF=，AF=，MF=， ，解得。 。 M(t,0) BDPD MDBD 7 9 11 t 3 117 6= 33 77 93 117 t 39 92 t 27 4 92 M (, 0) 27 M(0,q)(q0) BFMF AFBF 11 3 711 2 99 7 +q 9 117 +q 39 1111 93 92 q 9 5 92 M (0,) 9