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1、学习必备欢迎下载 宁波外国语学校分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛， 运用转化思想能把复杂的问题转化为 简单问题， 把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、 分式乘法； 分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式 方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等 2建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际 问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“ 实际问题 分式方程模型
2、求解 解释解的合理性” 的数学化过程，体会分式方程的模 型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义 3类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、 通分及分数的运算法则类比引出了 分式的基本性质、约分、 通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的 一些运算技巧， 无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次 方程 第一讲 分式的运算 【知识要点】 1.分式的概念以及基本性质 ; 2. 与分式运算有关的运算法则 3. 分式的化简求值( 通分与约分 ) 4. 幂的运算法则 【主要公式】 1.同分母加减法则:0 bcbc a aaa 2.
3、异分母加减法则:0,0 bdbcdabcda ac acacacac ; 3. 分式的乘法与除法: bdbd acac , bcbdbd adacac 4. 同底数幂的加减运算法则: 实际是合并同类项 5. 同底数幂的乘法与除法;a m a n =a m+n ; a m a n =a m n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab) m = a m b n , (a m ) n= a mn 7. 负指数幂 : a -p = 1 p a a 0=1 学习必备欢迎下载 8.乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2- b2 ;(a b)2= a22ab+b2 （一） 、分式定
4、义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例 1】下列代数式中： yx yx yx yx ba ba yx x 1 , 2 1 , 22 ，是分式的有：. 题型二：考查分式有意义的条件 【例 2】当x有何值时，下列分式有意义 （1） 4 4 x x （2） 2 3 2 x x （ 3） 1 2 2 x （4） 3| 6 x x （5） x x 1 1 题型三：考查分式的值为0 的条件 【例 3】当x取何值时，下列分式的值为0. （1） 3 1 x x （2） 4 2| 2 x x （3） 65 32 2 2 xx xx 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例 4】 （1）当x为何值时，分式 x
5、8 4 为正； （2）当x为何值时，分式 2 ) 1(3 5 x x 为负； （3）当x为何值时，分式 3 2 x x 为非负数 . 练习： 1当x取何值时，下列分式有意义： （1） 3|6 1 x （2） 1) 1( 3 2 x x （3） x 1 1 1 2当x为何值时，下列分式的值为零： （1） 4 |1|5 x x （2） 56 25 2 2 xx x 3解下列不等式 （1）0 1 2| x x （2）0 32 5 2 xx x （二）分式的基本性质及有关题型 1分式的基本性质： MB MA MB MA B A 学习必备欢迎下载 2分式的变号法则： b a b a b a b a 题型
6、一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例 1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1） yx yx 4 1 3 1 3 2 2 1 （2） ba ba 04.0 03.02 .0 题型二：分数的系数变号 【例 2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1） yx yx （2） ba a （3） b a 题型三：化简求值题 【例 3】已知：5 11 yx ，求 yxyx yxyx 2 232 的值 . 提示：整体代入，xyyx3，转化出 yx 11 . 【例 4】已知：2 1 x x，求 2 21 x x的值 . 【例 5】若0)32(|1| 2 xyx，求
7、 yx24 1 的值 . 练习： 1不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. （1） yx yx 5.008. 0 2.003. 0 （2） ba ba 10 1 4 1 5 3 4 .0 2已知：3 1 x x，求 1 24 2 xx x 的值 . 3已知：3 11 ba ，求 aabb baba232 的值 . 4若01062 22 bbaa，求 ba ba 53 2 的值 . 5如果21x，试化简 x x 2 |2| x x x x| |1| 1 . （三）分式的运算 1确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字
8、母的最高次幂. 2确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数； 取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 学习必备欢迎下载 题型一：通分 【例 1】将下列各式分别通分. （1） cb a ca b ab c 22 5 , 3 , 2 ；（2） ab b ba a 22 ,； （3） 2 2 , 21 , 1 222 xxxx x xx ；（4） a a 2 1 ,2 题型二：约分 【例 2】约分： （1） 3 2 20 16 xy yx ； （3） nm mn 22 ； （3） 6 2 2 2 xx xx . 题型三：分式的混合运算 【例 3】计算： （1） 42 2 3
