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1、学习必备欢迎下载 圆的有关概念和性质 (1) 圆的有关概念 圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定 点为圆心，定长为半径 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧， 小于半圆的弧称为劣弧 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径 （2）圆的有关性质 圆是轴对称图形； 其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图 形，对称中心为圆心 2、圆的对称性： 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线； 圆是中心对称图形，对
2、称中心为 （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 如图， CD是圆 O的直径， CD AB于 E = ， = 弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧， 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆 周角是直角； 90”的圆周角所对的弦是直径 三角形的内心和外心 ? ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 ? ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形 的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫 做三角形的外心 ? ：三角形的内心：
3、和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆， 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 2.与圆有关的角 E C O A B D 学习必备欢迎下载 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。 圆心角的度数等于它所对的弧的 度数 （2）圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角，叫圆周角。圆周角的 度数等于它所对的弧的度数的一半 （3）圆心角与圆周角的关系： 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一 半 （4）圆内接四边形：顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形 圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角 、知识点 1、与圆有关的角圆心角、圆周角 （1）图中
4、的圆心角；圆周角； （2）如图，已知 AOB=50 度，则 ACB= 度； （3）在上图中，若 AB是圆 O的直径，则 AOB= 度； 3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆，点在圆； 例：已知圆的半径 r 等于 5 厘米，点到圆心的距离为 d， （1）当d=2 厘米时，有 dr，点在圆 （2）当 d=7厘米时， 有 d r ，点在圆 （3）当 d=5 厘米时，有 dr，点在圆 4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相 例：已知圆的半径r 等于 12 厘米，圆心到直线l 的距离为 d， （1） 当 d=10厘米时，有 dr ， 直线 l 与圆 （2） 当 d=12厘米时，有 d r ， 直
5、线 l 与圆 （3）当 d=15厘米时，有 dr ，直线 l 与圆 O A C B 学习必备欢迎下载 5、圆与圆的位置关系： 例：已知 O1的半径为 6 厘米， O2的半径为 8 厘米，圆心距为 d ， 则： R+r= ， R r= ； （1）当 d=14厘米时，因为 d R+r，则O1和O2位置关系是： （2）当 d=2 厘米时， 因为 d Rr，则 O1和O2位置关系是： （3）当 d=15厘米时，因为，则 O1和O2位置关系是： （4）当 d=7 厘米时， 因为，则 O1和O2位置关系是： （5）当 d=1 厘米时， 因为，则 O1和O2位置关系是： 6、切线性质： 例： （1）如图，
6、PA是O的切线，点 A是切点，则 PAO= 度 （2）如图， PA 、PB是O的切线，点 A、B是切点， 则 = ， =； 7、圆中的有关计算 （1）弧长的计算公式： 例：若扇形的圆心角为60，半径为 3，则这个扇形的弧长是多少？ 解：因为扇形的弧长 = () 180 所以 l = () 180 = (答案保留 ) O B P A 学习必备欢迎下载 （2）扇形的面积： 例 6：若扇形的圆心角为60，半径为 3，则这个扇形的面积为多少？ （3）圆锥： 例：圆锥的母线长为5cm ，半径为 4cm ，则圆锥的侧面积是多少？ 解：圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 圆锥的侧面积 = 8、三角形的外
