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1、优秀学习资料欢迎下载 数学教材习题变式训练（数列） 一、有关通项问题 1、利用 1 1 (1) (2) n nn Sn a SSn 求通项 （北师大版第20 页习题 5）数列 n a的前n项和 2 1 n Sn （1）试写出数列的前5 项； （2）数 列 n a是等差数列吗？（3）你能写出数列 n a的通项公式吗？ 变式题 1、设数列 n a的前 n 项和为 Sn=2n 2，求数列 n a的通项公式； 解： （1） ：当; 2,1 11 San时 ,24)1(22,2 22 1 nnnSSan nnn 时当 故an 的通项公式为 4,2,24 1 daana nn 公差是即的等差数列 . 变式
2、题 2、数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1， 1 1 3 nn aS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的 值及数列 an的通项公式 解： （I）由 a1=1， 1 1 3 nn aS，n=1，2， 3，得 211 111 333 aSa， 3212 114 () 339 aSaa， 43123 1116 () 3327 aSaaa， 由 11 11 () 33 nnnnn aaSSa（n2） ，得 1 4 3 nn aa（n2） ， 又 a2= 3 1 ，所以 an= 2 1 4 () 3 3 n (n2), 数列 an 的通项公式为 2 11 1 4 ( )2 3 3 nn n
3、 a n 变式题 3、已知数列 n a的首项 1 5,a前n项和为 n S，且 * 1 5() nn SSnnN， 证明数列1 n a是等比数列 解： 由已知 * 1 5() nn SSnnN可得 1 2,24 nn nSSn两式相减得 11 21 nnnn SSSS即 1 21 nn aa从而 1 121 nn aa当1n时 21 215SS 所以 211 26aaa又 1 5a所以 2 11a从而 21 121aa 优秀学习资料欢迎下载 故总有 1 12(1) nn aa， * nN又 11 5,10aa从而 1 1 2 1 n n a a 即数列1 n a是等比数 列； 2、解方程求通项
4、： （北师大版第17 页习题 3） 在等差 数列 n a中， （1）已知 8121 48,168,SSad求和； （2）已知 6588 10,5,aSaS求和； (3)已知 31517 40,aaS求. 变式题 1、 n a是首项 1 1a，公差3d的等差数列，如果2005 n a，则序号n等于 （A）667 （B）668 （C）669 （D）670 分析： 本题考查等差数列的通项公式，运用公式直接求出. 解： 1 (1)13(1)2005 n aandn，解得669n，选 C 点评：等差等比数列的通项公式和前n 项和的公式是数列中的基础知识，必须牢固掌握.而 这些公式也可视作方程，利用方程思
5、想解决问题. 3、待定系数求通项： 写出下列数列 n a的前 5 项： （1） 11 1 ,41(1). 2 nn aaan 变式题 1、已知数列 n a满足 * 11 1,21(). nn aaanN求数列 n a的通项公式； 解： * 1 21(), nn aanN 1 12(1), nn aa 1 n a是以 1 12a为首项， 2 为公比的等比数列 12 . n n a 即 * 21(). n n anN 4、由前几项猜想通项： （北师大版第8 页习题 1）根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形 和数，写出点数的通项公式. 变式题1、如下图，第（ 1）个多边形是由
6、正三角形“扩展“而来，第（2）个多边形是由正方形 “扩展”而来，如此类推. 设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为 n a， （1）（4） （7） （）（） 优秀学习资料欢迎下载 则 6 a； 34599 1111 aaaa . 解：由图可得： 2 2(1) n ann nnn，所以 6 42a；又 2 11111 (1 )1 n annn nnn 所以 34599 1111 aaaa = 1111111197 ()()() 3445991003100300 变式题 2、 （北师大版第9 页习题 2）观察下列各图， 并阅读下面的文字，像这样， 10 条直线相交， 交点的个数最多是（） ，其通
