【优质文档】八年级上册一次函数经典例题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 一次函数复习课 知识点 1 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量 x，y 间的关系式可以表示成y=kx+b（k，b 为常数， k0 ）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（x 为自变量）， 特别地，当 b=0 时， 称 y 是 x 的正比例函数 .例如： y=2x+3， y=-x+2，y= 2 1 x 等都是一次函数， y= 2 1 x，y=-x 都是正比例函数 . 【说明】 （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要根据函 数的实际意义来确定 . （2）一次函数 y=kx+b（k，b 为常数， b0 ）中的 “ 一次” 和一元一次方程、一元一次 不等式中

2、的 “ 一次” 意义相同，即自变量 x 的次数为 1，一次项系数 k 必须是不为零的常数， b 可为任意常数 . （3）当 b=0，k0 时，y= kx 仍是一次函数 . （4）当 b=0，k=0 时，它不是一次函数 . 知识点 2 函数的图象 把一个函数的自变量x 与所对应的 y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系 内描出它的对应点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一般分为三步： 列表、描点、连线 知识点3 一次函数的图象 由于一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，k0 ）的图象是一条直线， 所以一次函数 y=kx+b 的图象也称为直线y=kx+b 由于两点确定一条

3、直线， 因此在今后作一次函数图象时， 只要描出适合关系式的两点， 再连成直线即可，一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（ 0，b） ，直线与 x 轴的交点 （- k b ， 0） .但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数 y=kx 的图象时，只要描出点（0， 0） ， （1，k）即可 . 知识点 4 一次函数 y=kx+b（k，b 为常数， k0 ）的性质 （1）k 的正负决定直线的倾斜方向； k0 时，y 的值随 x 值的增大而增大； kO 时，y 的值随 x 值的增大而减小 学习必备欢迎下载 （2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直 线陡）

4、 ，|k|越小，直线与 x 轴相交的锐角度数越小（直线缓） ； （3）b 的正、负决定直线与y 轴交点的位置； 当 b0 时，直线与 y 轴交于正半轴上； 当 b0 时，直线与 y 轴交于负半轴上； 当 b=0时，直线经过原点，是正比例函数 （4）由于 k，b 的符号不同，直线所经过的象限也不同； 如图 1118（l）所示，当 k0，b0 时，直线经过第一、二、三象限（直线不经 过第四象限）； 如图 1118（2）所示，当 k0，bO 时，直线经过第一、三、四象限（直线不 经过第二象限）； 如图 1118（3）所示，当 kO，b0 时，直线经过第一、二、四象限（直线不 经过第三象限）； 如图

5、1118（4）所示，当 kO，bO 时，直线经过第二、三、四象限（直线不 经过第一象限） （5） 由于|k|决定直线与 x 轴相交的锐角的大小， k 相同，说明这两个锐角的大小相等， 且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线 y=x1 可以看作是正比例函数y=x 向上平移一个单位得到的 知识点 5 正比例函数 y=kx（k0 ）的性质 （1）正比例函数 y=kx 的图象必经过原点； （2）当 k0 时，图象经过第一、三象限,y 随 x 的增大而增大； （3）当 k0 时，图象经过第二、四象限,y 随 x 的增大而减小 知识点 6 点 P（x0，y0）与直线 y

6、=kx+b 的图象的关系 （1） 如果点 P （x0， y0） 在直线 y=kx+b 的图象上，那么 x0,y0的值必满足解析式y=kx+b； （2）如果 x0，y0是满足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点 P（1， 2）必在函数的图象上 例如：点 P（1，2）满足直线 y=x+1，即 x=1 时， y=2，则点 P（1，2）在直线 y=x+l 的图象上；点 P （2，1）不满足解析式y=x+1，因为当 x=2 时，y=3，所以点 P （2，1） 不在直线 y=x+l 的图象上 学习必备欢迎下载 知识点 7 确定正比例函数及一次函数表达式的条件 （1）由于正比例函数 y=kx（

