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1、学习必备欢迎下载 一. 教学内容： 方程、方程组及不等式、不等式组 学习目标： 1. 掌握一元一次、一元二次方程的概念、解法及应用；能解二元一次、二元二次、三元一 次方程组，会简单应用。 2. 类比方程（组）的知识点，掌握不等式（组）的知识点。 二. 重点、难点 1. 方程的有关概念，同解原理 2. 方程的分类 代数方程 有理方程 整式方程 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 无理方程 3. 一元一次方程 axba00， ，a 一次项系数，b 常数项 求根公式： x b a唯一实根 4. 一元二次方程 axbxca 2 00， a 二次项系数；b 一次项系数； c 常数项 根的判别式：bac
2、 2 4 0 0 0 有两个不等实根 有两个相等实根 无实根 当0时，求根公式 x bbac a b a 1 2 2 4 22 , ，即 解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 当 0时，根 xx 12 ， 与系数 a、b、c 关系 xx b a 12 ， x x c a 12 构造以 xx 12 ， 为根的方程 有无数个，构造以1 为二次项系数的 学习必备欢迎下载 xxxxx x 2 1212 0() 5. 分式方程 定义；解法：分式化整式，注意验根；解的个数 6. 方程组的有关概念 7. 二元一次方程组，二元二次方程组，三元一次方程组 解法思路：消元、降次 方法：代入法、加减法
3、8. 解的情况：个数 9. 不等式的概念：axb0，a 0或axb0，a0 10. 不等式的基本性质及同解原理 11. 不等式的解集及解法，解的个数 12. 利用数轴确定一元一次不等式组的解集 13. 注意类比的方法 14. 绝对值不等式、分式不等式要转化成不等式组来解，可看作不等式组的应用。 【典型例题】 例 1. 已知关于x 的方程 422xmxm()与2 34321()()xmmx 的解相同，求 m 的值。 解： 422xmxm() 的解为 x m 2 2 34321()()xmmx 的解为 x m52 4 两个方程的解相同， 3 2 52 4 mm m2 说明：若要求x 的值是多少，不
4、必将m 2 代入原方程，只需代入 x m3 2或 x m52 4，得x3 例 2. 解下列方程 （1） 21 2 25 3 67 4 1 xxx （2） 010 2 03 1 00701 0 04 . . xx 解： （1）方程两边同乘12，得 6 214 253 6712()()()xxx 去括号，得126820182112xxx 移项，得128182112620xxx 合并同类项，得147x 学习必备欢迎下载 x 1 2 说明：解一元一次方程是解其它方程的基础，基本思路是把方程变形为最简方程 axb a()0 ，再求解。 （2）利用公式的基本性质，原方程化为： 12 3 1 710 4 x
5、x 去分母，得48122130xx x 29 22 说明： 注意不要将分式的性质和等式的性质相混淆。 例 3. 解下列方程 （1） 24 1 22 1 2 2 xx xx （2） 6 1 5 1 380 2 2 ()()x xx x 解： （1）设 xxy 2 22 ，则 1 22 1 2 xxy 原方程可化为 2224 1 22 1 2 2 ()xx xx 则有 2 1 30y y 整理，得 2310 2 yy 解得 yy 12 1 2 ， 当xx 2 221时，xx 2 210 xx 12 1 当 xx 2 22 1 2时， xx 2 2 3 2 0 0，此方程无实根 经检验，x1是原方程
6、的根。 （2）设 x x y 1 ，则 x x y 2 2 2 1 2 原方程化为 625380 2 ()yy 整理得 65500 2 yy 学习必备欢迎下载 解得 yy 12 10 3 5 2 ， 当 y1 10 3时， x x 110 3 整理得 31030 2 xx 解得 xx 12 1 3 3， 当 y2 5 2时， x x 15 2 整理得2520 2 xx 解得 xx 34 1 2 2， 经检验， xxxx 1234 1 3 3 1 2 2， 都是原方程的根。 例 4. 不解方程，判断关于x 的方程 xxkk 22 23() 的根的情况。 解： 原方程整理为xxkk 22 2230
