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1、优秀学习资料欢迎下载 高一下期末复习五：解三角形 一、知识梳理 1正弦定理： A a sin = B b sin = C c sin =2R（ R 为 ABC 外接圆半径） ，了解正弦定理以下变形： CBA cba C c B b A a CBAcba R c C R b B R a A CRcBRbARa sinsinsinsinsinsin sin:sin:sin: 2 sin, 2 sin, 2 sin sin2,sin2,sin2 最常用三角形面积公式：AbcBacCabahS aABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 正弦定理可解决两类问题：1两角和任意一
2、边，求其它两边和一角；（唯一解） 2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（解可能不唯一） 了解：已知a, b和 A, 用正弦定理求B 时的各种情况: 若 A 为锐角时 : )(ba ),(babsinA )(bsinA a sin 锐角一解 一钝一锐二解 直角一解 无解Aba b a b a b a b a a 已知边 a,b和A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H HH 若 A 为直角或钝角时: )(ba锐角一解 无解ba 3余弦定理：Abc
3、cbacos2 222 bc acb A 2 cos 222 Bacacbcos2 222 ca bac B 2 cos 222 Cabbaccos2 222 ab cba C 2 cos 222 4余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一） （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（解唯一）： （3）两边和其中一边对角，求另一边，进而可求其它的边和角（解可能不唯一） 5掌握用解三角形的知识解决测量、航海、几何、物理学等方面的简单应用问题 解三角形问题一般解题思想：一般来讲，无论是应用性问题，还是纯数学问题，如果涉及到一个三角形 中的边角关系 的计算与证明，常应联想到
4、正弦定理和余弦定理。 二典型例题 例 1.在ABC中，已知3a，2b，45B，求,A C及 c 优秀学习资料欢迎下载 解： （法一）由正弦定理得： 2 3 2 45sin3sin sin b Ba A， 4590B，即ba，60A或120， 当60A时75C， 2 26 45sin 75sin2 sin sin B Cb c， 当120A时15C， 2 26 45sin 15sin2 sin sin B Cb c （法二）：设cx，由余弦定理Baccabcos2 222 ， 将已知条件代入，整理得：016 2 xx，解之得： 2 26 x； 当 2 26 c时， 2)13(2 31 2 26
5、22 3) 2 26 (2 2 cos 2 222 bc acb A 当 2 26 c时， cosA= 2 1 变式 :在ABC 中，已知 5 4 sin A ， 13 5 cosB ，则cosC的值为. 解: ) 2 3 , 2 2 ( 5 4 sin A ， 34 A 或 4 3 3 2 A ， 2 1 13 5 cosB ， 23 B ， 从 而A为 锐 角 ， （ 4 3 3 2 A ， A+B 应 舍 去 ） ， 于 是 13 12 sin, 5 3 cosBA ，coscos()CAB(coscossinsin)ABAB 33 65 C c B b A a BbAa ABC cos
6、coscos 2coscos1 2 ）（）（ 的形状断、根据所给的条件，判例 积，求三边的长和它的面且最大角为，中，已知：在例 0 120,243bcabaABC a=14,b=10,c=6 S=153 例 4：如图，在海岸 A 处发现北偏东45方向， 距 A 处(3 1) 海 里的 B 处有一艘走私船在 A 处北偏西 75方向，距A 处 2海 里 的 C 处的我方缉私船，奉命以 103海里时的速度追截走私船 ， 此 时走私船正以10 海里时的速度，从 B 处向北偏东30方向逃窜 问：辑私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间 解：设辑私船应沿CD方向行驶小时，才能最快截获( 在D
7、点) 走私船， 角形。为等腰三角形或直角三ABC) 1( 为等边三角形ABC)2( 优秀学习资料欢迎下载 则CD103海里，BD10海里 BC 2AB2 AC 22AB ACcosA （31） 2222（ 31） 2cos120 6, BC6 2 2 6 120sin2sin sin sinsin BC AAC ABC ABC AC A BC ABC45，B点在C点的正东方向上， CBD90 30 120 , 2 1 310 120sin10sin sin sinsin t t CD CBDBD BCD CBD CD BCD BD BCD30, DCE90 30 60 由CBD120，BCD3
