【优质文档】初中数学竞赛辅导资料(七年级用).pdf

《【优质文档】初中数学竞赛辅导资料(七年级用).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】初中数学竞赛辅导资料(七年级用).pdf（65页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛辅导资料 目录 第一讲数的整除 2 第二讲倍数约数 4 第三讲质数合数 7 第四讲零的特性 9 第五讲a n 的个位数 . 12 第六讲数学符号 15 第七讲用字母表示数 18 第八讲抽屉原则 20 第九讲一元一次方程解的讨论 24 第十讲二元一次方程的整数解 27 第十一讲二元一次方程组解的讨论 31 第十二讲用交集解题 35 第十三讲用枚举法解题 40 第十四讲经验归纳法 44 第十五讲乘法公式 46 第十六讲整数的一种分类 51 参考答案 56 学习必备欢迎下载 第一讲数的整除 一、内容提要： 如果整数A 除以整数B(B 0)所得的商A/B 是整数 ,那么叫

2、做A 被 B 整除 . 0能 被所有非零的整数整除. 一些数的整除特征 除 数能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被2或 5 整除 4 或 25 末两位数能被4或 25 整除 8 或 125 末三位数能被8或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被3 或 9 整除 (如 771，54324) 11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除 (如 143,1859,1287,908270 等) 7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减, 其差能被7 或 11 或 13 整除 .(如 1001，22743，17567，21281 等) 能被

3、 7 整除的数的特征： 抹去个位数减去原个位数的2 倍其差能被7 整除。 如1001100298（能被 7 整除） 又如 700770014686，6812 56（能被 7 整除） 能被 11 整除的数的特征： 抹去个位数减去原个位数其差能被11 整除 如1001100199（能 11 整除） 又如 102851028510231023 99（能 11 整除） 二、例题 例 1 已知两个三位数328 和92x的和仍是三位数75y且能被 9 整除。 求 x,y 解： x,y 都是 0 到 9 的整数，75y能被 9 整除， y=6. 32892x567， x=3 例 2 已知五位数x1234能被

4、 12 整除，求x 解：五位数能被12 整除，必然同时能被3 和 4 整除， 当 1234x能被 3 整除时， x=2，5，8 当末两位4x能被 4 整除时，x0，4，8 x8 学习必备欢迎下载 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数 解：五位数字都不相同的最小五位数是10234， 但（ 124）（ 03） 4，不能被11 整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为30，41，52，63，均可， 五位数字都不相同的最小五位数是10263。 练习一 1、分解质因数： （写成质因数为底的幂的连乘积） 75618591287 32761010110296 2、若四位数a987能被 3

5、整除，那么a=_ 3、若五位数12 34x能被 11 整除，那么x_ 4、当 m=_时，535m能被 25 整除 5、当 n=_时，n9610能被 7 整除 6、能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是 _ 7、 能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最大四位数是_。 8、8 个数： 125， 756，1011， 2457， 7855， 8104，9152，70972 中， 能被下列各数整除的有（填上编号）： 6_,8_,9_,11_ 9、从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被2 和 3 整除的共 _个，能被3 整除但 不是 5 的倍数的共 _个。 10、由 1，

6、2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整 除的数共有几个？为什么？ 学习必备欢迎下载 11、已知五位数A1234能被 15 整除，试求A 的值。 12、求能被9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。 13、在十进制中，各位数码是0 或 1，并能被225 整除的最小正整数是_. 第二讲倍数约数 一、内容提要 1、两个整数A 和 B（B0） ，如果 B 能整除 A（记作 B A） ，那么 A 叫做 B 的 倍数， B 叫做 A 的约数。例如315， 15 是 3 的倍数， 3 是 15 的约数。 2、因为 0 除以非 0 的任何数都得0，所以 0 被非 0 整数整除。

7、 0 是任何非 0 整数 的倍数，非0 整数都是0 的约数。如0 是 7 的倍数， 7是 0 的约数。 3、整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互为相反数成对出现，0， A， 学习必备欢迎下载 2A，都是A 的倍数，例如5 的倍数有 5， 10，。 4、整数A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其 中必包括 1 和 A。例如 6 的约数是 1， 2， 3， 6。 5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和 最犬的公约数。 6、公约数只有1 的两个正整数叫做互质数（例如15 与 28 互质） 。 7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数。若用