7、项公式为. A40 个B45 个C50 个D55 个 解： 由题意可得：设 n a为n条直线的交点个数，则 2 1a， 1 (1),(3) nn aann，因为 1 1 nn aan，由累加法可求得： (1) 12(1) 2 n n n an，所以 10 109 45 2 a， 选 B. 二、有关等差、等比数列性质问题 1、 （北师大版第31 页习题 3）一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项 的和为（） A83 B108 C 75 D63 变 式 题1、 一 个 等 差 数 列 前n项 的 和 为48 ， 前2n项 的 和 为60 ， 则 前3n项 的 和 为。 解
8、： 若数列 n a为等差数列，则 232 , nnnnn SSSSS等差数列，可得：48，12， 3n S-60 成等差数列，所以 3n S=36. 变式题 2、 2条 直 线 相 交，最多有1 个交点 3条 直 线 相 交，最多有3 个交点 4条 直 线 相 交，最多有6 个交点 优秀学习资料欢迎下载 等比数列 n a的各项为正数，且 5647 18,a aa a 3132310 logloglogaaa则（） A12 B10 C8 D2+ 3 log 5 解： 因为 5647 18,a aa a所以 5647110110 2189a aa aa aa a，而 3132 loglogaa 5
9、 310312103110 loglog ()log ()10aa aaa a，所以选 B. 点评：高考试题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能力， 灵活运用数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度. 因此， 对相关知识的性质要深刻地理解 和掌握并能灵活运用. 2、 （北师大版第19 页习题4）设数列 n a是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项 的积为 48，则它的首项是（） A1 B.2 C.4 D.8 变式题 1、在各项都为正数的等比数列 n a中，首项 1 3a，前三项和为21，则 345 aaa （） （ A） 33 （ B） 72（C）84（D）
10、189 分析： 本题主要是考查等比数列的基本概念和性质，可利用方程思想将等比数列问题转化为 1 a 和q处理，也可利用等比数列的定义进行求解. 解法一 ：设公比为q，由题知， 1 2 111 3 21 a aa qa q 得2q或30q（舍去 ) ， 345 84aaa，故选 C. 解法二 ：由 1123 3,21aaaa得，2q(30q舍去 ) ， 2 345123 ()84aaaqaaa . 三、数列求和问题 1、 （北师大版第20 页习题 4）已知 n a是等差数列， 其中 1 31a，公差8d。（1） 求数列 n a 的通项公式， 并作出它的图像； （2）数列 na从哪一项开始小于0？
11、（ 3）求数列na前n项 和的最大值，并求出对应n的值 变式题 1、已知 na是各项不为零的等差数列，其中 1 0a，公差0d，若 10 0S,求数列na 前n项和的最大值 优秀学习资料欢迎下载 解： 110 1056 10() 5()0 2 aa Saa，所以 56 0,0aa，即数列 n a前 5 项和为最大值 变式题 2、在等差数列 n a中， 1 25a， 179 SS，求 n S的最大值 解法一 ：由 179 SS，得： 179 25 17(17 1)25 9(91) 22 dd，解得2d 2 25(1)( 2)(13)169 2 n n Snnn 由二次函数的性质，当 13n 时，
12、 n S有最大值169 解法二： 先求出 2d ， 1 250a， 由 1 1 13 252(1)0 2 25201 12 2 n n n an an n ，所以当13n时， n S有最大值169 解法三： 由 179 SS，得 101117 0aaa，而 101711161215 aaaaaa 1314 aa，故 1 314 aa 0 11314 20,0,0,0,daaa故当13n时， n S有最大 值 169 点评：解决等差数列前n项和最值问题的方法通常有：、利用二次函数求最值；、利 用通项公式 n a求n使得 1 0 nn aa；利用性质求出符号改变项 2、求和： 21 123 n n
13、 Sxxnx 变式题 1、已知数列42 n an和 1 2 4 nn b，设 n n n b a c，求数列 n c的前n项和 n T 解： 1 1 42 (21)4 2 4 n n n n n an cn b ， 121 12 231 13 45 4(21)4, 41 43 454(23)4(21)4 n nn nn n Tcccn Tnn 两式相减得 .54)56( 9 1 54)56( 3 1 4)12()4444(213 1321 n n nnn n nT nnT 优秀学习资料欢迎下载 变式题 2、设 n a是等差数列， n b是各项都为正数的等比数列，且 11 1ab， 35 21a