7、接圆的圆心三角形的外心三角形的交 点； 三角形的内切圆的圆心三角形的内心三角形的交 点； 知识点复习： 1在同圆或等圆中，如果在两条弦、两条弧、两个圆心角中有_组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 2. 垂径定理：垂直于弦的直径_这条弦，并且平分弦所对的两条 _。 3. 垂径定理的逆定理：平分弦（不是_ ）的直径 _这条弦， 并且平分弦所对的两条 _ 4. 圆 周角 与 圆 心角的 关系 ： 一 条弧 所对的 _等 于 这条 弧所 对 的 _的一半。 _ 所对圆周角相等。在同圆或等圆中，相等的圆周角所对 的_相等。 直径所对的圆周角是 _，_ 的圆周角所对弦是直径。 学习必备欢迎
8、下载 5圆的切线 判定：经过直径 _，并且与这条直径 _ 的直线是圆的切 线。 性质：圆的切线垂直于 _ 的直径。 6三角形的外心 _ 确定一个圆。经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形 的_ ，它的圆心叫做三角形的外心；三角形的外心是三角形的 _ 的交点。 7三角形的内心 与三角形的三边都 _的圆叫做三角形的 _圆，它的圆心叫做三角形 的内心；三角形的内心是三角形的三条_ 的交点。 和圆有关的位置关系 8点和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_ 的 距离为 d，则点在圆内 _； 点 在 圆 上_； 点 在 圆 外 _ 。 9直线和圆的位置关系：有三种。设圆的半径为r，_ 的距离为 d，则 直
9、线和圆没有公共点直线和圆 _d_r； 直线和圆有惟一公共点直线和圆 _d_r； 直线和圆有两个公共点直线和圆 _d_r. 与圆有关的计算： 11. 弧长公式： l_ （已知弧所对的圆心角度数为no，所在圆 的半径为 R） 设扇形的圆心角度数为no，所在圆的半径为R，弧长为 l，则扇形的周长 为 C_ ； 面积 S_ _ 设圆锥的底面半径为r，高为 h，母线长为 l。则 l 2r2h2；圆锥侧面积 S 侧_; 全面积 S全_ 学习必备欢迎下载 设圆柱的底面半径为r，高为 h，母线长为 l。则 lh；圆柱侧面积 S侧 _; 全面积 S全_ 圆的练习 一、选择题 1.下列三个命题：圆既是轴对称图形又
10、是中心对称图形；垂直于弦的直 径平分弦；相等的圆心角所对的弧相等其中真命题的是（） A.B. C. D. 2.下列命题中，正确的个数是（） 直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆； 半径相等的两个圆是等圆；一条弦把圆分成的两段弧中，至少有 一段是优弧 . A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 3.如果两个圆心角相等，那么（） A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相 等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对 4.O 中， AOB= 84，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（） A.42B.138C.69D.42或 138 5.如图，已知 A、B
11、、C 是O 上的三点，若 ACB=44则 AOB 的度数为（） A44 B46 C68 D88 6.如图，如果 AB 为O 的直径，弦 CDAB，垂足为 E， 那么下列结论中， ?错误的是（） A.CE=DE B. C.BAC=BAD D.ACAD 7.如图，O 的直径为 10，圆心 O 到弦 AB 的距离 OM 的长为 3，则 弦 AB 的长是（） A.4 B.6 C.7 D.8 8.如图，A、B、C 三点在 O 上，AOC=100，则 ABC 等于（） A.140 B.110 C.120 D.130 学习必备欢迎下载 9.如图， O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若EOD=40
12、,则DCF 等于（） A.80B. 50C. 40D. 20 10.如图，O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的取值范围（） A3OM5 B4OM5 C3OM5 D4OM5 二、 填空题 1.如图， AB 为O 直径， E 是中点，OE 交 BC 于点 D，BD=3，AB=10，则 AC=_. 2.如图， O 中，若 AOB 的度数为 56， ACB=_. 3.如图， AB 是 O 的直径， CD 是弦， BDC=25，则 BOC=_. 4.如图， 等边ABC 的三个顶点在 O 上， BD 是直径，则BDC=_， ACD=_.若 CD=10cm，则
13、 O 的半径长为 _. 5.如图所示，在 O 中，AB 是O 的直径， ACB 的角平分线 CD 交O 学习必备欢迎下载 于 D，则 ABD=_度 6.（山西）如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻， 当他带球冲到 A 点时，同样乙已经助攻冲到B 点.有两种射门方式：第一种是甲 直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射门角度考虑，应选择 _种射门方式 . 三、解答题 1.如图， AB 为O 的直径， CD 为弦，过 C、D 分别作 CNCD、DM? CD，?分别交 AB 于 N、M，请问图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由 . 2.如图，在 O 中，C、D 是直