8、字母表示可记作：A BQR，当 A，B，Q，R 都是整数且B0 时， AR 能被 B 整除。 例如 23372，则 232 能被 3 整除。 二、例题 例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个数，从中总结出规律加以 应用： 2，2 2，23， 24，3，32， 33， 34，23，223，2232 。 解：列表如下 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 正 整 数 正约数 个 数 计 2 1，2 2 3 1，3 2 23 1，2， 3，6 4 2 2 1，2，4 3 3 2 1，3，3 2 3 2 23 1，2，3， 4，6，12 6 2 3 1，2， 4，8 4

9、 3 3 1，3， 3 2， 33 4 2 232 1，2，3， 4，6，9， 12，18，36 9 2 4 1，2，4， 8，16 5 3 4 1，3，3 2， 3 3， 34 5 其规律是：设Aambn (a，b 是质数 ,m，n 是正整数 )，那么合数A 的正约数的个数是 （m+1） (n+1) 例如求 360 的正约数的个数 解：分解质因数：36023325， 360 的正约数的个数是（31）（ 21）（ 11） 24（个） 例 2 用分解质因数的方法求24， 90 最大公约数和最小公倍数 解： 24233，902325 最大公约数是23，记作（ 24，90） 6 最小公倍数是2 33

10、25360， 记作 24,90=360 例 3 已知 32，44 除以正整数N 有相同的余数2，求 N 解： 322，442 都能被 N 整除， N 是 30，42 的公约数 （ 30，42） 6，而 6 的正约数有1，2，3， 6 经检验 1 和 2 不合题意， N6，3 例 4 一个数被 10 余 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数 学习必备欢迎下载 分析： 依题意如果所求的数加上1，则能同时被10，9，8 整除 ,所以所求的数是10，9， 8 的最小公倍数减去1。 解：10,9,8=360, 所以所求的数是359 练习二 1、12 的正约数有 _,16 的所有

11、约数是_ 2、分解质因数300_,300 的正约数的个数是_ 3、用分解质因数的方法求20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。 4、一个三位数能被7，9，11 整除，这个三位数是_ 5、能同时被3， 5，11 整除的最小四位数是_，最大三位数是_ 6、已知 14 和 23 各除以正整数A 有相同的余数2，则 A_ 7、写出能被2 整除，且有约数5，又是 3 的倍数的所有两位数。 8、一个长方形的房间长1.35 丈，宽 1.05 丈，要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正 方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作为边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适 合？ 9、一条长阶梯，如果每步跨2 阶，那么最后剩1

12、 阶；如果每步跨3 阶，那么最后剩2 阶；如果每步跨4 阶，那么最后剩3 阶；如果每步跨5 阶，那么最后剩4 阶；如果 每步跨 6 阶，那么最后剩5 阶；只有每步跨7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯 最少有几阶？ 学习必备欢迎下载 第三讲质数合数 一、内容提要 1、正整数的一种分类： 1 质数 合数 质数的定义 ：如果一个大于1 的正整数，只能被1 和它本身整除，那么这个正整数 叫做质数（质数也称素数）。 合数的定义 ：一个正整数除了能被1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这 样的正整数叫做合数。 2、 根椐质数定义可知 质数只有1 和本身两个正约数。 质数中只有一个偶数2。 如果两个

13、质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2； 如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2。 3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。 二、例题 例 1 两个质数的和等于奇数a (a5)，求这两个数。 解：两个质数的和等于奇数 必有一个是2 所求的两个质数是2 和 a2。 例 2 已知两个整数的积等于质数m, 求这两个数。 解：质数m 只含两个正约数1 和 m, 又（ 1） （ m）=m 所求的两个整数是1 和 m 或者 1 和 m. 例 3 已知三个质数a,b,c 它们的积等于30，求适合条件的a,b,c 的值。 学习必备欢迎下载 解：分解质因数：30235

