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1、学习必备欢迎下载 二次函数闭区间上的最值问题与根的分布 一、二次函数闭区间上的最值问题 一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三 种情况 . 设 2 ()(0)f xaxbxc a，求fx()在xmn， 上的最大值与最小值。 分析：将 fx() 配方，得对称轴方程 x b a2 当a0时，抛物线开口向上 若 b a mn 2 ， 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若 b a mn 2 ， 当a0时，抛物线开口向上，此时函数在 mn， 上具有单调性，故在离对称轴 x b a2 较远端点处取得最大值，
2、较近端点处取得 最小值。当a0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a0时 m a x 1 2 1 ()() () 22 () 1 ()()() 22 b fmmn a fx b fnmn a 如 图 如 图 ， ， fx f n b a n f b a m b a n f m b a m ( ) ( )() ()() ()() min ， ， ， 如图 如图 如图 2 22 2 3 4 5 当a 0时 fx f n b a n f b a m b a n f m b a m ( ) ( )() ()() ()() max ， ， ， 如图 如 图 如图 2 2
3、2 2 6 7 8 m in 9 10 1 ()()() 22 () 1 ()()() 22 b fmmn a fx b fnmn a 如 图 如 图 ， ， 1. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例 1. 函数yxx 2 42在区间03，上的最大值是 _，最小值是 _。 学习必备欢迎下载 例 1： 解：函数 yxxx 22 4222()是定义在区间03，上的二次函数，其对称轴方程是x2，顶点坐标为 （2，2） ，且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在0，3上，如图1 所示。函数的最大值为f ( )22，
4、最小值为f ( )02。 例 2. 已知2 3 2 xx，求函数f xxx( ) 2 1的最值。 例 2： 解：由已知 23 2 xx，可得0 3 2 x，即函数f x( )是定义在区间0 3 2 ，上的二 次函数。将二次函数配方得f xx( ) 1 2 3 4 2 ，其对称轴方程x 1 2 ，顶点坐标 1 2 3 4 ，且图象开口向上。 显然其顶点横坐标不在区间0 3 2 ，内，如图 2 所示。函数fx( ) 的最小值为f ( )01，最大值为f 3 2 19 4 。 解后反思：已知二次函数 f xaxbxc( ) 2 （不妨设 a0） ，它的图象是顶点为 b a acb a2 4 4 2
5、，、对称轴为 x b a2 、开口向上的抛物线。由数形结合可得在 mn，上f x( )的最大值或最小值： （1）当 b a mn 2 ，时，f x( )的最小值是f b a acb a fx 2 4 4 2 ， ( )的最大值是f mf n()( )、 中的较大者。 （2）当 b a mn 2 ，时 若 b a m 2 ，由fx( )在 mn，上是增函数 则f x( )的最小值是f m()，最大值是f n( ) 若n b a2 ，由fx( )在 mn，上是减函数 则f x ( )的最大值是f m()，最小值是f n( ) 2. 动二次函数在定区间上的最值 二次函数随着参数a 的变化而变化，即其
6、图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最 值” 。 例 3. 已知x2 1，且a20，求函数f xxax( ) 2 3的最值。 例 3：解：由已知有112xa，于是函数 fx( )是定义在区间11，上的二次函数，将 fx( )配方得： f xx aa ( ) 2 3 4 2 2 学习必备欢迎下载 二次函数fx( )的对称轴方程是x a 2 顶点坐标为 aa 2 3 4 2 ，图象开口向上 由a 2可得x a 2 1，显然其顶点横坐标在区间11，的左侧或左端点上。 函数的最小值是fa()14，最大值是fa( ) 14。 例 4. 已知二次函数 f xaxax
7、a() 22 41在区间41，上的最大值为5，求实数 a 的值。 例 4： 解：将二次函数配方得 fxa xaa( )()241 22 ，其对称轴方程为 x2，顶点坐标为()241 2 ，aa ， 图象开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 41，上。 若a 0，函数图象开口向下，如图 4 所示，当 x2时，函数取得最大值 5 即faa()2415 2 解得a 210 故aa210210()舍去 若a 0时，函数图象开口向上，如图 5 所示，当 x1时，函数取得最大值 5 即f aa() 1515 2 解得a a16或 故aa16()舍去 综上讨论，函数f x( )在区间 41，上取得
8、最大值5 时，aa2101或 解后反思：例3 中，二次函数的对称轴是随参数a 变化的，但图象开口方向是固定的；例4 中，二次函数的对称轴是固定的，但图 象开口方向是随参数a 变化的。 3. 定二次函数在动区间上的最值 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t 而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间 上的最值”。 例 5. 如果函数 f xx( )()11 2 定义在区间 tt，1上，求fx( )的最小值。 例 5： 解：函数f xx( )()11 2 ，其对称轴方程为x1，顶点坐标为（ 1，1） ，图象开口向 上。 如图 6 所示，若顶点横坐标在区间 tt，1左侧时，有1t。当xt时，
9、函数取得最小值 fxftt( )( )() min 11 2 。 如图 7 所示，若顶点横坐标在区间 tt，1上时，有tt11，即01t。当x1时， 函数取得最小值 学习必备欢迎下载 fxf()( ) min 11。 如图 8 所示，若顶点横坐标在区间 tt，1右侧时，有t11，即t0。当xt1时， 函数取得最小值 fxftt( )() min 11 2 综上讨论，f x tt t tt ( ) (), , min 111 101 10 2 2 例 6. 设函数 f xxx( ) 2 44的定义域为tt21，对任意tR，求函数f x( )的最小值( ) t的解析式。 例 6： 解：将二次函数配
10、方得： fxxxx( )() 22 4428 其对称轴方程为x2，顶点坐标为()28，图象开口向上 若顶点横坐标在区间 tt21，左侧，则22t，即t4。当xt2时，函数取得最小值 f tttt()()24888 22 若顶点横坐标在区间 tt21，上，则tt221，即34t。当x2时，函数取得最小值 f ( )28 若顶点横坐标在区间 tt21，右侧，则t12，即t3。当xt1时，函数取得最小值 ftttt()()13861 22 综上讨论，得( ) () () () t ttt t ttt 2 2 884 8 34 613 4. 动二次函数在动区间上的最值 二次函数是含参数的函数，而定义域
11、区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。 例 7. 已知y a xaa 2 40()()，且当xa时，Sxy()3 22 的最小值为4，求参数 a 的值。 例 7： 解：将y axa 2 4 ()代入 S中，得 Sxa xa xa xa xaaa ()() () () 34 2 3294 32128 2 22 2 2 则 S 是 x 的二次函数，其定义域为 xa， ，对称轴方程为 xa32 ，顶点坐标为 ()32128 2 aaa， ，图象开口 向上。 若32aa，即01a 则当x a32 时，S aa 最小 1284 2 学习必备欢迎下载 此时，a 1，或a 1 2 若32 aa，即a1 则当xa时，S aaaa 最 小 ()321284 2 2 此时， a5，或a1（因aa11， 舍去） 综上讨论，参变数a 的取值为 a1，或a 1 2 ，或 a5 另外，若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先斩后奏的方法。二次函数在 闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的资格，进行取舍。 课后练习： 区间最值问题答案 学习必备欢迎下载