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1、学习必备欢迎下载 学生姓名年级_ 授课时间 _教师姓名 _课时_ 课题圆锥曲线综合复习 教学目标椭圆、双曲线、抛物线等多种圆锥曲线的综合题解答 重点圆锥曲线综合 难点圆锥曲线综合 教学内容 与教学过程 一、综合复习全面讲解 一、基础知识【理解去记】 1椭圆的定义， 第一定义： 平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离） 的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b0)，参数方程为 sin cos by ax （为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为：1 2 2 2 2
2、 b y a y (ab0)。 3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆：1 2 2 2 2 b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为( a, 0 ), (0, b), (c, 0 )；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2 ，与右焦 点对应的准线为 c a x 2 ；定义中的比e称为离心率，且 a c e，由 c 2+b2=a2 知 0b0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。 若 P(x, y) 是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.
3、5.补充知识点： 几个常用结论： 学习必备欢迎下载 教学内容 与教学过程 1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为：1 2 0 2 0 b yy a xx ； 2）斜率为k 的切线方程为 222 bkakxy；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为 222 2 cos 2 ca ab l。 6双曲线的定义，第一定义： 满足 |PF1|-|PF2|=2a(2a0)的点 P的轨迹； 第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。 7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为 1 2 2 2 2 b y a x ， 参数方程为 tan sec by ax
4、 （为参数）。 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为：1 2 2 2 2 b x a y 。 8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线：1 2 2 2 2 b y a x (a, b0), a 称半实轴长， b 称为半虚轴长， c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、 右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为., 22 c a x c a x离心率 a c e，由 a 2+b2=c2知 e1。两 条渐近线方程为x a k y，双曲线1 2 2 2 2 b y a x 与1 2 2 2 2 b y a x 有相同的渐近线，
5、它们的四个 焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。 9补充知识点： 双曲线的常用结论， 1）焦半径公式，对于双曲线1 2 2 2 2 b y a x ，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。设 P(x,y)是双曲 线上的任一点，若P 在右支上，则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P（x,y）在左支上，则 |PF1|=-ex-a， |PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为的弦长是 222 2 cos 2 ca ab 。 10抛物线：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫 焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦
6、点F 且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与 l 相交于 学习必备欢迎下载 教学内容 与教学过程 K，以线段KF 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F 坐标为)0 , 2 ( p ，准 线方程为 2 p x，标准方程为y 2=2px(p0) ，离心率 e=1. 11补充知识点 抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点， 1）焦半径 |PF|= 2 p x； 2）过点 P 的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为 2 cos1 2p 。 二、直线与圆锥曲线的位置关系 一、知识整理： 1.考点分析：此部分的解答题以直线与圆锥曲线相交占多