14、 适合条件的值共有： 5 3 2 c b a ， 3 5 2 c b a ， 5 2 3 c b a ， 2 5 3 c b a ， 3 2 5 c b a ， 2 3 5 c b a 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为4 个质数 a,b,c,d它们的积等于210, 即 abcd=235 7，那么适合条件的a，b，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。 例 4 试写出 4 个连续正整数，使它们个个都是合数。 解： （本题答案不是唯一的） 设 N 是不大于5 的所有质数的积，即N235 那么 N2， N 3，N4，N5 就是适合条件的四个合数 即 32，33，34，35 就是所求的一

15、组数。 本题可推广到n 个。令 N 等于不大于n+1 的所有质数的积，那么N2， N3，N4， N（ n+1）就是所求的合数。 练习三 1、小于 100 的质数共 _个，它们是 _ 2、已知质数P 与奇数 Q 的和是 11，则 P_，Q_ 3、已知两个素数的差是41，那么它们分别是_ 4、如果两个自然数的积等于19，那么这两个数是_； 如果两个整数的积等于73，那么它们是 _； 如果两个质数的积等于15，则它们是 _。 5、两个质数x 和 y，已知 xy=91, 那么 x=_,y=_, 或 x=_,y=_. 6、三个质数a,b,c它们的积等于1990，那么 _ _ _ a b c 7、能整除3

16、 11513 的最小质数是 _ 8、已知两个质数A 和 B 适合等式A B99，ABM ，求 M 及 B A A B 的值。 9、试写出6 个连续正整数，使它们个个都是合数。 学习必备欢迎下载 10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？ 11、求适合下列三个条件的最小整数： 大于 1没有小于10 的质因数不是质数 12、某质数加上6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在30 到 50 之间， 那么这个质数是_ 13、一个质数加上10 或减去 14 都仍是质数，这个质数是_。 第四讲零的特性 一、内容提要 （一）零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。零是 自然数，是整

17、数，是偶数。 1、零是表示具有相反意义的量的基准数。 例如：海拔0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支平衡可记作结存0 元。 2、零是判定正、负数的界限。 若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若a 是正数，则a0 记作a0 a 是正数读作 a0 等价于 a 是正数 bb 时,a-b0；当 aa, a 2 a2 , aa, a+1a 3、x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：_句。 （ x2） 2 有最小值0， x+3|有最大值0， 2x 2 有最大值 2，3 x1有最小值3。 4、绝对值小于5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？ 5、要使下列等式成立，字母x、y

18、应取什么值？ 0 x 0，(3)x x0，1x 2 (3)y0 0ab 学习必备欢迎下载 6、下列说法正确吗？为什么？ a的倒数是 1 a 方程（ a1）x3 的解是x 1 3 a n 表示一切自然数，2n1 表示所有的正奇数 如果 ab, 那么 m2am2b (a 、b 、m 都是有理数 ) 7、x取什么值时，下列代数式的值是正数？ x（x1）x（x1） （x2） 第五讲a n 的个位数 一、内容提要 1. 整数 a 的正整数次幂a n,它的个位数字与 a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如 2002 3与 23 的个位数字都是8。 2. 0，1，5， 6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们

19、本身。例如5 7 的个位数是5， 6 20 的个位数是6。 3.2，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表： 指数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 底 数 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 学习必备欢迎下载 其规律是： 2 的正整数次幂的个位数是按2、4、 8、6 四个数字循环出现，即24k+1与 2 1，24k2 与 2 2，24k3 与 2 3，24k4 与 2 4 的个位数是相同的（K 是正整数）。3 和 7 也 有类似的性质。 4. 4，8，9 的正整数次幂的个位数，可仿照上

20、述方法，也可以用42 2， 82 3，932 转化为以2、3 为底的幂。 5. 综上所述，整数a 的正整数次幂的个位数有如下的一般规律： a 4km 与 a m 的个位数相同(k,m 都是正整数 )。 二、例题 例12003 2003 的个位数是多少？ 解： 20032003与 32003的个位数是相同的， 200345003， 3 2003 与 3 3 的个位数是相同的，都是7， 2003 的个位数是7。 例2试说明 6320001472002的和能被10 整除的理由 解： 20004500，200245002 632000与 34的个位数相同都是1，1472002与 72的个位数相同都是9

