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1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛专题选讲（初三.8） 换元法 一、内容提要 1.换元就是引入辅助未知数.把题中某一个（些）字母的表达式用另一个（些）字母的 表达式来代换，这种解题方法，叫做换元法，又称变量代换法. 2.换元的目的是化繁为简，化难为易，沟通已知和未知的联系. 例如通过换元来降次，或化分式、根式为整式等.换元的关鍵是选择适当的式子进 行代换 . 3.换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小；若 新变量的取值范围扩大了，则在求解之后要加以检验. 4.解二元对称方程组，常用二元基本对称式代换. 5.倒数方程的特点是：按未知数降幂排列后，与首、末等距离的项的系
2、数相等. 例如：一元四次的倒数方程ax4+bx 3+cx2+bx+a=0. 两边都除以x2,得 a(x2+ 2 1 x )+b(x+ x 1 )+c=0. 设 x+ x 1 =y, 那么 x 2+ 2 1 x = y 2 2, 原方程可化为ay2+by+c2=0. 对于一元五次倒数方程ax5+bx 4+cx3+cx2+bx+a=0 ， 必有一个根是 1. 原方程可化为(x+1)(ax 4+b 1x 3+c 1x 2 +b1x+a)=0. ax 4+b 1x 3+c 1x 2+b 1x+a=0 ，这是四次倒数方程. 形如ax4bx 3+cx2bx+a=0 的方程，其特点是： 与首、末等距离的偶数
3、次幂项的系数相等，奇数次幂的系数是互为相反数. 两边都除以x 2, 可化为 a(x2+ 2 1 x )b(x x 1 )+c=0. 设 x x 1 =y, 则 x 2+ 2 1 x =y 2+2, 原方程可化为ay2by+c+2=0. 二、例题 例 1.解方程111 2 xxx=x. 解：设11xx=y, 那么 y 2=2x+2 1 2 x. 学习必备欢迎下载 原方程化为：y 2 1 y 2=0 . 解得y=0；或 y=2. 当 y=0 时，11xx=0 (无解 ) 当 y=2 时，11xx=2， 解得， x= 4 5 .检验（略） . 例 2.解方程： x 4+(x4)4=626. 解： （
4、用平均值 2 4xx 代换，可化为双二次方程.） 设 y= x 2 ，则 x=y+2. 原方程化为(y+2) 4+(y 2)4=626. (y+2) 2(y2)2)22(y+2)2(y2)2626=0 整理，得y4+24y2297=0. (这是关于y 的双二次方程). (y 2+33)(y29)=0. 当 y 2+33=0 时， 无实根； 当 y 29=0 时， y=3. 即 x2= 3， x=5；或 x=1. 例 3.解方程： 2x 4+3x316x2+3x+2=0 . 解：这是个倒数方程，且知x0， 两边除以x 2,并整理 得 2(x 2+ 2 1 x )+3(x+ x 1 ) 16=0.
5、 设 x+ x 1 =y,则 x 2+ 2 1 x =y 22. 原方程化为2y 2+3y 20=0. 解得y=4；或 y= 2 5 . 由 y=4 得x= 2+3；或 x=23. 由 y=2.5 得x=2；或 x= 2 1 . 例 4解方程组 01012124 01252 22 22 yxyxyx yxyxyx 学习必备欢迎下载 解： （这个方程组的两个方程都是二元对称方程，可用基本对称式代换.） 设 x+y=u, xy=v. 原方程组化为： 010212 012 2 2 vuu vuu . 解得 37 4 v u ；或 9 11 3 2 v u . 即 37 4 xy yx ；或 9 11
6、 3 2 xy yx . 解得： 3 321 3 321 y x ；或 3 321 3 321 y x ；或 412 412 y x ；或 412 412 y x . 三、练习 解下列方程和方程组： （ 1 到 15 题） ： 1. )7(27xxxx352x. 2.(16x 29)2+(16x29)(9x216)+(9x216)2=(25x225)2. 3.(2x+7) 4+(2x+3)4=32 . 4.(2x 2x6)4+(2x2x 8)4=16. 5.(211 5 x) 4+(2 31 5 x) 4=16. 6. x x x x1 1 2 = 2 23 . 7.2x 43x3x23x+2
7、=0. 8. 19 18 22 22 xyyx yxyx 9. 160 3 111 22 yx yx . 10. 56 3 96 4 46 7 222 xxxxxx . 11.(6x+7) 2(3x+4)(x=1)=6. 12. 13 511 yx yx . 13. 10 2 5 yx x y y x . 学习必备欢迎下载 14. 0182 33 1 2 yxyy yx y x .15x xx x 1 1 1 . 16. 分解因式：(x+y 2xy)(x+y 2)+(1 xy) 2； a 4+b4+(a+b)4 . 17. 已知： a+2=b2=c2=d2, 且 a+b+c+d=1989. 则
8、 a=_,b= _,c=_,d=_ 18. a表示不大于a 的最大整数，如2=1， 2 =2， 那么 方程 3x+1=2x 2 1 的所有根的和是_. 参考答案 1. 2 2 12 29 2. 4 3 3 4 3. 2 5 4. 2, 2 3 , 4 651 5. 32 31 - 32 211， 6. 1 7. 2 1 ,2 8. 72 72 72 72 2 3 3 2 y x y x y x y x 9. 555 555 555 555 4 12 12 4 y x y x y x y x 10. 7,1 11. 3 2 , 3 5 学习必备欢迎下载 12. 10 3 5 8 y x y x 13. 8 2 2 8 y x y x 14. 103 104 103 104 1 5 1 3 y x y x y x y x 15. x= 2 51 16.设 x+y=a,xy=b 设 a 2+b2=x,ab=y 17.设原式 =k, k=442 18. 2 可设 2x 2 1 =t, x= 2 1 t+ 4 1 代入 3x+1