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1、优秀学习资料欢迎下载 椭圆 方程 标准方程椭 圆 1 C： 22 22 1 xy ab （ ab0） ； 椭圆 2 C： 22 22 1 yx ab （0ab） ；参数方程 cos sin xa yb 图形 几何 性质 焦点坐标 1 ,0Fc， 2 ,0Fc 1 0,Fc， 2 0,Fc 顶点 1 ,0Aa， 2 ,0Aa； 1 0,Bb， 2 0,Bb； 1 0,Aa， 2 0,Aa； 1 ,0Bb， 2 ,0Bb； 范围 xa，yb；xb，ya； 准线 1 l： 2 a x c ， 2 l： 2 a x c 1 l： 2 a y c ， 2 l： 2 a y c 焦半径 00 ,P xyC
2、 110 rPFaex， 220 rPFaex 110 rPFaey， 220 rPFaey 对称性 关于, x y轴均对称，关于原点中心对称； 离心率 0,1 c e a , ,a b c的关系 22 cab 焦点三角形 12 PF F的面积： 12 2 tan 2 PF F Sb （ 12 F PF，b为短半轴长） 两准线间距离： c a 2 焦准距： c b 2 通径（过焦点与长轴垂直的弦）： a b 2 2 一椭圆定义： Ox y 1 l2 l 1 A 2 A 1 B 2 B 1 F 2 F P Ox y 1 l 2 l 1 A A B 2 B 1 F 2 F P 优秀学习资料欢迎下载
3、 第一定义： 平面内与两个定点 21, F F的距离之和为常数 21 2FFa的动点 P的轨迹叫椭圆 , 其中两个定点 21,F F 叫椭圆的焦点. 当 2121 2FFaPFPF时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 2121 2FFaPFPF时, P 的轨迹不存在 ; 当 2121 2FFaPFPF时, P 的轨迹为以 21,F F为端点的线段 椭圆的第二定义: 平面内到定点F 与定直线L ( 定点 F 不在定直线L 上) 的距离之比是常数e(0e1) 的点的轨 迹为椭圆 【例】已知 21,F F为椭圆1 925 22 yx 的两个焦点，过 1 F的直线交椭圆于A、B两点若12 22 BFAF，
4、则AB=_ 已知圆Q：0556- 22 xyx，动圆 M与已知圆内切，且过定点P（-3 ，0） ，求圆心M的轨迹方程 二椭圆的方程与几何性质: 见上表 【例 1】已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 1 6,1P， 2 3,2P，求椭圆方程 两准线间的距离为 185 5 ，焦距为2 5，求椭圆方程 已知椭圆A和椭圆 22 1 2420 xy 共准线，且离心率为 1 2 ，求椭圆A的方程 已知 P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 4 5 3 和 2 5 3 ，过点 P作长轴的垂 线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程 以短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为正三角
5、形，且焦点到椭圆的最短距离为3，求椭圆方程 【例 2】椭圆1 4 22 m yx 的离心率为 2 1 ，则 m=_ 短轴长为5，离心率 3 2 e的椭圆两焦点为 21, F F，过 1 F作直线交椭圆于A、B两点，则 2 ABF的周 长为（） A.3 B.6 C.12 D.24 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较 近的端点距离为424，求此椭圆方程 如图，把椭圆1 1625 22 yx 的长轴AB 分成8 等份，过每个分点作X 轴的垂线交椭圆的上半部分于 7654321 ,PPPPPPP七个点， F 是椭圆的一个焦点, 则 7654321
6、 FPFPFPFPFPFPFP_ 在 ABC中,3,2,30 ABC SABA , 若以 A,B 为焦点的椭圆经过点C,该椭圆的离心率e=_ 优秀学习资料欢迎下载 如果方程2 22 kyx表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_ 【例 3】椭圆1 916 22 yx 上的点到直线L:x+y-9=0的距离的最小值为_ 已知1 34 22 yx 内有 P （ 1， -1 ） ， F 是椭圆的右焦点， 求离心率在椭圆上求一点M ， 使MFMP2 的值最小，并求出这个最小值 三位置关系 1. 点),x( 00 yP与椭圆1 2 2 2 2 b y a x 的位置关系 : 当1 2 2 2 2