21、， 6320001472002的和个位数是0， 6320001472002的和能被10 整除。 例3k 取什么正整数值时，3 k2k 是 5 的倍数？ 解：列表观察个位数的规律 k1 2 3 4 3 的个位数3 9 7 1 2 的个位数2 4 8 6 3 k2k 的个位数5 5 从表中可知，当k1，3 时， 3k2k的个位数是5， am与 a4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数， a 是整数） ;当 k 为任何奇数时，3 k2k 是 5 的倍数。 练习五 1、在括号里填写各幂的个位数（k 是正整数） 2 20 的个位数是（）45的个位数是（） 3 30 的个位数是（）87的个位数是（）

22、7 4K+1 的个位数是（）31179的个位数是（） 2 16314 的个位数是（）32k-172k-1的个位数是（） 7 2k 32k 的个位数是（）74k-164k-3的个位数是（） 77 10331522205525 的个位数是（） 2、目前知道的最大素数是2 2160911，它的个位数是 _。 3、说明如下两个数都能被10 整除的理由。 5353 33331987198919931991 学习必备欢迎下载 4、正整数m 取什么值时，3 m1 是 10 的倍数？ 5、设 n 是正整数，试说明2 n 7 n+2 能被 5 整除的理由。 6、若 a 4 的个位数是5，那么整数a 的个位数是

23、_ 若 a 4 的个位数是1，那么整数a的个位数是 _ 若 a4的个位数是6，那么整数a的个位数是 _ 若 a 2k-1 的个位数是7，那么整数a 的个位数是 _ 7、 1 2+22+32 + +9 2 的个位数是 _， 12+22+32+ +192的个位数是 _， 1 2+22+32 + +29 2 的个位数是 _。 8、 a,b,c是三个连续正整数，a 2=14884,c2=15376,那么 b2 是（） （A） 15116， （B）15129， （C）15144， （D）15321 学习必备欢迎下载 第六讲数学符号 一、内容提要 数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义

24、，即当我们把 它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。 数学符号一般可分为： 1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示圆和 三角形等。 2、关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。 3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。 4、逻辑符号：略 5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整 数部分记作Z（ b a ） ，而它的余数记作R（ b a ） ， 那么 Z（ 3 10 ） 3，R（ 3 10 ） 1；又如设x表示不大于x 的最大整数，那么2 .5 5，2.5 6， 3 2 0，3 3。 正确使用符号的

25、关健是明确它所表示的意义（即定义） 对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体 到抽象，逐步加深理解。 在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的 定义，所用符号不要与常规符号混淆。 二、例题 例 1 设Z表示不大于Z 的最大整数，n为正整数n 除以 3 的余数计算： 4.07 3 2 7 13 2004 14.7 34 2 解：原式4（ 3） 100 原式 14 1 2 202 例 2求 19871988的个位数 说明 198719891993 1991 能被 10 整除的理由 学习必备欢迎下载 解：设 N（x）表示整数x 的个位数 N（198

26、7 1988） N（ 74497） N（74） 1 N（19871989） N（19931991） N（74 4971） N（344973） N（71） N（33） 770 1987198919931991能被 10 整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明了。 例 3.定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b 试计算： 53（ 17） 4 解： 5325 313 （ 1 7） 4（ 217） 49429422 例4设 ab=a(ab+7), 求等式 3 x=2 (-8)中的 x 解：由题设可知： 等式 3 x=2(-8)就是 3（3x7） 22（ 8） 7 9x+21=18 x=4 3 1

27、 练习六 1、 设 Q x 表示有理数x 的整数部分，那么Q2.15 _， Q 12.3=_， Q0，b0，那么a+b0，不可逆 绝对值性质如果 a0,那么 |a|=a，也不可逆 (若|a|=a则 a0) 7、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。 例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的n 位数呢？ 解：不同的五位数可从最大五位数99999 减去最小五位数10000 前的所有正整数， 即 99999-9999=90000. 推广到 n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数 ,从 1 到 9 共 9 个，记作 91 二位正整数从10 到 99 共 90 个，记作 910 三位正

