【优质文档】初三数学-有关圆的经典例题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 初三数学有关圆的经典例题 1. 在半径为的中，弦、的长分别为和，求的度数。132OABACBAC 分析： 根据题意， 需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB 与 AC 有不同的位 置关系。 解：由题意画图，分AB 、AC 在圆心 O 的同侧、异侧两种情况 讨论， 当 AB、AC 在圆心 O 的异侧时，如下图所示， 过 O 作 ODAB 于 D，过 O 作 OEAC 于 E， ，ABACADAE32 3 2 2 2 ， ，OAOAD AD OA 1 3 2 cos c o s O A E AE OA 2 2 OAD=30 ， OAE=45 ，故 BAC=75 ， 当 AB

2、、AC 在圆心 O 同侧时，如下图所示， 同理可知 OAD=30 ， OAE=45 ， BAC=15 点拨： 本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。 例 2. 如图： ABC 的顶点 A、B 在 O 上， O 的半径为R， O 与 AC 交于 D， 如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC （1）求证： ABC 是直角三角形； ( )2 2 求的值 AD BC 分析： ( )1 由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，DABODABF 则 AF=FB ，ODAB ，可证 DF 是 ABC 的中位线； 学习必备欢迎下载 （2）延长 DO 交 O 于 E，连接 AE，由于 DAE=90

3、 ， DE AB， ADF ，可得，而，故可求DAEADDFDEDFBCDER AD BC 2 2 1 2 2 解： （1）证明，作直径DE 交 AB 于 F，交圆于E 为的中点，DABABDEAFFB 又 AD=DC ，DFBCDFBC 1 2 ABBC， ABC 是直角三角形。 （2）解： 连结 AE DE 是 O 的直径 DAE=90 而 ABDE， ADF EDA ，即 AD DE DF AD ADDEDF 2 ，DERDFBC2 1 2 ，故ADBCR AD BC R 2 2 例 3. 如图，在 O 中， AB=2CD ，那么（） A ABCDB ABCD22 C ABCDD ABC

4、D22与的大小关系不确定 分析： 要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2 ( )1 1 2 把的一半作出来，然后比较与的大小。ABABCD ( )222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CDCDAB 解： 解法（一），如图，过圆心O 作半径 OFAB ，垂足为E， 学习必备欢迎下载 则 AFFBAB 1 2 AEEBAB 1 2 ，ABCDAECDAB2 1 2 AFFBAFFB， 在 AFB 中，有 AF+FBAB ，2 2 22AFABAF AB AFCDAFCD ABCD 2 选 A。 解法（二），如图，作弦DE=CD ，连结 CE 则 DECDCE 1 2 在 CDE

5、 中，有 CD+DECE 2CDCE AB=2CD ， ABCE ，ABCEABCD2 选 A。 例4. 如图，四边形内接于半径为的，已知ABCD2OABBCAD 1 4 1 求 CD 的长。 分析： 连结 BD，由 AB=BC ，可得 DB 平分 ADC ，延长 AB 、DC 交于 E，易得 EBC EDA ，又可判定AD 是 O 的直径，得ABD=90 ，可证得 ABD EBD ，得 DE=AD ，利用 EBC EDA ，可 先求出 CE 的长。 解： 延长 AB、DC 交于 E 点，连结 BD ABBCAD 1 4 1 ，ABBCADADBEDB4 学习必备欢迎下载 O 的半径为2， A

6、D 是 O 的直径 ABD= EBD=90 ，又 BD=BD ABD EBD ， AB=BE=1 ，AD=DE=4 四边形ABCD 内接于 O， EBC= EDA ， ECB= EAD ，EBCEDA BC AD CE AE CE BCAE AD BC ABBE AD ()11 4 1 2 CDDECE4 1 2 7 2 例 5. 如图，、分别是的直径和弦，为劣弧上一点，ABACODACDEAB 于 H，交 O 于点 E，交 AC 于点 F，P 为 ED 的延长线上一点。 （1）当 PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切，为什么？ ( )2 2 当点在劣弧的什么位置时，才能使，为什么？DA

7、CADDEDF 分析： 由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使 PC 与 O 相切，只要使 PCO=90，问题转化为使OCA+ PCF= FAH+ AFH 就可以了。 ( )2 2 要使，即使，也就是使ADDEDF AD DE DF AD DAFDEA 解： （1）当 PC=PF，（或 PCF=PFC）时， PC 与 O 相切， 下面对满足条件PC=PF 进行证明， 连结 OC，则 OCA= FAH ， PC=PF， PCF=PFC=AFH ， DEAB 于 H， OCA+ PCF=FAH+ AFH=90 即 OCPC， PC 与 O 相切。 学习必备欢迎下载 ( )2 2 当点是劣弧的中点

8、时，理由如下：DACADDEDF 连结，AEADCDDAFDEA 又，ADFEDA ，DAFDEA AD DE DF AD 即 AD 2=DEDF 点拨： 本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求PCF 满足什么条件时，PC 与 O 相切， 可以反过来， 把 PC 与 O 相切作为条件， 探索 PCF 的形状， 显然有多个答案； 第（ 2）问也可将AD 2=DE DF 作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点 D 的位置。 例 6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()ABBCBCO 1 2 D 作半圆的切线交AB 于 E，切点为 F，若 AE： BE=2：1，求 tanADE