7、k0 ）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对 x，y 的值或一个点）就可求得k 的值 （2）由于一次函数 y=kx+b（k0 ）中有两个待定系 数 k， b， 需要两个独立的条件确定两个关于k， b 的方程， 求得 k，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x，y 的值 知识点 8 待定系数法 先设待求函数关系式 （其中含有未知常数系数） ，再 根据条件列出方程（或方程组） ，求出未知系数，从而得 到所求结果的方法，叫做待定系数法其中未知系数也 叫待定系数例如：函数y=kx+b 中，k，b 就是待定系 数 知识点 9 用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤 （1）设函数表达式为y=k

8、x+b； （2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）； （3）求出 k 与 b 的值，得到函数表达式 例如：已知一次函数的图象经过点（2，1）和（ -1，-3）求此一次函数的关系式 解：设一次函数的关系式为ykx+b（k0 ） ， 由题意可知， ,3 ,21 bk bk 解 . 3 5 , 3 4 b k 此函数的关系式为y= 3 5 3 4 x 【说明】 本题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下： 第一步，设（根 据题中要求的函数 “ 设” 关系式 y=kx+b，其中 k，b 是未知的常量， 且 k0 ） ；第二步，代（根 学习必备欢迎下载 据题目中的已知条件，列出方程（或方

9、程组） ，解这个方程（或方程组），求出待定系数 k， b） ；第三步，求（把求得的k，b 的值代回到 “ 设” 的关系式 y=kx+b 中） ；第四步，写（写 出函数关系式） . 思想方法小结 （1）函数方法 函数方法就是用运动、 变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型， 进而解决有关问题的方法 函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方 法可以解决许多数学问题 （2）数形结合法 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法 在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用 知识规律小结（1）常数 k，b 对直线 y=kx+b(k 0 ）

10、位置的影响 当 b0 时，直线与 y 轴的正半轴相交； 当 b=0时，直线经过原点； 当 b0 时，直线与 y 轴的负半轴相交 当 k，b 异号时，即 - k b 0 时，直线与 x 轴正半轴相交； 当 b=0时，即 - k b =0 时，直线经过原点； 当 k，b 同号时，即 - k b 0 时，直线与 x 轴负半轴相交 当 kO，bO 时，图象经过第一、二、三象限； 当 k0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当 bO，bO 时，图象经过第一、三、四象限； 当 kO，b0 时，图象经过第一、二、四象限； 当 kO，b=0 时，图象经过第二、四象限； 当 bO，bO 时，图象经过第二、三、四

11、象限 （2）直线 y=kx+b（k0 ）与直线 y=kx(k 0) 的位置关系 直线 y=kx+b(k 0) 平行于直线 y=kx(k 0) 当 b0 时，把直线 y=kx 向上平移 b 个单位，可得直线y=kx+b； 学习必备欢迎下载 当 bO 时，把直线 y=kx 向下平移 |b|个单位，可得直线y=kx+b （3）直线 b1=k1x+b1与直线 y2=k2x+b2（k10 ，k20 ）的位置关系 k1k2y1与 y2相交； 21 21 bb kk y1与 y2相交于 y 轴上同一点（ 0，b1）或（ 0，b2） ； 21 21 , bb kk y1与 y2平行； 21 21 , bb k

12、k y1与 y2重合. 典例讲解 基本题 本节有关基本概念的题目主要是一次函数、正比例函数的概念及它们之间的关系，以 及构成一次函数及正比例函数的条件 例 1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）y=- 2 1 x；（2）y=- x 2 ；（3）y=-3-5x； （4）y=-5x 2； （5）y=6x- 2 1 （6）y=x(x-4)-x 2. 学习必备欢迎下载 基础应用题 本节基础知识的应用主要包括： （1）会确定函数关系式及求函数值； （2）会画一次函 数（正比例函数）图象及根据图象收集相关的信息；（3）利用一次函数的图象和性质解决 实际问题； （4）利用待定系数法求函数

13、的表达式 例 3 一根弹簧长 15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，并且每挂 1kg 的物体， 弹簧就伸长 05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之 间的函数关系式，写出自变量x 的取值范围，并判断y 是否是 x 的一次函数 学生做一做乌鲁木齐至库尔勒的铁路长约600 千米，火车从乌鲁木齐出发，其平均速度 为 58 千米时，则火车离库尔勒的距离s（千米）与行驶时间t（时）之间的函数关系式 是. 例 4 某物体从上午 7 时至下午 4 时的温度 M（）是时间 t （时）的函数：M=t 2-5t+100 （其中 t=0 表示中午 12 时， t=1 表示下午

