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1、优秀学习资料欢迎下载 南航附中高一下数列能力提高题 1.已知等差数列 an的前三项分别为 a-1,2a+1,a+7, 则这个数列的通项公式为. 2.已知等差数列 an中，a7+a9=16，a4=1，则 a12的值是. 3.已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a4=18-a5,则 S8= . 4.在等比数列 an 中，已知 a1a3a11=8，则 a2a8= . 5.已知an是等比数列 ,a2=2,a5= 4 1 ,则 a1a2+a2a3+ anan+1= . 6. 数 列 an 满 足a1,a2-a1,a3-a2, , an-an-1是 首 项 为 1， 公 比 为2 的 等 比 数
2、 列 ， 那 么 an= . 7.等比数列 an 中，a20+a21=10,a22+a23=20,则 a24+a25= . 8.等差数列 an 中，Sn是其前 n 项和， a1=-2 008， 0072 0072 S - 0052 0052 S =2，则 S 0082 的值为. 9.把 49个数排成如图所示的数表,若表中每行的 7个数自左向右依次都成等差数列,每列的 7 个数自上而下依次也都成等差数列,且正中间的数 a44=1,则表中所有数的和为. a11a12a17 a21a22a27 a71A 72 a77 10.将数列 3 n-1 按“ 第 n组有 n 个数” 的规则分组如下： （1）
3、， （3，9） ， （27，81，243） ，则第 100组中的第一个数是. 11.已知数列 an的前 n 项和 Sn满足 an+2SnSn-1=0 (n2), a1= 2 1 ,求 an. 12.已知函数 f（x）=2 x-2-x，数列 a n满足 f（log2an）=-2n. （1）求数列 an的通项公式； （2）求证：数列 an是递减数列 . 14.已知数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 log2(1+Sn)=n+1,求数列的通项公式 . 优秀学习资料欢迎下载 15.在数列 an 中，a1= 2 1 ，an=1- 1 1 n a (n2, nN *)，数列 a n 的前 n 项和为
4、Sn. （1）求证： an+3=an;(2）求 a2 008. 16. 已知数列 an 满足 a1=4,an=4- 1 4 n a (n2), 令 bn= 2 1 n a .求证：数列 bn是等差数列 . 17.设两个数列 an,bn满足 bn= n naaaa n 321 32 321 ，若bn 为等差数列，求证： an 也为等 差数列 . 18.已知数列 an中，a1= 5 3 ，an=2- 1 1 n a (n2, nN *),数列b n 满足 bn= 1 1 n a (nN * ). (1)求证：数列 bn是等差数列； （2）求数列 an中的最大项和最小项，并说明理由. 19.设 Sn
5、是等差数列 an 的前 n 项和，已知 3 1 S3， 4 1 S4的等比中项为 5 1 S5; 3 1 S3， 4 1 S4的等差 中项为 1，求数列 an 的通项 公式. 解方法一设等差数列 an的首项 a1=a，公差为 d， 则 Sn=na+ 2 ) 1(nn d，依题意，有 ,21 2 34 4 4 1 2 23 3 3 1 , 2 45 5 25 1 2 34 4 4 1 2 23 3 3 1 2 dada dadada 整理得 , 2 2 5 2 ,053 2 da dad a=1，d=0 或 a=4，d=- 5 12 . an=1 或 an=n 5 12 5 32 ， 优秀学习资
6、料欢迎下载 经检验， an=1 和 an=n 5 12 5 32 均合题意 . 所求等差数列的通项公式为an=1 或 an=n 5 12 5 32 . 20.已知公差大于零的等差数列an 的前 n 项和为 Sn，且满足： a3 a4=117,a2+a5=22. （1）求通项 an; (2)若数列 bn满足 bn= cn Sn ,是否存在非零实数c 使得bn为等差数列？若存在，求出c 的 值；若不存在，请说明理由. 答案an=4n-3 答案15 答案72 答案4 答案 3 32 (1-4 -n) 答案2 n-1 答案 40 答案-2 008 答案49 答案3 4 950 解当 n2 时，an=S
7、n-Sn-1,Sn-Sn-1+2SnSn-1=0， 即 nS 1 - 1 1 nS =2，数列 n S 1 是公差为 2 的等差数列 . 又 S1=a1= 2 1 ， 1 1 S =2， n S 1 =2+（n-1） 2=2n，Sn= n2 1 . 当 n2 时，an=-2SnSn-1=-2 n2 1 ) 1(2 1 n =- )1(2 1 nn ，an= )2( ) 1(2 1 )1( 2 1 n nn n . （1）解f（x）=2 x-2-x， f（log 2an）=2 n a 2 log -2 n a 2 log =-2n， 即 an- na 1 =-2n.a2 n+2n an-1=0.