7、数，并以椭圆、抛物线为载体较多。 多数涉及求圆锥曲线的方程、求参数的取值范围等等。 2解答直线与圆锥曲线相交问题的一般步骤： 设线、设点，联立、消元，韦达、代入、化简。 第一步：讨论直线斜率的存在性，斜率存在时设直线的方程为y=kx+b （或斜率不为零时，设 x=my+a ） ； 第二步：设直线与圆锥曲线的两个交点为A(x 1,y1)B(x2,y2); 第三步：联立方程组 0)y,x(f bkxy ，消去 y 得关于 x 的一元二次方程； 第四步： 由判别式和韦达定理列出直线与曲线相交满足的条件 0 二次系数不为零 ， 21 21 xx xx 第五步：把所要解决的问题转化为x1+x2 、x1x
8、2 ，然后代入、化简。 3弦中点问题的特殊解法- 点差法：即若已知弦AB 的中点为M(xo,yo)，先设两个交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2);分别代入圆锥曲线的方程，得0)y,x(f , 0)y,x(f 2211 ，两式相减、分解因 式，再将 o21o21 2yyy,2xxx代入其中，即可求出直线的斜率。 4. 弦长公式 : x4x)xx)(k1(|xx|k1|AB| 21 2 21 2 21 2 ( k 为弦 AB所在直线的 斜率 ) 三、高考真题 1.【2012 高考新课标文4】设 12 F F是椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的左、右焦点，P为直线 3 2 a
9、 x上一点， 12PF F是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（） ()A 1 2 ()B 2 3 ()C ()D 【答案】 C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思想 ， 学习必备欢迎下载 教学内容 与教学过程 是简单题 . 【解析】 21 F PF是底角为 0 30的等腰三角形， 0 2 60PF A， 212 | | 2PFF Fc， 2 |AF=c， 3 2 2 ca，e= 3 4 ，故选 C. 2.【2012 高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy16 2 的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实轴长为（） ()A2()B2 2()
10、C()D 【答案】 C 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为： 4x ，设等轴双曲线方程为： 222 xya，将4x代 入等轴双曲线方程解得y= 2 16a，|AB=4 3， 2 2 16a=4 3，解得a=2， C的实轴长为4，故选 C. 3.【 2012 高考山东文11】已知双曲线 1 C ： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为2.若抛物线 2 2:2(0)Cxpy p的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 28 3 3 xy(B) 2163 3 xy(C) 2 8xy(
11、D) 2 16xy 【答案】 D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2 且双曲线中a，b，c 的关系可知ab3，此题应注意C2 的焦点在y 轴上， 即（0，p/2）到直线xy3的距离为2，可知 p=8 或数形结合， 利用直角三角形求解。 4【 2012 高考全国文10】已知 1 F、 2 F为双曲线 22 :2C xy的左、右焦点，点P在C上， 12 |2 |PFPF，则 12 cosF PF （A） 1 4 （B） 3 5 （C） 3 4 （D） 4 5 【答案】 C 【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。首先 运用定义得到两个焦半径的值，
12、然后结合三角形中的余弦定理求解即可。 【解析】解：由题意可知，2,2abc，设 12 | 2 ,|PFx PFx，则 12 |22 2PFPFxa，故 12 | 4 2,| 2 2PFPF， 12 4F F，利用余弦定理可得 222222 1212 12 12 (4 2)(2 2)43 cos 24 2 2 24 2 PFPFF F F PF PFPF 。 5 (20XX 年高考广东卷文科8) 设圆 C 与圆外切， 与直线0y相切 则 C 的圆心轨迹为 （） 学习必备欢迎下载 A 抛物线 B 双曲线 C 椭圆 D 圆 6. 【2012 高考四川文9】 已知抛物线关于 x轴对称，它的顶点在坐标原
13、点O， 并且经过点 0 (2,)My。 若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM（） A、2 2B、2 3C、4D、2 5 【答案】 B 解析 设抛物线方程为y 2=2px(p0), 则焦点坐标为（ 0, 2 p ） ，准线方程为x= 2 p , 32)22(2| 22, 2 22, 1 3 2 p 2 2 p -2 22 0 22 0 2 OM M yp y M M 有：），根据两点距离公式（点 解得： ）（）（ 线的距离，即到焦点的距离等于到准 在抛物线上， 点评 本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点 M 到准线的距离). 7.