14、 1 时） ， 则上午 10 时此物体的温度为 例 5 已知 y-3 与 x 成正比例，且 x=2 时，y=7. （1）写出 y 与 x 之间的函数关系式； 学习必备欢迎下载 （2）当 x=4 时，求 y 的值； （3）当 y=4 时，求 x 的值 例 6 若正比例函数 y=（1-2m）x 的图象经过点 A（x1，y1）和点 B（x2，y2） ，当 x1 x2时，y1y2，则 m 的取值范围是（） AmO Bm0 Cm 2 1 DmM 学生做一做某校办工厂现在的年产值是15 万元，计划今后每年增加2万元 （1）写出年产值 y（万元）与年数 x（年）之间的函数关系式； （2）画出函数的图象； （

15、3）求 5 年后的产值 例 7 已知一次函数 y=kx+b 的图象如图 1122所示，求函数表达式 学习必备欢迎下载 例 8 求图象经过点（ 2，-1） ，且与直线 y=2x+1 平行的一次函数的表达式 综合应用题 本节知识的综合应用包括： （1）与方程知识的综合应用； （2）与不等式知识的综合应 用； （3）与实际生活相联系，通过函数解决生活中的实际问题 例 8 已知 y+a 与 x+b（a，b 为是常数）成正比例 （1）y 是 x 的一次函数吗？请说明理由； （2）在什么条件下， y 是 x 的正比例函数？ 学习必备欢迎下载 例 9 某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“ 全球通 ” 使用者

16、先交 50 元月租费，然后 每通话 1 分，再付电话费 04 元；“ 神州行 ” 使用者不交月租费， 每通话 1 分，付话费 06 元（均指市内通话）若1 个月内通话 x 分，两种通讯方式的费用分别为y1元和 y2元 （1）写出 y1，y2与 x 之间的关系； （2）一个月内通话多少分时，两种通讯方式的费用相同？ （3）某人预计一个月内使用话费200元，则选择哪种通讯方式较合算？ 例 10 已知 y+2 与 x 成正比例，且 x=-2 时，y=0 （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）画出函数的图象； （3）观察图象，当x 取何值时， y0 ？ （4）若点（ m，6）在该函数的图象上

17、，求m 的值； （5） 设点 P在 y 轴负半轴上， （2） 中的图象与 x 轴、 y 轴分别交于 A， B 两点， 且 S ABP=4， 求 P 点的坐标 例 11 已知一次函数 y=（3-k）x-2k2+18. 学习必备欢迎下载 （1）k 为何值时，它的图象经过原点？ （2）k 为何值时，它的图象经过点（0，-2）? （3）k 为何值时，它的图象平行于直线y=-x？ （4）k 为何值时， y 随 x 的增大而减小？ 例 12 判断三点 A（3，1） ，B（0，-2） ，C（4，2）是否在同一条直线上 探索与创新题 主要考查学生运用知识的灵活性和创新性，体现分类讨论思想、 数形结合思想在数学

18、 问题中的广泛应用 例 13 老师讲完 “ 一次函数 ” 这节课后，让同学们讨论下列问题： 学习必备欢迎下载 （1）x 从 0 开始逐渐增大时， y=2x+8 和 y=6x 哪一个的函数值先达到30？这说明了 什么？ （2）直线 y=-x 与 y=-x+6 的位置关系如何？ 甲生说： “y=6x的函数值先达到 30，说明 y=6x 比 y=2x+8 的值增长得快 ” 乙生说： “ 直线 y=-x 与 y=-x+6 是互相平行的 ” 你认为这两个同学的说法正确吗？ 例 14 某校一名老师将在假期带领学生去北京旅游，用旅行社说：“ 如果老师买全票， 其他人全部半价优惠 ” 乙旅行社说： “ 所有人