9、 的值。 分析： 要求 tanADE ，在 Rt AED 中，若能求出AE、AD ，根据正切的定义就可以 得到。 ED=EF+FD ，而 EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和 AE 的关系， 进一步可求出AE：AD 。 解： 四边形 ABCD 为矩形， BCAB，BC DC AB、DC 切 O 于点 B 和点 C， DE 切 O 于 F， DF=DC ，EF=EB ，即 DE=DC+EB ， 又 AE： EB=2：1，设 BE=x，则 AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ， 在 RtAED 中， AE=2x ，DE=4x ， ADx2 3 则t

10、an A D E AE AD x x 2 2 3 3 3 点拨： 本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例 7. 已知 O1与 O2相交于 A、 B 两点，且点O2在 O1上， （1）如下图， AD 是 O2的直径，连结 DB 并延长交 O1于 C，求证 CO2AD ； 学习必备欢迎下载 （2）如下图，如果AD 是 O2的一条弦，连结 DB 并延长交 O1于 C，那么 CO2所在 直线是否与AD 垂直？证明你的结论。 分析： （ 1）要证CO2 AD ，只需证 CO2D=90，即需证 D+ C=90，考虑到 AD 是 O2的直径，连结公共弦 AB，则 A=C，

11、 DBA=90 ，问题就可以得证。 （2）问题是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC ，直观上看， AC 等于 CD，到底 AC 与 CD 是否相等呢？考虑到O2在 O1上，连结 AO2、 DO2、BO2，可得 1= 2，且有 AO2C DO2C，故 CA=CD ，可得结论 CO2AD 。 解： （1）证明，连结AB，AD 为直径，则 ABD=90 D+BAD=90 又 BAD= C， D+C=90 CO2D=90， CO2AD （2）CO2所在直线与 AD 垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在 AO2C 与 DO2 C 中 ，O AO BAOBO 2222 12 O2B

12、D= O2AC，又 O2BD= O2DB， O2AC= O2DB O2C=O2C， AO2C DO2C， CA=CD ， CAD 为等腰三角形， CO2为顶角平分线， CO2AD 。 例 8. 如 下 图 ， 已 知 正 三 角 形 ABC的 边 长 为 a， 分 别 为 A 、 B、 C 为 圆 心 ， 以为半径的圆相切于点、，求、围成的图形面 a OOOO OO OO O 2 123122331 积 S。（图中阴影部分） 学习必备欢迎下载 分析： 阴影部分面积等于三角形面积减去 3个扇形面积。 解：S aS aa ABC扇 ， 3 4 33 628 22 2 () 阴 Sa a a 3 4

13、8 2 3 8 2 2 2 此题可变式为如下图所示，、 、两两不相交，且它们的半径都ABC 为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。 a 2 () 分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为 A+B+C=180， 因而三个扇形拼起来正好是一个半圆，故所求图形面积为， 8 2 a 原题可在上一题基础上进一步变形：A1、 A2、 A3 An相外离，它们的半径都 是 1，顺次连结n 个圆心得到的n 边形 A 1A2A3 An，求 n 个扇形的面积之和。 解题思路同上。 解： ()n2 2 一、填空题（10 4=40 分） 1. 已知：一个圆的弦切角是50，那么这个弦切角所夹的弧所对的

14、圆心角的度数为 _。 2. 圆内接四边形ABCD 中，如果 A： B： C=2： 3：4，那么 D=_ 度。 3. 若 O 的半径为3，圆外一点P 到圆心O 的距离为6，则点P 到 O 的切线长为 _。 4. 如图所示CD 是 O 的直径，AB 是弦，CDAB 于 M， 则可得出 AM=MB ，AC BC 学习必备欢迎下载 等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。 5. O1与 O2的半径分别是 3 和 4，圆心距为 4 3，那么这两圆的公切线的条数是 _。 6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是 6cm，则它的侧面展开图的面积是_。 7. 已知：如图所示，有一圆弧形桥拱，拱的跨

15、度AB=16cm ，拱高 CD=4cm，那么拱形的 半径是 _。 8. 若 PA 是 O 的切线， A 为切点，割线PBC 交 O 于 B，若 BC=20 ， PA=10 3，则 PC 的长为 _。 9如图 5，ABC内接于 O， 点 P 是 CA 上任意一点 （不与 CA、 重 合）， POCABC则,55 的取值范围是 10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、 40，则 1 的度数为 . 11 已知 O的半径是 3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l （第 9 题图） O 学习必备欢迎下载 与 O的位置关系是 12如图，已知点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧 AD 的三

16、等分点， 46BOC ， 则 AED的度数为 13如图， RtABC 中 90ACB ， 4AC ， 3BC 将 ABC 绕 AC 所在的直线 f 旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积（取 3.14 ，结果保留两个有效 数字） 14如图 8，两个同心圆的半径分别为2 和 1， o AOB120 ，则阴影部分的面积为 15如图， AB 是 O的直径， AM 为弦， 30MAB ，过 M 点的 O的切线交 AB 延 长线于点 N 若 12cmON ，则O的半径为 cm 16如图， RtA BC 是由 RtABC 绕 B 点顺时针旋转而得，且点 ABC， ， 在同一条 直线上，在 RtABC 中