14、（20XX年高考湖南卷文科6) 设双曲线 22 2 1(0) 9 xy a a 的渐近线方程为320,xy则a的 值为（） A4 B3 C2 D1 答案： C 解析：由双曲线方程可知渐近线方程为 3 yx a ，故可知2a。 8. 【 2012 高考四川文15】椭圆 22 2 1( 5 xy a a 为定值， 且5)a的的左焦点为F，直线xm与 椭圆相交于点 A、B，FAB的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是_。 【答案】 3 2 ， 学习必备欢迎下载 解析 根据椭圆定义知：4a=12, 得 a=3 , 又5 22 ca 3 2 ,2 a c ec 点评 本题考查对椭圆概念的掌握程度.突
15、出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 9. 【2012 高考辽宁文15】已知双曲线x 2 y 2 =1, 点 F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点， 若 P F1P F2, 则 P F1+P F2的值为 _. 【答案】2 3 【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适 中。 【解析】 由双曲线的方程可知 12 1,2,22,acPFPFa 22 1122 24PFPF PFPF 22 2 121212 2 1212 ,(2 )8,24, ()8412,2 3 PFPFPFPFcPF PF PFPFPFPF 【点评】 解题时要充分利用双曲线的定义
16、和勾股定理，实现差积和的转化。 10. 【2012 高考江苏8】（5 分） 在平面直角坐标系xOy中， 若双曲线 22 2 1 4 xy mm 的离心率为5， 则m的值为 【答案】 2。 【考点】 双曲线的性质。 【解析】 由 22 2 1 4 xy mm 得 22 =4=4ambmcmm，。 2 4 = 5 cmm e am ，即 2 44=0mm，解得=2m。 11.【 2012 高考安徽文14】过抛物线 2 4yx的焦点F的直线交该抛物线于,A B两点，若 |3AF，则|BF=_。 【答案】 3 2 【解析】设(0)AFx及BFm；则点A到准线:1lx的距离为3 得： 1 323cosc
17、os 3 又 23 2cos() 1cos2 mmm 12. （20XX 年高考辽宁卷文科7) 已知 F 是抛物线 2 yx的焦点， A B 是该抛物线上的两 学习必备欢迎下载 点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB的中点到 y 轴的距离为。 解析：设A、B 的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得 AFBF3=m+ 1 4 +n+ 1 4 = m+n+ 1 2 =3，故 m+n= 5 2 ， 5 24 mn ，故线段AB 的中点到y 轴的距离为 5 4 。 13、 【2012 高考广东文20】 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 1 C： 22 22 1 xy ab
18、（0ab）的左焦点为 1( 1,0) F， 且点(0,1)P在 1 C上 . （1）求椭圆 1 C的方程； （2）设直线l同时与椭圆 1 C和抛物线 2 C： 2 4yx相切，求直线l的方程 . 【解析】（1）因为椭圆 1 C的左焦点为 1( 1,0) F，所以1c， 点(0,1)P代入椭圆 22 22 1 xy ab ，得 2 1 1 b ，即1b， 所以 222 2abc， 所以椭圆 1 C的方程为 2 2 1 2 x y. （2）直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为ykxm， 2 2 1 2 x y ykxm ，消去y并整理得 222 (12)4220kxkmxm， 因为直线l与椭圆
19、1 C相切，所以 2222 164(12)(22)0k mkm， 整理得 22 210km 2 4yx ykxm ，消去 y并整理得 222 (24)0k xkmxm。 因为直线l与抛物线 2 C相切，所以 222 (24)40kmk m， 整理得1km 学习必备欢迎下载 综合，解得 2 2 2 k m 或 2 2 2 k m 。 所以直线l的方程为 2 2 2 yx或 2 2 2 yx。 14、 【2012 高考安徽文20】 （本小题满分13 分） 如图， 21,F F分别是椭圆C： 2 2 a x + 2 2 b y =1（0ba）的左、右焦点，A是椭圆C的 顶点，B是直线 2 AF与椭圆
20、C的另一个交点， 1 FA 2 F=60. （）求椭圆C的离心率； （）已知 A BF1的面积为403，求 a, b 的值 . 【解析】（I） 12 1 602 2 c F AFace a （）设 2 BFm；则 1 2BFam 在 12 BF F中， 222 1212212 2cos120BFBFF FBFF F 222 3 (2) 5 ammaamma 1 AF B面积 21 1133 sin60()40 3 2252 10,5,5 3 SF FABaaa acb 15.【2102 高考北京文19】(本小题共14 分) 已知椭圆C： 2 2 x a + 2 2 y b =1（ab0）的一个