28、整数从100 到 999 共 900 个，记作 9102 四位正整数从1000 到 9999 共 9000 个，记作 9103 (指数 3=4-1) n 位正整数共910 n-1 个 例 2 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后，图中共有几条线段？加 n 点呢？ 解：以 A 为一端的线段有：AC 、AD 、AE、AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有：(除 CA 外) CD、CE、CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有：(除 DC、 DA 外 ) DE、DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC、EA 外) EB 共 1 条 共有线段1+2+3+4=10 (条)

29、注意： 3 个点时，是从1 加到 4， 因此 如果是 n 个点，则共有线段1+2+3+ +n+1= 11 (1) 2 n n= (1)(2) 2 nn 条 练习七 1、右边代数式中的字母应取什么值？ 2 4 x S正方形=a 2 3 的倍数 3n EDCBA 学习必备欢迎下载 2、用字母表示： 一切奇数；所有正偶数；一个三位数； n 个 a 相乘的结果；负数的绝对值是它的相反数。 3、写出：从1 开始， n 个自然数的和是_ 从 11 开始到 2n+1 连续奇数的和( n5)是_ m 个球队进行单循环赛所需场数是_ 4、已知 999=10 31, 9999=10 41, 那么各位数都是 9 的

30、 n 位数 n 9999=_ 5、计算 11 2=_，1112= _， n 2 1111=_ 6、写出图中所有三角形并计算其个数， 如果线段上有n个点呢？ 第八讲抽屉原则 一、内容提要 1、4 个苹果放进3 个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2 个（即等于或多于2 个） ；如果 7 个苹果放进3 个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的 苹果不少于3 个（即等于或多于3个） ，这就是抽屉原则的例子。 2、如果用 m n 表示不小于 m n 的最小整数，例如 7 3 3， 6 2 3 。那么 抽屉原 则可定义 为：m 个元素分成n 个集合（ m、n 为正整数mn）,则至少有一个集合

31、里元 素不少于 m n 个。 O ED CBA 学习必备欢迎下载 3、根据 m n 的定义，已知m、n 可求 m n ； 己知 m n ， 则可求 m n 的范围， 例如已知 m n 3，那么 2 m n 3； 已知 3 x 2， 则 1 3 x 2，即 3x6， x 有最小整数值4。 二、例题 例 1 某校有学生2000 人，问至少有几个学生生日是同一天？ 分析：我们把2000 名学生看作是苹果，一年365 天（闰年366 天）看作是抽屉，即 把 m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于 m n 个 解： 366 2000 5 366 17 2000 366

32、6 答：至少有6 名学生的生日是同一天 例 2 从 1 到 10 这十个自然数中，任意取出6 个数，其中至少有两个是倍数关系，试 说明这是为什么。 解：我们把1 到 10 的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5 个集合，它们 是： 1，2，4， 8， ， 3，6， ， 5，10 ， 7 ， 9 。 要在 5 个集合里取出6 个数， 至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。 （本题的关键是划分集合，想一想为什么9 不能放在 3 和 6 的集合里）。 例 3 袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6 个,请你从袋中取出一些球，要求 至少有 3 个颜色相同，那么至少应取

33、出几个才有保证。 分析：我们可把4 种球看成4 个抽屉（ 4 个集合），至少有 3 个球同颜色，看成是至少 有一个抽屉不少于3 个（有一个集合元素不少于3 个） 。 解：设至少应取出x 个，用 4 x 表示不小于 4 x 的最小整数，那么 4 x 3，2 4 x 3，即 8x 12，最小整数值是9。 答：至少要取出9 个球，才能确保有三个同颜色。 例 4 等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小 于 1，试说明理由。 解：取等边三角形各边中点，并连成四个小三角形，（如图）它 们边长等于1， 5 个点放入 4 个三角形， 学习必备欢迎下载 至少有 2 个点放在同一个

34、三角形内， 而同一个三角形内的2 个点之间的距离必小于边长1。 练习八 1、初一年新生从全县17 个乡镇招收50 名，则至少有 _人来自同一个乡镇。 2、任取 30 个正整数分别除以7，那么它们的余数至少有_个是相同的。 3、在 2003 m中，指数 m 任意取 10 个正整数，那么这10 个幂的个位数中相同的至少 有_个. 4、暗室里放有四种不同规格的祙子各30 只，为确保取出的祙子至少有1 双（ 2 只同 规格为 1 双） ，那么至少要取几只？若要确保10 双呢？ 5、袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6 个，请你拿出一些球，要确保至少 有 4 个同颜色，那么最少要取几个？ 6、任意取