7、 b y a x 时, 点P在椭圆外 ; 当1 2 2 2 2 b y a x 时, 点P在椭圆内 ; 当1 2 2 2 2 b y a x 时, 点P在椭圆上 2. 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆相交0; 直线与椭圆相切0; 直线与椭圆相离0 3.弦长公式： 21 2 2212 2 2 2 1),(),()0(1:,:1xxkAByxByxAba b y a x mkxyl则，交点为椭圆已知直线 2122212 2 2 2 1 1),(),()0(1:,: 1yy k AByxByxAba b x a y mkxyl则，交点为椭圆已知直线 四. 点差法： 适用：求平行弦的中点轨迹，求过定点
8、的弦中点的轨迹，求被定点平分的弦所在直线的方程 【例】 求椭圆方程12 22 yx中斜率为2 的平行弦的中点轨迹方程 求椭圆方程1 2 2 2 y x 中过定点P（0，2）的弦 AB的中点 M的轨迹方程 在椭圆1 24 22 yx 中，过点P(1,1) 的弦 AB恰被点 P平分，求弦AB所在直线的方程 【习题】 1. 已知两定点 1( 1,0) F、 2(1,0) F且 12 F F是 1 PF与 2 PF的等差中项，则动点P的轨迹方程是（） A. 22 1 169 xy B. 22 1 1612 xy C. 22 1 43 xy D. 22 1 34 xy 2. 离心率为黄金比 51 2 的
9、椭圆称为“优美椭圆”. 设 22 22 1(0) xy ab ab 是优美椭圆，F、A 分别是它的左焦 点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，则FBA等于（） A.60 B.75 C.90 D.120 优秀学习资料欢迎下载 3. 点 P(-3,1)在椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左准线上，过点P且方向向量为 (2,5)a 的光线，经直线y=-2 反 射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（） A. 3 3 B. 1 3 C. 2 2 D. 1 2 4. 已知( 1,0)A,(1,0)B, 点( , )C x y 满足： 22 (1)1 42 xy x ，则ACBC( ) .
10、A6.B4.C2.D不能确定 5. 如 图 ， 把 椭 圆 22 1 2516 xy 的 长 轴AB分 成8等 份 ， 过 每 个 分 点 作x轴 的 垂 线 交 椭 圆 的 上 半 部 分 于 1234567 ,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点， 则 1234567 PFP FP FP FP FP FP F . 6. 已知P是椭圆 22 22 1 xy ab 0ab上任意一点，P与两焦点连线互相垂直，且P到两准线距离分别为6、12， 则椭圆方程为_ 7. 直线l过点1,1M，与椭圆 22 1 43 xy 相交于A、B两点，若AB的中点为M，试求直线l的方程 . 8. 已知椭圆14 2
11、2 yx及直线y=x+m,当m 为何值时，直线和椭圆有公共点若直线被椭圆截得的弦长为 5 102 ，求直线的方程 9椭圆 C:1 1625 22 yx 内有一点 A（2，1） F 是椭圆 C的左焦点， P为椭圆 C上的动点，求PFPA 3 5 的最小值 10. 椭圆 C:1 1625 22 yx 内有一点 A（2，1）F是椭圆 C的左焦点， P为椭圆 C上的动点，求PFPA的最大值与 最小值 11. 椭圆 C:1 1625 22 yx 外有一点A（5，6） ，l为椭圆的左准线，P 为椭圆C 上的动点，点P 到的l距离为d, 求 dPA 5 3 的最小值 12. 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与椭圆交于P,Q 两点， 且 2 10 , PQOQOP, 求椭圆方程