7、 ()()2423 22 kk 44212 4418 414 2 2 2 () () () kk k k () () k k 10 410 2 2 4140 2 ()k 即0，故原方程没有实数根。 例 5. m 为何值时，方程 ()mxmxm1230 2 （ 1）无实根；（2）有实根；（3）只有 一个实根；（4）有两个实根； （5）有两个不等实根； （6）有两个相等实根。 解： （1）分两种情况： 当 m 1时，方程为240x，它有一个实根，不符合题意，舍去； 当m 1时， 4413812 2 mmmm()() 只需0，即 8120 3 2 mm， 时无实根 学习必备欢迎下载 （2）分两种情况
8、，当 m10 0 时，即 m m 1 3 2 m 3 2且m1时方程有两个实根 当 m1 时，方程为240x有一个实根 综上所述，即 m 3 2时，方程有实根 （3）当 m1 时，方程为一元一次方程，只有一个实根 （4）当 m m 10 8120 ，即 m 3 2且m1时，方程有两个实根 （5）当 m m 10 8120，即 m 3 2且m1时，方程有两个不等实根 （6）当 m m 10 8120 ，即 m 3 2时方程有两个相等实根 说明： 一定要注意审题，区别题目的不同问法。 例 6. 已知关于x 的一元二次方程 ()()mxmx 22 12110（m 为实数）的两个实数 根的倒数和大于零
9、，求m 的取值范围。 解： 由题意知，应满足 m xx m m x x m xx 2 12 2 12 2 12 101 02 21 1 3 1 1 4 11 05 解由 知： m1 由得： () ()2141 22 mm 44144 450 22 mmm m 学习必备欢迎下载 m 5 4 把、代入 ，得： 11 21 1 1 1 210 12 12 12 2 2 xx xx x x m m m m m 1 2 综上所述 1 2 5 4 m ，且m1 说明： 解决这类题目，常常需要列出五个条件。在本题中，式因为是一元二次方程， 故二次项系数m 2 10；式因为有两个实数根，故0；、为一元二次方程
10、根 与系数的两个关系式；是本题关于一元二次方程两实根的特殊条件 11 0 12 xx 。这五个 条件综合起来， 此题方可解出。 所以同学在审题时一定要认真分析题目中的每个词语，不要遗 漏条件，特别要注意挖掘隐含条件。 例 7. （1）设 xx 12 ， 是关于 x 的方程xkx 2 20的两个根，求证： 11 2 0 12 xx k ； （ 2）如果关于x 的方程 xkx 2 20及方程xxk 2 20均有实数根，问方程 xkx 2 20与方程xxk 2 20是否有相同的根？若有，请求出这个相同的根；若没 有，请说明理由。 证明：（1）由题意，得 k xxk x x 2 12 12 80 2
11、11 2222 0 12 12 12 xx kxx x x kkk 即原等式成立。 （2）解：设方程xxk 2 20与方程xkx 2 20有相同的实数根a，则可得： aak aka 2 2 20 20 kaak220，变形为 a kk()()1210 即 ()()ak210 若k10，则k1，代入方程xkx 2 20及xxk 2 20 学习必备欢迎下载 两方程均为xx 2 20，70，无实根 k1，即k10 则a20，即a2 两个方程有相同的实数根2。 说明： 第（ 2）问的解法是有关“两个一元二次方程有相同根”问题的一个常见解法，注 意分类讨论。 例 8. 已知： xx 12 、 是关于 x
12、 的方程 43560 22 xmxm() 的两个实根，且 | x x 1 2 3 2 ， 求 m 的值。 解： 由一元二次方程根与系数的关系，有： xx m x xm 1212 2 35 4 3 2 ， | x x xx 1 2 12 3 2 ， 均不为零 x xm 12 2 3 2 0 ，即 xx 12 ， 异号 x x 1 2 0， 取 x x 1 2 3 2 设 xkxk 12 32， ，则 32 35 4 32 3 2 2 kk m kkm() k m35 4 k mmm 2 2 2 2 4 35 44 ，) ()354 22 mm 整理得mm 2 650 mm 12 15， 将m1和