35、11 个正整数，至少有两个它们的差能被10 整除，这是为什么？ 7、右图有3 行 9 列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2 列的涂色方式是 学习必备欢迎下载 一样的，试说明这是为什么。 8、任意取3 个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。 9、90 粒糖果分给13 个小孩，每人至少分1 粒，不管怎样分，总有两人分得同样多， 这是为什么？ 10、 11 个互不相同的正整数，它们都小于20，那么一定有两个是互质数。 （最大公约数是1 的两个正整数叫互质数） 学习必备欢迎下载 11、任意 6 个人中，或者有3 个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互 不相识，两

36、者必居其一，这是为什么？ 第九讲一元一次方程解的讨论 一、内容提要 1、方程的解的定义：能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。一元 方程的解也叫做根。 例如：方程2x 60，x（x-1）=0, |x|=6, 0x=0, 0x=2 的解分别是x=3, x=0 或 x=1, x= 6, 所有的数，无解。 2、关于 x 的一元一次方程的解（根）的情况：化为最简方程ax=b 后， 讨论它的解：当a0 时，有唯一的解x= a b ； 当 a=0 且 b0 时，无解； 当 a=0 且 b0 时，有无数多解。 （不论x 取什么值， 0x0 都成立） 3、求方程ax=b(a0)的整数解、正整数解、

37、正数解 当 ab 时，方程有整数解； 当 ab，且 a、b 同号时，方程有正整数解； 当 a、b 同号时，方程的解是正数。 综上所述，讨论一元一次方程的解，一般应先化为最简方程ax=b 二、例题 例 1 a取什么值时，方程a(a2)x=4(a 2)有唯一的解？无解？ 有无数多解？是正数解？ 学习必备欢迎下载 解：当a0 且 a2 时，方程有唯一的解，x= a 4 当 a=0 时，原方程就是0x= 8，无解； 当 a=2 时，原方程就是0x=0 有无数多解 由可知当a0 且 a2 时，方程的解是x= a 4 ,只要 a与 4 同号， 即当 a0 且 a2 时，方程的解是正数。 例 2 k 取什么

38、整数值时，方程 k(x+1)=k 2（x 2）的解是整数？ （ 1x）k=6 的解是负整数？ 解：化为最简方程（k2）x=4 当 k+2 能整除 4，即 k+2= 1， 2， 4 时，方程的解是整数 k=1， 3，0， 4， 2， 6 时方程的解是整数。 化为最简方程kx=k 6， 当 k0 时 x= k k6 =1 k 6 ， 只要 k 能整除 6,即 k= 1， 2， 3， 6 时， x 就是整数 当k=1,2,3 时，方程的解是负整数5， 2， 1。 例 3已知方程a(x2)=b(x+1) 2a无解。问a 和 b 应满足什么关系？ 解：原方程化为最简方程：(ab)x=b 方程无解，a b

39、=0 且 b0 a 和 b 应满足的关系是a=b0。 例 4a、b 取什么值时，方程（3x2）a+（ 2x3） b=8x7 有无数多解？ 解：原方程化为最简方程：（ 3a+2b 8）x=2a+3b 7， 根据0x0 时，方程有无数多解，可知 当 0732 0823 ba ba 时，原方程有无数多解。 解这个方程组得 1 2 b a 答：当 a=2 且 b=1 时，原方程有无数多解。 练习九 1、根据方程的解的定义，写出下列方程的解： (x+1)=0, x 2=9, |x|=9，|x|= 3, 3x+1=3x 1, x+2=2+x 学习必备欢迎下载 2、关于 x 的方程 ax=x+2 无解，那么