17、，若 90C ， 2BC ， 4AB ，则斜边 AB 旋转到 A B所 扫过的扇形面积为 17 如图，从圆 O外一点 P 引圆 O的两条切线 PAPB， ， 切点分别是 AB， ， 若 8 c mPA ， C是AB上的一个动点（点C与AB， 两点不重合） ， 过点C作圆 O的切线，分别交 PAPB， 于点D E， ，则 PED 的周长是 18、在平面内，O的半径为5cm，点 P 到圆心 O的距离为3cm ，则点 P 与 O的位置关系 第 14 题图 f A B C 图 8 A O B 120 o A O B N M C B A C A （15 题图） O A D P E B C （第 17 题

18、图） 学习必备欢迎下载 是 . 19如图 8，在Rt ABC 中， 903CAC， 将其绕 B 点顺时针旋转一周，则分别 以BA BC， 为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 20如图 9，点 AB， 是 O上两点，10AB ，点 P 是 O上的动点（ P 与A B， 不重 合） 连结 APPB， ， 过点O分别作OE AP于点E，OFPB于点F， 则EF 三、解答题： 1. 已知：如图所示，O1和 O2相交于 A、B 两点，过 B 点作 O1的切线交 O2于 D， 连结 DA 并延长与 O1相交于 C 点，连结 BC。过 A 点作 AEBC 与 O2相交于 E 点，与 BD 相交于 F 点。

19、 （1）求证： EFBC=DE AC ； （2）若 AD=3 ，AC=1 ，AF 3，求 EF 的长。 2. 某单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，相同 颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积相同，现征集设计方案，要求设计的图案 成轴对称图形或中心对称图形。请在如图所示的圆中画出三种设计方案。（只画示意图， 不写作法）。 3. 已知： ABC 是 O 的内接三角形，BT 为 O 的切线， B 为切点， P 为直线 AB 上一 点，过点P 作 BC 的平行线交直线BT 于点 E，交直线AC 于点 F。 （1）如图所示，当点P 在线段 AB 上时，求证：PAPB

20、=PEPF； A C B 图 8 A E O F B P 图 9 学习必备欢迎下载 （2）当点 P为线段BA 延长线上一点时，第（ 1）题的结论还成立吗？如果成立，请 证明；如果不成立，请说明理由； （3）若 AB 4 2 1 3 ，cosEBA ，求 O 的半径。 4如图， ABC 是 O 的内接三角形，点 C是优弧AB 上一点（点 C 不与 AB， 重合）， 设 OAB ， C （ 1）当 35 时，求的度数；（ 2）猜想与之间的关 系，并给予证明 5、（分）已知：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O 与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E 求证：（ 1）ABC是等边三

21、角形；（2） CEAE 3 1 6、 已知：如图，在 RtABC 中，90C，点 O在AB上，以O为圆心，OA长为半 径的圆与 ACAB， 分别交于点 DE， ，且 CBDA （1）判断直线 BD 与 O的位置关系，并证明你的结论； （2）若 :8:5AD AO ， 2BC ，求 BD的长 7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为内切圆，E为切点， （）求 AOD 的度数；（）若 8AO cm， 6DO cm，求OE的长 A D B O C E D C O AB E 学习必备欢迎下载 C A B E F M N 图 C A B E F M N 图 8、已知 RtABC中， 90ACB ， C

22、BCA ，有一个圆心角为 45 ，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线 AB交于点 M，N （）当扇形 CEF 绕点C在 ACB 的内部旋转时，如图，求证： 222 BNAMMN ； （）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式 222 BNAMMN 是否仍然成立？ 若成立，请证明；若不成立，请说明理由 9如图， ABC 内接于 O ，过点 A的直线交O 于点 P ，交 BC的延长线于点D ， 2 ABAP AD （1）求证： ABAC ； （2）如果60ABC， O的半径为 1，且 P 为AC的中点， 求 AD 的长 10 ( 本题满分10 分) 已知

23、：如图，在半径为4 的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的 中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连结DE，DE=15 . (1) 求证：AMMBEMMC；(2) 求EM的长； （3）求 sinEOB 的值. 学习必备欢迎下载 11（本题满分10 分，第（ 1）小题满分3 分，第（ 2）小题满分7 分） “创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看 不清楚（如图7 所示）已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆 O的半 径 OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形， A是OD 与圆 O 的交点 （1）请你帮助小王在图8 中把图形补画完整； （2）由于图纸中圆 O的半径 r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中 1:0.75i 是坡面 CE的坡度），求r 的值 12已知， 如图， 直线 MN 交 O于AB， 两点， AC 是直径， AD 平分 CAM 交 O于 D ，过 D 作 DEMN 于 E （1）求证： DE 是 O的切线； （2）若 6DE cm， 3AE cm，求 O的半径 图 7 O C A D E H 图 8 第 12 题图 C O B A D M E N