8、0得D30 BDBC，即 106 10 6 ( 小时 ) 15( 分钟 ) 例 5.（ 05 全国 III ）ABC中，内角A，B，C 的对边分别为, ,a b c，已知, ,a b c成等比数列， 且 3 cos 4 B。 （I）求 CAtan 1 tan 1 的值； （II ）设 3 2 BA BC，求ac的值。 解： （I）由 3 cos 4 B得 7 sin 4 B，由 2 bac得 2 sinsinsinBAC于是 22 coscossin()sin14 cotcot7 sinsinsinsinsin7 ACACB AC ACBBB 。 （II ）由 3 2 BA BC，得 3 co
9、s 2 caB，由 3 cos 4 B，得2ca，即 2 2b。 又 222 2cosbacacB。得 22 5ac， 222 ()29acacac，得3ac。 三课后作业： 1. ,30,ABCabcabcBABC 3 中、 、 分别为 A、B、C的对边如果 、 、 成等差数列,的面积为 2 那么b=( ) 优秀学习资料欢迎下载 13 . 2 A.13B 23 . 2 C.23D 答案： B 2.设 A 是 ABC 中的最小角，且 1 1 cos a a A，则实数a 的取值范围是（ A ） Aa3 B a 1 C 1a3 D a0 3.飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得
10、俯角为30，向前飞行10000 米，到达B 处，此时测得正前下方目标C的俯角为75，这时飞机与地面目标的水平距离为（132500） A 5000 米B 50002米C4000 米D24000米 4.已知 ABC 的三边长6,5,3cba，则 ABC 的面积为（B ） A14B142C15D152 5.在 ABC 中， a=x，b=2， B=45.若解此三角形可得两解，则x 的取值范围是 _ 222X 6.在ABC 中，若 2 2 tan tan Aa Bb ，试判断 ABC 的形状 . 解法 1：由正弦定理：BA B A A A AB BA 2sin2sin sin sin cosA cosB
11、 sin sin cossin cossin 2 2 即： 2A = 2B 或 2A = 180 2B即： A= B 或 A + B = 90 ABC 为等腰或直角三角形 解法 2：由题设： 2 2 222 222 2 2 22 22 sincos cossin b a R b bc acb ac bca R a b a BA BA 化简： b2(a2 + c2 b 2) = a2(b2 + c2 a 2) (a 2 b 2)(a2 + b 2 c 2)=0 a = b 或 a 2 + b2 = c2 ABC 为等腰或直角三角形 7. （2）22bA=60 0 C=75 0 8.在 ABC 中
12、，10ba，cosC 是方程0232 2 xx的一个根，求ABC 周长的最小值。 解：0232 2 xx 2 1 , 2 21 xx 又Ccos是方程0232 2 xx的一个根 2 1 c o s C CAbBcaABC O ,45,26,32求，中，已知在 优秀学习资料欢迎下载 由余弦定理可得：abbaabbac 2222 2 1 2 则：75510100 22 aaac 当5a时， c 最小且3575c此时3510cba ABC 周长的最小值为3510 9 在ABC中，已知角B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，求AB 解：在ADC中， cosC, 14 11 372 537
13、2 222222 DCAC ADDCAC 又 0C180， sinC 14 35 在ABC中， C AB B AC sinsin AB. 2 65 72 14 35 sin sin AC B C 10. 在ABC中，A.B.C的对边分别为a.b.c。若 a,b,c 成等比数列， 求 f(B)=sinB+3cosB 的值 域。 解析(1) acb 2 , acca2 22 2 1 2 2 2 cos 222 ac acac ac bca B 当且仅当ca时取等号 , 3 0Bf(B)=sinB+3cosB=) 3 sin(2B 3 2 33 B)(Bf的值域为2,3 11. 若钝角ABC的三边长为2，6，x，求 x 的取值范围 解：当 0x6时，0 4 64 cos 2 x x 即02 2 x20x 当 x6时，0 64 64 cos 2 x 即010 2 x10x 1020xx或 又26102262626xxx或