21、顶点为A （2,0） ，离心率为 2 2 ， 直线 y=k(x-1) 与 椭圆 C 交与不同的两点M,N （）求椭圆C 的方程 （）当 AMN 的面积为 10 3 时，求 k 的值 【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常 熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。 学习必备欢迎下载 解： （1）由题意得 222 2 2 2 a c a abc 解得2b.所以椭圆C 的方程为 22 1 42 xy . （2）由 22 (1) 1 42 yk x xy 得 2222 (12)4240kxk xk. 设点 M,N 的坐标分别为 1
22、1 (,)xy， 22 (,)xy， 则 11 (1)yk x， 22 (1)yk x， 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 122 24 12 k x x k . 所以 |MN|= 22 2121 ()()xxyy= 22 1212 (1)()4kxxx x= 22 2 2 (1)(46) 1 2 kk k . 由因为点A(2,0) 到直线(1yk x）的距离 2 | 12 k d k ， 所以 AMN 的面积为 2 2 1|46 | 212 kk SMNd k . 由 2 2 |4610 123 kk k ，解得 1k . 16.【2102 高考福建文21】 （本小题满分12 分
23、） 如图，等边三角形OAB 的边长为8 3，且其三个顶点均在抛物线E：x 2=2py（p0）上。 （1）求抛物线E 的方程； （2）设动直线l 与抛物线 E 相切于点P， 与直线 y=-1 相较于点Q。证明以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点。 考点： 圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。 难度： 难。 分析： 本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。 解答： （I）设 1122 (,),(,)A x yB xy；则 22 1122 2,2xpyxpy 学习必备欢迎下载 222222 11221122 12121212 22 ()(2)
24、0(2 ,0) OAOBxyxypyypyy yypyyyyp y y 得：点,A B关于y轴对称（ lfxlby ） 8 3( 4 3,12),(4 3,12)OAOBABAB 代入抛物线E的方程得： 2 2 2 x p y 抛物线E的方程为 2 4xy （II）设 2 0 0 (,) 4 x P x；则 2 11 42 yxyx 过点P的切线方程为 2 000 11 () 42 yxxxx即 2 00 11 24 yx xx 令 2 0 0 4 1(, 1) 2 x yQ x 设(0, )Mt满足：0MP MQ及 2 0 00 0 4 (,),(, 1) 2 x MPxytMQt x 得：
25、 22 0 4(2)(1)0ttt x对 0 0x均成立 2 20,101tttt 以PQ为直径的圆恒过 y轴上定点(0,1)M 17.【2012 高考上海文22】 （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第1 小题满分5 分，第 2 小题 满分 5 分，第 3 小题满分6 分 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 :21Cxy （1）设F是C的左焦点，M是C右支上一点，若2 2MF，求点M的坐标； （2）过C的左焦点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为k（2k）的直线l交C于P、Q两点， 若l与圆 22 1xy相切， 求证：OP OQ 解 （
26、1）双曲线1: 2 2 1 2 yC x ，左焦点)0,( 2 6 F. 设),(yxM，则 2 2 222 2 62 )3()(|xyxMF， 2 分 学习必备欢迎下载 由 M 是右支上一点，知 2 2 x，所以223| 2 2 xMF，得 2 6 x. 所以)2,( 2 6 M. 5 分 （2）左顶点)0,( 2 2 A，渐近线方程：xy2. 过 A 与渐近线xy2平行的直线方程为：)(2 2 2 xy，即12xy. 解方程组 12 2 xy xy ，得 2 1 4 2 y x . 8 分 所求平行四边形的面积为 4 2 |yOAS. 10 分 （3）设直线 PQ 的方程是bkxy. 因直
27、线与已知圆相切，故1 1 | 2 k b ， 即1 22 kb (*). 由 12 22 yx bkxy ，得012)2( 222 bkbxxk. 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 2 2 2 2 1 21 2 2 21 k b k kb xx xx . )( 2121 bkxbkxyy，所以 2 2121 2 2121 )()1(bxxkbxxkyyxxOQOP 2 22 2 22 2 22 2 1 2 2 2 )1)(1( k kb k bk k bk . 由(*) 知0OQOP，所以 OPOQ. 16 分 【点评】 本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系特别要注 意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的 渐近线为xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题 学习必备欢迎下载