19、按全票价的6 折优惠 ” 已知全票价为240 元 （1）设学生人数为x，甲旅行社的收费为y甲元，乙旅行社的收费为y乙元，分别表 示两家旅行社的收费； （2）就学生人数讨论哪家旅行社更优惠 学生做一做某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购 买量在 3000千克以上（含 3000千克）的有两种销售方案甲方案：每千克9 元，由基地 送货上门；乙方案：每千克8 元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的 运输费为 5000元 （1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间 的函数关系式，并写出自变量X 的取值范围； 学习必备欢迎下载 （2

20、）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款少？并说明理由 例 15 一次函数 y=kx+b 的自变量 x 的取值范围是 -3x6，相应函数值的取值范围是 -5y-2，则这个函数的解析式为. 中考试题预测 例 1 某地举办乒乓球比赛的费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定 不变的费用 b（元） ，另一部分与参加比赛的人数x（人）成正比例，当x=20 时 y=160O； 当 x=3O 时，y=200O （1）求 y 与 x 之间的函数关系式； （2）动果有 50 名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要 支付多少元？ 学习必备欢迎下载 例 2 已知一次函数 y=k

21、x+b，当 x=-4 时，y 的值为 9；当 x=2 时，y 的值为 -3 （1）求这个函数的解析式。 （2）在直角坐标系内画出这个函数的图象 例 3 如图 1127 所示，大拇指与小拇指尽量张开时， 两指尖的距离称为指距 某项 研究表明， 一般情况下人的身高h 是指距 d 的一次函数， 下表是测得的指距与身高的一组 数据 指距 d/cm 20 21 22 23 身高 h/cm 160 169 178 187 （1）求出 h 与 d 之间的函数关系式；（不要求写出自变量d 的取值范围） （2）某人身高为 196cm，一般情况下他的指距应是多少？ 学习必备欢迎下载 例 4 汽车由重庆驶往相距40

22、0 千米的成都，如果汽车的平均速度是100 千米时， 那么汽车距成都的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系用图象（如图1128 所 示）表示应为（） 例 5 已知 函数 ：（1）图象不经过第二象 限；（2） 图象经过点（2， -5） .请你写出一个同时满足 （1） 和 （2） 的函数关系式： 例 6 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关如果用a 表示一个人的年龄，用 b 表示正常情况下这个人运动时所能承受的每分心跳的最高次数，另么b=08（220-a） （1）正常情况下，在运动时一个16 岁的学生所能承受的每分心跳的最高次数是多 少？ （2）一个 50 岁的人运动 10 秒时心跳的次数

23、为20 次，他有危险吗？ 学习必备欢迎下载 例 7 某市的 A 县和 B 县春季育苗，急需化肥分别为 90 吨和 60 吨，该市的 C 县和 D 县分别储存化肥 100吨和 50 吨，全部调配给 A 县和 B 县已知 C，D 两县运化肥到 A， B 两县的运费（元吨）如下表所示 （1）设 C 县运到 A 县的化肥为 x 吨，求总运费 W（元）与 x（吨）的函数关系式， 并写出自变量 x 的取值范围； （2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案 学习必备欢迎下载 例 8 20XX 年夏天，某省由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下降，图11 29 是某水库的蓄水量V（万米 2）与干旱持续

24、时间 t（天）之问的 关系图，请根据此图回答下列问题 （1）该水库原蓄水量为多少万米 2？持续干旱 10 天后水库 蓄水量为多少万米 3？ （2）若水库存的蓄水量小于400万米 3 时，将发出严重干旱警 报，请问：持续干旱多少天后，将发生严重干旱警报？ （3）按此规律，持续干旱多少天时，水库将干涸？ 学习必备欢迎下载 例 9 图 1130 表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中， 路程 y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程） ，根据图象回答 下列问题 （1）当比赛开始多少分时，两人第一次相遇？ （2）这次比赛全程是多少千米？ （3）当比赛开始多少分时，两人第二次相遇？ 学习必备欢迎下载 例 10 如图 1131 所示，已知直线y=x+3 的图象与 x 轴、y 轴交于 A，B 两点，直线 l 经过原点，与线段 AB 交于点 C， 把 AOB 的面积分为 2：1 的两部分，求直线l 的解析式