8、 an= 2 442 2 nn ，又 an0，an=1 2 n -n. （2）证明an0，且 an=1 2 n-n, n n a a 1 = nn nn 1 ) 1(1)1( 2 2 = ) 1(1) 1( 1 2 2 nn nn 1.an+1an.即an为递减数列 . 13.已知在正项数列 an中，Sn表示前 n 项和且 2nS=an+1，求 an. 解2 nS=an+1,Sn= 4 1 (a 2 n+2an+1), Sn-1= 4 1 (a 2 1n+2an-1+1),当 n2 时，an=Sn-Sn-1 = 4 1 （a 2 n-a 2 1n ）+2（an-an-1） ， 整理可得： （a
9、n+an-1） （an-an-1-2）=0，an0，an-an-1=2， 当 n=1 时，a1=1, an是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 . an=2n-1 (nN *). 解Sn满足 log2(1+Sn)=n+1,1+Sn=2n+1,Sn=2n+1-1. 优秀学习资料欢迎下载 a1=3,an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n (n2), an的通项公式为 an= ).2(2 ),1(3 n n n （1）证明an+3=1- 2 1 n a =1- 1 1 1 1 n a =1- n a 1 1 1 1 1 = n n a a1 1 1 1 1 =1- 1 1 1
10、 n n a a =1- 1 1 1 n nn a aa =1- 1 1 1 n a =1-(1-an)=an.an+3=an. （2）解由（1）知数列 an的周期 T=3，a1= 2 1 ，a2=-1，a3=2. 又a2 008=a3 669+1=a1= 2 1 .a2 008= 2 1 . 证明an+1-2=2- n a 4 = n n a a)2(2 2 1 1n a = )2(2 n n a a = )2(2 22 n n a a = 2 1 + 2 1 n a 2 1 1n a - 2 1 n a = 2 1 ，bn+1-bn= 2 1 .数列 bn是等差数列 . 证明由题意有 a1
11、+2a2+3a3+ nan= 2 ) 1(nn bn， 从而有 a1+2a2+3a3+(n-1)an-1= 2 ) 1(nn bn-1(n2), 由-，得 nan= 2 ) 1(nn bn- 2 ) 1(nn bn-1,整理得 an= 2 1nn bbnd , 其中 d 为bn的公差 (n2). 从而 an+1-an= 2 ) 1( 1nn bbdn - 2 1nn bbnd = 2 2dd =d 2 3 (n2). 又 a1=b1，a2= 2 2 12 bbd a2-a1= 2 2 12 bbd -b1= 2 2 12 bbd = 2 3d . 综上， an+1-an= 2 3 d（nN *
12、 ）.所以an是等差数列 . （1）证明因为 an=2- 1 1 n a (n2, nN *),b n= 1 1 n a . 所以当 n2 时，bn-bn-1= 1 1 n a - 1 1 1n a = 1 1 2 1 1n a - 1 1 1n a = 1 1 1 n n a a - 1 1 1 n a =1. 又 b1= 1 1 1 a =- 2 5 .所以，数列 bn是以- 2 5 为首项，以 1 为公差的等差数列 . （2）解由（1）知， bn=n- 2 7 ,则 an=1+ n b 1 =1+ 72 2 n . 设函数 f(x)=1+ 72 2 x ,易知 f(x)在区间 (-, 2
13、 7 )和( 2 7 ,+ )内为减函数 . 所以，当 n=3 时，an取得最小值 -1； 优秀学习资料欢迎下载 当 n=4 时，an取得最大值 3. 解（1）由等差数列的性质得， a2+a5=a3+a4=22,所以 a3、a4是关于 x 的方程 x2-22x+117=0 的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13. 易知 a1=1,d=4,故通项为 an=1+(n-1) 4=4n-3. (2)由(1)知 Sn= 2 ) 341(nn =2n 2-n,所以 b n= cn Sn = cn nn22 . 方法一所以 b1= c1 1 ,b2= c2 6 ,b3= c3 15 (c0). 令 2b2=b1+b3,解得 c=- 2 1 .当 c=- 2 1 时，bn= 2 1 2 2 n nn =2n, 当 n2 时，bn-bn-1=2.故当 c=- 2 1 时，数列 bn 为等差数列 . 方法二当 n2 时，bn-bn-1= cn nn cn nn 1 ) 1()1(22 22 = )1() 12( 3)24(2 2 2 ccncn cncn ,欲使bn 为等差数列， 只需 4c-2=2(2c-1)且-3c=2c(c-1) (c0) 解得 c=- 2 1 .