40、a_ 3、在方程a(a3)x=a 中，当 a 取值为 _时，有唯一的解；当a_时无 解；当 a_时,有无数多解；当a_时,解是负数。 4、k 取什么整数值时，下列等式中的x 是整数？ x= k 4 x= 1 6 k x= k k32 x= 1 23 k k 5、k 取什么值时，方程xk=6x 的解是正数？是非负数？ 6、m 取什么值时，方程3（m+x） =2m1 的解是零？是正数？ 7、已知方程 2 2 1 4 63ax 的根是正数，那么a、b 应满足什么关系？ 学习必备欢迎下载 8、m 取什么整数值时，方程mm x 3 2 1)1 3 (的解是整数 ? 9、已知方程axx b 2 3 1)1

41、( 2 有无数多解，求a、 b的值。 第十讲二元一次方程的整数解 一、内容提要 1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c 中， 若 a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（ a,b）|c 则方程 ax+by=c 有整数解 显然 a,b 互质时一定有整数解。 例如方程3x+5y=1,5x-2y=7,9x+3y=6 都有整数解。 反过来也成立，方程9x+3y=10 和 4x-2y=1 都没有整数解， （ 9，3） 3，而 3 不能整除10； （4， 2） 2，而 2 不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的 a,b 实为它们的绝对值。 2、二

42、元一次方程整数解的求法： 学习必备欢迎下载 若方程 ax+by=c 有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即 所有的解）。 k 叫做参变数。 方法一：整除法：求方程5x+11y=1 的整数解 解： x= 5 111y =y yyy 2 5 1 5 101 (1) , 设kk y ( 5 1 是整数），则 y=1-5k (2) , 把（ 2）代入（ 1）得 x=k-2(1-5k)=11k-2 原方程所有的整数解是 ky kx 51 211 （k 是整数） 方法二：公式法： 设 ax+by=c 有整数解 0 0 yy xx 则通解是 akyy bkxx 0 0 （x0,y0可用

43、观察法） 3、 求二元一次方程的正整数解： 求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 用观察法直接写出。 二、例题 例 1 求方程 5x 9y=18 整数解的通解 解： x= 5 3 23 5 31015 5 918y y yyy 设k y 5 3 （k 为整数），y=35k,代入得 x=99k 原方程整数解是 ky kx 53 99 （k 为整数） 又解：当x=o 时， y=2， 方程有一个整数解 2 0 y x 它的通解是 ky yx 52 90 （k 为整数） 从以上可知整数解的通解的表达方式不是唯一的。 例 2 求方程 5x+6y=100 的正整数解 解： x= 5 20

44、5 6100y y y (1)， 设k y 5 (k 为整数 )，则 y=5k,(2) 把（ 2）代入（ 1）得 x=20-6k ， 学习必备欢迎下载 0 0 y x 解不等式组 05 0620 k k 得 0k3 和不等式（ 2）的解集 x2 的交集， x3. 如数轴所示： 整 数 集 正 数 集 正 整 数 集 3 2 0 学习必备欢迎下载 4一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条 件的所有的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答 案。 有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、 剔除，求得答案。（如例

45、2） 二、例题 例 1. 一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。 解：除以3 余 2 的自然数集合A 2，5，8，11，14，17，20， 23，26， 除以 5 余 3 的自然数集B 3，8， 13，18，23，28， 除以 7 余 2 自然数集合C 2，9， 16，23，30， 集合 A 、 B、C的公共元素的最小值23 就是所求的自然数。 例2. 有 两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个 数。 解：二位的质数共21 个，它们的个位数字只有1，3，7， 9，即符合条件的质数它 们的个位数的集合是1，3， 7，9；

46、其中差等于6 的有： 1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组； 平方数的个位数字相同的只有3 和 7；1 和 9 二组。 同时符合三个条件的个位数字是3和 7 这一组 故所求质数是：23， 17；43，37；53，47；73，67 共四组。 例 3.数学兴趣小组中订阅A 种刊物的有28 人，订阅 B 种刊物的有21 人，其中 6 人两 种都订， 只有一人两种都没有订，问只订 A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共 有几人？ 解：如图左、右两椭圆分别表示订阅A 种、 B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就 是它们的交集（A、B 两种都订的人数集合） 。 只订 A 种刊物的人数是28622 人； 只订 B 刊物的人数是21615 人； 小组总人数是22156144 人。 设 N，