13、m5分别代入中，符合0 mm 12 15， 反思： 通过此题的分析及解题过程，应注意以下几点： （1）由 | x x 1 2 3 2 去掉绝对值符号时，一定要考虑 x x 1 2 的正、负； 学习必备欢迎下载 （2）求 m 的过程中，通过设参数较为简便，也可利用 xx 12 3 2的关系代入去求； （3）求出 m 的值后，还应代入bac 2 4去检验是否符合0。 例 9. 解方程组： xxyyxy xy 22 442201 321102 解法一：（用代入法） 由得： y x113 2 3 把代入 得： x xxx x x 22 4113 2 4 113 2 2 113 2 20 () () (
14、) 整理，得421270 2 xx xx3 9 4 ， 把x3代入 ，得 y1 把 x 9 4代入 ，得 y 17 8 原方程组的解为 x y 1 1 3 1 ， x y 2 2 9 4 17 8 解法二：（用因式分解法） 方程 可化为 ()()xyxy2220 2 即 ()()xyxy22210 xy220 或x y210 原方程组可化为： xy xy 220 32110和 xy xy 210 32110 分别解得 x y 1 1 3 1 ， x y 2 2 9 4 17 8 说明： 此题为 I 型二元二次方程组，一般可用代入法求解，当求出一个未知数的值后，一 定要代入到二元一次方程中去求另
15、一个未知数的值。 学习必备欢迎下载 例 10. 解方程组 xxyy xxyy 22 22 241 25302 解： 由得： ()xy 2 4 xy2 或 xy2 由，得 ()()230xyxy 20xy 或x y30 原方程组化为以下四个方程组： xy xy 2 20， xy xy 2 30 ， xy xy 2 20， xy xy 2 30 原方程组的解为： x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 2 4 3 2 1 2 2 4 3 2 1 2 说明： 此题为 II 型二元二次方程组，要注意根据方程的特点，选择恰当的方法去解。 例 11. 解下列方程组： （1） xy
16、xy 241 2212 （2） xy xy 22 131 62 （3） 10 3 111 5 2 7 2 2 xy x xy x （1）分析：此题是I 型二元二次方程组，可以用代入法来解，再介绍另外一种解法。 解：方程 是 x 与 2y 的和，方程 是 x 与 2y 的积 x 与 2y 是方程zz 2 4210的两个根 解此方程得 zz 12 37， x y 3 27或 x y 7 23 学习必备欢迎下载 即原方程组的解是 x y 1 1 3 7 2， x y 2 2 7 3 2 （2）解：122得： ()xy 2 25，xy5 122得： ()xyxy 2 11， 可化为以下四个方程组： x
17、y xy 5 1， xy xy 5 1， xy xy 5 1 ， xy xy 5 1 原方程组的解为 x y x y x y x y 1 1 2 2 3 3 4 4 3 2 2 3 2 3 3 2 ， 说明：（1）题可以看成 xya xyb 特殊类型的方程组，可用一元二次方程的根与系数的 关系来解。 （2）题是 xya xyb 22 型的二元二次方程组，另外还有 xya xyb 22 型的二元二次方程 组，也有简便的特殊解法。 （3）解：设 1 xy z ，那么原方程组变为 10 3 11 5 2 7 2 z x z x 解关于 z 和 x 的方程组，得 x z 3 1 ，即 x xy 3 1
18、 1 x xy 3 1 解得 x y 3 2 经检验 x y 3 2是原方程组的解 说明： （3）题是分式方程组，这类方程组要设法转化成整式方程组来解，需要检验，有时 学习必备欢迎下载 在应用题或综合题中会遇到。 例 12. 已知方程组 yx ykx 2 2 1 有两个不相等的实数解 （1）求 k 的取值范围 （ 2 ） 若 方 程 组 的 两 个 实 数 解 为 xx yy 1 1 和 xx yy 2 2 是 否 存 在 实 数k ， 使 xx xx 1122 1，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由。 解： （1）原方程组可化成 k xkx 22 2110() 由题意可知 k kk