14、b， 53 13ab（）求 n a， n b的通项公式； （）求数列 n n a b 的前 n 项和 n S 解： （）设 n a的公差为d， n b的公比为q，则依题意有0q且 4 2 1221 1413 dq dq ， ， 解得2d，2q所以1(1)21 n andn， 11 2 nn n bq （） 1 21 2 n n n an b 1221 352321 1 2222 n nn nn S， 32 52321 223 222 n nn nn S， 得 221 22221 22 2222 nnn n S， 221 11121 221 2222 nn n 1 1 1 1 21 2 22 1
15、 2 1 2 n n n 1 23 6 2 n n 点评：错位相减法适用于通项公式形容 nnb a的数列，其中 n a是等差数列， n b是各项不 为 0 的等比数列 变式题 2设等比数列 n a的公比为q，前 n 项和为 Sn，若 Sn+1,Sn，Sn+2成等差数列，则 q 的值 为 . 分析： 本题主要考查等比数列的求和公式，等差数列的概念运用，可直接求得. 解： 1(1 ) 1 n n aq S q ， 12 2 nnn SSS，则有 12 111 (1)(1)(1) 2 111 nnn aqaqaq qqq ， 2 20qq，2q.，若1q，则 12 22(1)(2)23 nnn Sn
16、SSnnn。 优秀学习资料欢迎下载 3、利用等比数列的前n项和公式证明 11 1221 = (,0,0) nn nnnnn ab aabababbnNab ab 变式题 、已知)0,0,( 1221 baNnbabbabaau nnnnn n .当ba时，求 数列 n u的前 n 项和 n S 解： （）当ba时， n n anu)1(这时数列 n u的前n项和 nn n annaaaaS)1(432 132 式两边同乘以a，得 1432 )1(432 nn n annaaaaaS 式减去式，得 132 )1(2)1( nn n anaaaaSa 若1a， aan a aa Sa n n n
17、1 )1( 1 )1( )1 (， 2 2121 2 )1( 2)2()1( 1 ) 1( )1( )1( a aaanan a ana a aa S nnnn n 若1a， 2 )3( )1(32 nn nnSn 点评：在使用等比数列的求和公式时，要注意对公比q 的讨论，即 1 1 (1) (1) (1) 1 n n naq S aq q q ，这 是学生平时容易忽略的问题，应引起足够的重视，另外要求学生有运算化简的能力. 4、 （1）已知数列 n a的通项公式为 1 (1) n a n n ，求前n项的和；（2）已知数列 n a的通项公 式为 1 1 n a nn ，求前n项的和 变式题
18、1、 已知数列 n a的通项公式为 n a 1 2 n ，设 13242 111 n nn T aaaaaa ， 求 n T 解： 2 1 nn aa 4 (1)(3)nn 2（ 1 1n 1 3n ） 13242 111 n nn T aaaaaa 2（ 1 2 1 4 ）（ 1 3 1 5 ）（ 1 4 1 6 ）（ 1 n 1 2n ） 优秀学习资料欢迎下载 （ 1 1n 1 3n ） 2（ 1 2 1 3 1 2n 1 3n ）. 变式题 2、数列 an 中， a18，a42，且满足： an+22an+1an0（ nN* ） ， （）求数列 an 的通项公式； （）设 nn n n b
19、bbSNn an b 21 * )( )12( 1 ，是否存在最大的整数m，使得任意 的 n 均有 32 m Sn总成立？若存在，求出m；若不存在，请说明理由 解： （） an+2 2an+1an0， an+2an+1an+1an（n N* ） ， an是等差数列，设公差为 d， a18，a4a13d83d2， d 2， an8（ n1） （ 2） 102n （）， 1 11 2 1 ) 1(2 1 )21012( 1 )12( 1 nnnnnnan b n n 1 11 3 1 2 1 2 1 1 2 1 21 nn bbbS nn 1 1 1 2 1 n 假设存在整数m满足 32 m Sn总成立， 又0 )2)(1(2 1 ) 2 1 1 1 ( 2 1 ) 1 1 1( 2 1 ) 2 1 1( 2 1 1 nnnnnn SS nn 数列 n S 是单调递增的， 4 1 1 S为 n S的最小值，故 324 1m ，即 m8，又 mN* ， 适当条件的m 的最大值为7 点评：数列求和的裂项相消法：适用于通项公式形如 1nna a c 的数列，其中 n a是各项不为0 的等差数列，c 为常数