14、径 AB 上两点，且 AC=BD，MCAB，ND AB，M、N?在O 上.(1)求证：=； (2)若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则成立吗？ 3.如图，已知 AB=AC ，APC=60 (1)求证： ABC 是等边三角形 . (2)若 BC=4cm，求 O 的面积 . 学习必备欢迎下载 一、选择题 1.如图，在 O 中，P 是弦 AB 的中点， CD 是过点 P 的直 径，?则下列结论中不正确的是 () A.AB CD B.AOB=4ACD C. D.PO=PD 2.如图， O 中，如果=2，那么 () A.AB=AC B.AB=2AC C.AB2AC D.AB2AC 3.如图， 1、2
15、、3、4 的大小关系是 () A.4123 B.41=32 C.413 2 D.413=2 4.如图， AD 是O 的直径， AC 是弦， OBAD，若 OB=5，且 CAD=30， 则 BC 等于() A.3 B.3+ C.5-D.5 二、填空题 1.P 为O 内一点， OP=3cm，O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为 _；最长弦长为 _. 2.如图， OE、OF 分别为 O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果OE=OF，那么 _(只需写一个正确的结论 ). 学习必备欢迎下载 3.如图， AB 和 DE 是O 的直径， 弦 ACDE， 若弦 BE=3， 则弦 CE=_. 4.半径为
16、 2a 的O 中，弦 AB 的长为，则弦 AB 所对的圆周角的度数 是_. 5.如图， AB 是 O 的直径， C、D、E 都是圆上的点，则 1+2=_. 三、解答题 1.如图， O 直径 AB 和弦 CD 相交于点 E，AE=2，EB=6，DEB=30， 求弦 CD 长. 2.如图，AOB=90，C、D 是三等分点， AB 分别交 OC、OD 于点 E、 F，求证： AE=BF=CD. 学习必备欢迎下载 3.如图，C 经过坐标原点， 且与两坐标轴分别交于点A 与点 B，点 A 的坐 标为(0，4)，M 是圆上一点， BMO=120. (1)求证： AB 为C 直径. (2)求C 的半径及圆心
17、 C 的坐标 . 答案与解析 基础达标 一、选择题 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.D 7.D 8.D 9.D 10.A 二、填空题 1.8 2.28 3.50 4.60，30，10cm 5.45 6.第二 三、解答题 1.AN=BM 理由：过点 O 作 OECD 于点 E， 则 CE=DE，且 CNOEDM. ON=OM，OA-ON=OB-OM ， AN=BM. 2.(1)连结 OM、ON，在 RtOCM 和 RtODN 中 OM=ON， OA=OB，AC=DB ，OC=OD，RtOCMRtODN， AOM= BON， (2) 提 示 ： 同 上 ， 在Rt OCM中 ， ，同理
18、 ， . 3.(1)证明： ABC=APC=60， 学习必备欢迎下载 又， ACB=ABC=60， ABC 为等边三角形 . (2)解：连结 OC，过点 O 作 ODBC，垂足为 D， 在 RtODC 中，DC=2，OCD=30， 设 OD=x，则 OC=2x，4x 2-x2=4，OC= O 的面积 能力提升 一、选择题 1.D 2.C 3.B 4.D 二、填空题 1.8cm，10cm 2.AB=CD 3.34.120或 605.90 三、解答题 1. 过 O 作 OFCD 于 F，如右图所示 AE=2，EB=6，OE=2， OF=1，EF=，连结 OD， 在 RtODF 中， 4 2=12+
19、DF2，DF= ，CD=2. 2. 连结 AC、BD，C、D 是三等分点， AC=CD=DB ，且 AOC=90=30， OA=OC， OAC=OCA=75， 又AEC=OAE+AOE=45+30=75， AE=AC ， 同理可证 BF=BD，AE=BF=CD. 3. (1)C 经过坐标原点 O， 且 A、 B 为C 与坐标轴的交点， 有AOB=90 AB 为直径； (2)BMO=120，的比为 1：2，它们所对的圆周角之 比为 BAO:BMO=1：2 BAO=60，在 RtABO 中，AB=2AO=8 ，C 的半径为 4； 作，垂足分别为点 E、F 学习必备欢迎下载 AE=OE，BF=OF 在 RtABO 中，AO=4，OB= 圆心 C 的坐标为. 综合探究 1.（2，0）提示：如图，作线段AB、BC 的垂直平分线，两条垂直平分线的 交点即为圆心 . 2.(1)AC、AD 在 AB 的同旁，如右图所示，作，垂 足分别为点 E、F AB=16，AC=8，AD=8， 在 RtAOE 中， CAB=60， 同理可得 DAB=30， DAC=30. (2)AC、AD 在 AB 的异旁，同理可得： DAC=60+30=90