9、 2 )()()( a bc ab c c ba ；（2） 2223 3 )()() 3 ( xy xy yx yx a ； （3） mn m nm n mn nm22 ；（4）1 1 2 a a a ； （5） 8 7 4 3 2 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 x x x x x x xx ； （6） )5)(3( 1 )3)(1( 1 ) 1)(1( 1 xxxxxx ； （7）) 1 2 () 2 1 44 4 ( 2 2 2 x xx x xx x 题型四：化简求值题 【例 4】先化简后求值 （1）已知：1x，求分子) 1 2 1 ()1 4 4 ( 4 8 1 2 2 xx
10、 x x 的值； （2）已知： 432 zyx ，求 222 32 zyx xzyzxy 的值； （3）已知：013 2 aa，试求) 1 )( 1 ( 2 2 a a a a的值 . 题型五：求待定字母的值 【例 5】若 111 31 2 x N x M x x ，试求NM ,的值 . 练习： 1计算 学习必备欢迎下载 （1） ) 1(2 32 ) 1(2 1 ) 1( 2 52 a a a a a a ；（2） ab abb ba a2 22 ； （3） bac cb acb cba cba cba232 ；（4） ba b ba 2 2 ； （5）) 4 )( 4 ( ba ab ba
11、ba ab ba；（6） 2 1 2 1 1 1 1 x xx ； （7） )2)(1( 1 )3)(1( 2 ) 3)(2( 1 xxxxxx . 2先化简后求值 （1） 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a ，其中a满足0 2 aa. （2）已知3:2: yx，求 2 3 22 )()()( y x x yx yx xy yx 的值 . 3已知： 121) 12)(1( 45 x B x A xx x ，试求A、B的值 . 4当a为何整数时，代数式 2 805399 a a 的值是整数，并求出这个整数值. （四） 、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例
12、 1】计算：（1） 3132 )()(bca（2） 2322123 )5()3(zxyzyx （3） 2 42 53 )()( )()( baba baba （4） 6223 )()()(yxyxyx 题型二：化简求值题 【例 2】已知5 1 xx，求（ 1） 22 xx的值； （2）求 44 xx的值 . 题型三：科学记数法的计算 【例 3】计算：（1） 223 )102 .8()103(； （ 2） 3223 )102()104(. 练习 ： 1计算：（1） 2008200702 4)25. 0()31(| 3 1 |) 5 1 () 5 1 3 1 ( （2） 322231 )()3(n
13、mnm （3） 2323 2222 )()3( )()2( abba baab 学习必备欢迎下载 （4） 21 222 )()(2 )()(4 yxyx yxyx 2已知015 2 xx，求（ 1） 1 xx， （2） 22 xx的值 . 第二讲 分式方程 【知识要点】 1.分式方程的概念以及解法; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数; 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分 母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数. （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解
14、分式方程 【例 1】解下列分式方程 （1） xx 3 1 1 ； （2）0 1 3 2 xx ； （3）1 1 4 1 1 2 x x x ； （4） x x x x 4 5 3 5 提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （1）4 44 1x x x x ；（2） 5 6 9 10 8 9 6 7 x x x x x x x x 提示： （ 1）换元法，设y x x 1 ； （2）裂项法， 6 1 1 6 7 xx x . 【例 3】解下列方程组 )3( 4 111 )2( 3 111 ) 1(
15、2 111 xz zy yx 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于x的分式方程 3 1 3 2 x m x 有增根，求m的值 . 【例 5】若分式方程1 2 2 x ax 的解是正数，求a的取值范围 . 学习必备欢迎下载 提示：0 3 2a x 且2x，2a且4a. 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于x的方程 )0(dc d c xb ax 提示： （ 1）dcba,是已知数；（ 2）0dc. 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1解下列方程： （1）0 21 2 1 1 x x x x ；（2） 3 4 2 3xx x ； （3）2 2 3 2 2 xx x ；（4） 1 7
16、 1 37 2 2 22 x x xxxx （5） 2 1 23 52 42 45 x x x x （6） 4 1 2 1 5 1 1 1 xxxx （7） 6 8 1 1 7 9 2x x x x x x x x 2解关于 x的方程： （1） bxa 211 )2(ab； （2）)( 11 ba x b bx a a . 3如果解关于x的方程 2 2 2x x x k 会产生增根，求k的值 . 4当 k 为何值时，关于x的方程1 )2)(1(2 3 xx k x x 的解为非负数. 5已知关于x的分式方程 a x a 1 12 无解，试求a的值 . （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要
17、是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1解方程： 2 31 xx 二、化归法 例 2解方程：0 1 2 1 1 2 x x 三、左边通分法 例 3：解方程：8 7 1 7 8 xx x 四、分子对等法 学习必备欢迎下载 例 4解方程：)( 11 ba x b bx a a 五、观察比较法 例 5解方程： 4 17 4 25 25 4 x x x x 六、分离常数法 例 6解方程： 8 7 3 2 9 8 2 1 x x x x x x x x 七、分组通分法 例 7解方程： 4 1 3 1 5 1 2 1 xxxx （三）分式方程求待定字母值的方法 例 1若分式方程 x m x x 22 1 无解，求m的值。 例 2若关于x的方程 111 2 2 x x x k x x 不会产生增根，求k的值。 例 3若关于x分式方程 4 3 22 1 2 x x k x 有增根，求k 的值。 例 4若关于x的方程 1 151 221 x k xx k xx 有增根1x，求 k 的值。