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1、精品资料欢迎下载 利用导数构造函数 回顾 (1)f(x) g(x) _；(2)f(x)g(x) _； (3) f x g x _ g(x) 0 构造函数 1对于xgxf，构造xgxfxh 更一般地，遇到0aaxf，即导函数大于某种非零常数( 若a=0 ，则无需构造) ，则可构 axxfxh 2对于0xgxf，构造xgxfxh 3对于0xfxf，构造xfexh x 4对于xfxf 或0xfxf，构造 x e xf xh 5对于0xfxxf，构造xxfxh 6对于0xfxxf，构造 x xf xh 变式 1设是定义在上的可导函数， 且满足.则不等式 的解集为 变式2已知函数是定义在R 上的奇函数，
2、则不等式 的解集是. 变式 3. 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数，(2)0f，当0x时，有 2 ( )( ) 0 xfxfx x 成立，则 不等式( )0f x的解集是 变式 4. 设奇函数( )f x定义在),0()0,(上，其导函数为( )fx，且()0 2 f，当0x时， )(xfR0)()( xxfxf) 1(1)1( 2 xfxxf )(xf0)1(f0 )()( 2 x xfxfx ）（0x 0)( 2 xfx 精品资料欢迎下载 ( )sin( )cos0fxxf xx,则关于x的不等式( )2 ()sin 6 f xfx的解集为 变式 5定义在R上的函数( )f x满足
3、：( )1( )fxf x，(0)6f，( )fx是( )f x的导函数，则不等式 ( )5 xx e f xe（其中e为自然对数的底数）的解集为 变式 6 已知函数)(xf（xR）满足)1(f2，且)(xf在R上的导数1)(xf，则不等式12)2(xxf 的解集为 变 式8 已 知 函 数()1l n(fxxax aR) 若a0， 对 任 意 12 ,(0,1xx， 且 12 xx， 都 有 12 12 11 |()() | 4|f xf x xx ，求实数a 的取值范围 例已知函数f(x)alnx 1 2x 2(a1)x 1若 a0，且对任意 x1，x2(0， )，x1 x2，都有 | f
4、(x1)f(x2)| 2| x1x2|，求实数 a 的最小值 精品资料欢迎下载 构造函数法证明不等式的六种方法 1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中 的一个难点，也是近几年高考的热点。 2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证 得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法： 回顾：不等式的恒成立问题和存在性问题 一 作差法构造函数证明 【例 2】已知函数.ln 2 1 )( 2 xxxf求证： 在区间), 1 (上，函数)
5、(xf的图象在函数 3 3 2 )(xxg的图 象的下方； 分析：函数)(xf的图象在函数)(xg的图象的下方)()(xgxf不等式问题， 【警示启迪】本题首先根据题意构造出一个函数（可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数），并 利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。读者也可以设 )()()(xgxfxF做一做，深刻体会其中的思想方法。 精品资料欢迎下载 二、换元法构造函数证明 【例 3】 （2007 年，山东卷）证明：对任意的正整数n，不等式 32 11 )1 1 ln( nnn 都成立 . 分析：本题是山东卷的第（II ）问，从所证结构出发，只需令x
6、 n 1 ，则问题转化为：当0x时，恒 有 32 ) 1ln(xxx成立，现构造函数)1ln()( 23 xxxxh，求导即可达到证明。 【警示启迪】 我们知道，当( )F x在 , a b上单调递增， 则x a时， 有( )F x( )F a 如果( )f a( )a， 要证明当xa时，( )f x( )x，那么，只要令( )F x( )f x( )x，就可以利用( )F x的单调增性来 推导也就是说，在( )F x可导的前提下，只要证明( )Fx即可 三、从条件特征入手构造函数证明 【例 4】 若函数y=)(xf在R上可导且满足不等式x)(xf)(xf恒成立， 且常数a，b满足ab，求证：
7、 a )(af b )(bf 【解】由已知x)(xf+)(xf0 构造函数)()(xxfxF， 则)( xF x)(xf+)(xf0， 从而)(xF在R上为增函数。 ba)()(bFaF即a)(afb)(bf 【警示启迪】由条件移项后)()(xfxf x，容易想到是一个积的导数，从而可以构造函数)()(xxfxF， 求导即可完成证明。若题目中的条件改为)()(xfxf x，则移项后)()(xfxf x，要想到是 一个商的导数的分子，平时解题多注意总结。 精品资料欢迎下载 四、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例已知函数 21 ( ) 2 x f xaex (1) 若 f(x) 在 R上为增函数
8、 , 求 a 的取值范围 ; (2) 若 a=1, 求证 :x 0 时,f(x)1+x 小结：当函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把不等式的恒成立问题可 转化为求函数最值问题不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为 )(xfm(或)(xfm) 恒成立，于是m大于)(xf的最大值（或m小于)(xf的最小值） ，从而把不等式 恒成立问题转化为求函数的最值问题因此，利用导数求函数最值是解决不等式恒成立问题的一种重要方 法 五. 对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式 ） 例：证明当 2 1 1 1 )1 (,0 x x exx时 精品资料欢迎
9、下载 六. 构造形似函数 例：证明当 ab baeab证明, 例：已知m 、n 都是正整数，且,1nm证明： mn nm)1()1( 【思维挑战】 1 、 （ 2007 年，安徽卷）设xaxxxfaln2ln1)(,0 2 求证：当1x时，恒有1ln2ln 2 xaxx， 2、 （2007 年，安徽卷）已知定义在正实数集上的函数 ,ln3)(,2 2 1 )( 22 bxaxgaxxxf 其中a0，且aaabln3 2 5 22 ， 求证：)()(xgxf 3、已知函数 x x xxf 1 )1ln()(，求证：对任意的正数a、b， 恒有.1lnln a b ba 4、 （2007 年，陕西卷）)(xf是定义在（ 0，+）上的非负可导函数，且满足)()(xfxfx 0，对任 意正数a、b，若a b，则必有（） （A）af (b) bf (a) （B）bf (a) af (b) （C）af (a) f (b) （D）bf (b) f (a)