19、k 2 22 0 214840 () 即 k k 0 1 2 k 1 2且k0时，方程组有两个不相等的实数解。 （2） xx k k x x k 12 2 12 2 211() ， xx xx k kk 112222 211 1 () k0，去分母同乘k 2 kk 2 230 解得 kk 12 31， k 1 2 k1舍去 即当k3时， xx xx 1122 1成立 例 13. 解不等式组 322541 3 1 2 2 3 2 ()()xx x x x 的自然数解。 解： 由得x2 由得x5 52x 不等式组的解中自然数有0，1， 2 学习必备欢迎下载 例 14. 解下列不等式 （1） | 3
20、1 2 4 x （2） 36 21 0 x x 解： （1） 4 31 2 4 x 8318 739 7 3 3 x x x （2） 360 210 1 x x 或 360 210 2 x x 解得 x x 2 1 2或 x x 2 1 2 不等式组 无解，不等式组的解集为： 1 2 2x 原不等式的解集为： 1 2 2x 【模拟试题】（答题时间： 40分钟） 一. 选择题 1. 下面四个方程中，有两个不等实根的是（） A. x 2 10B. xx 2 10 C. xx 2 1 4 0 D. xx 2 10 2. 已知方程 xx 2 360的两根为 xx 12 、 ，则以 33 12 xx、
21、为根的一元二次方程是 （） A. xx 2 9540B. xx 2 9540 C. xx 2 9180D. xx 2 9180 3. 已知 x y 11 9 是方程组 mxny nxmy 49 15的解，则（ ） A. m n 2 3 B. m n 2 3 C. m n 3 2 D. m n 3 2 学习必备欢迎下载 4. 已知一个矩形周长为24，宽的长度不超过4，则长 a 的取值范围是（） A. 2024aB. 012a C. 812aD. 812a 5. 已知不等式组 562 312413 xxm xx 解集是14x，则 m 的值是（） A. 6 B. 3C. 6D. 3 二. 填空题 6
22、. 设 ()()mnmn2150，则 mn的值为 _ 7. 如果方程 315 2 xmxm() 的两个实根互为相反数，则m_；若两实根 互为倒数，则m_，若有一个实根为0，则 m_。 8. 已知方程 ()kxkxk3210 2 ，如果方程有两个实根，则k_。 9. 关于x 的一元二次方程 xmx 2 10和xxm 2 0有一个相同的实根，则 m _，这个相同的根是_。 10. 函数 y x x 4 1的定义域是 _。 11. 已知ab，且322xx，用不等号连接ax_bx。 三. 解答题 12. 1 2 1 3 232 2 3 211()()xxxx 13. 1 2 4 4 2 2 1 2 x
23、 x xx 14. 2333 22 ()()xxx 15. x x x x 2 2 1 3 1 2() 16. xyz xy xyz 23 321 224 17. 25120 390 22 xxyy xy 18. xx x x 324 12 4 1 () 学习必备欢迎下载 19. 求 2 31 8 3 1 4 23 4 5 3 0 ()xx xx 的自然数解。 20. 求 51 6 1 21 3 34 4 53 8 1 ()() ()() xx xx 的整数解之和。 学习必备欢迎下载 【试题答案】 一. 选择题 1. D 2. B 3. A 4. D 5. A 二. 填空题 6. 5或 3 7. 1；8；5 8. k 3 2且k3 9. m2 根为 1 10. x4且x 1 11. 三. 解答题 12. 13 3 13. 1 14. 3，6 15. x123，x223 16. x y z 1 2 0 17. x y x y 1 1 2 2 3 2 36 9 ， 18. 1 3 2 x 19. x 7 5自然数解为0 和 1 20. 14