【优质文档】高中数学高考复习导数及其应用.pdf

《【优质文档】高中数学高考复习导数及其应用.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【优质文档】高中数学高考复习导数及其应用.pdf（43页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、优秀学习资料欢迎下载 高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义； 4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 优秀学习资料欢迎下载 （1）导数的定义 （）设函数在点及其附近有定义，当自变量x 在 处 有 增 量 x （ x 可 正 可 负 ） ， 则 函 数y 相 应 地 有 增 量 ，这两个增量的比，叫做函 数在点到这间的平均变化率。如果时， 有极限，则说函数在点处可导，并把这

2、个极限叫做在 点处 的 导 数 （ 或 变 化 率 ）， 记 作， 即 。 （）如果函数在开区间（）内每一点都可导， 则说 在开区间（）内可导，此时，对于开区间（）内每一个确定 的值，都对应着一个确定的导数，这样在开区间（） 内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做在开区间（） 内 的 导 函 数 （ 简 称 导 数 ）， 记 作或，即 。 认知： （）函数的导数是以 x 为自变量的函数， 而函数 在点处的导数是一个数值；在点处的导数是 的导函数当时的函数值。 （）求函数在点处的导数的三部曲： 求函数的增量； 优秀学习资料欢迎下载 求平均变化率； 求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

3、 （2）导数的几何意义： 函 数在 点处的 导 数， 是 曲 线在 点 处的切线的斜率。 （3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （）若函数在点处可导，则在点处连续； 若函数在开区间（）内可导，则在开区间（） 内连续（可导一定连续） 。 事 实 上 ， 若 函 数在 点处 可 导 ， 则 有 此时， 记,则有即在点处连续。 （）若函数在点处连续，但在点处不一定可 优秀学习资料欢迎下载 导（连续不一定可导） 。 反例：在点处连续，但在点处无导数。 事实上，在点处的增量 当时，； 当时， 由此可知，不存在，故在点处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数

4、（求导公式） 公式 1常数的导数：（c 为常数） ，即常数的导数等于 0。 公式 2幂函数的导数：。 公式 3正弦函数的导数：。 公式 4余弦函数的导数： 公式 5对数函数的导数： （）； （） 公式 6指数函数的导数： （）； （）。 优秀学习资料欢迎下载 （2）可导函数四则运算的求导法则 设为可导函数，则有 法则 1； 法则 2； 法则 3。 3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设，复合成以x 为自变量的函数，则 复合函数对自变量 x 的导数， 等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量u 对自变量 x 的导数， 即。 引申：设，复合成函数， 则 有 （2）认知 （）认知复合函

5、数的复合关系循着“ 由表及里 ” 的顺序，即从外 向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出，由第一层中 间变量的函数结构设出，由第二层中间变量 的函数结构设出，由此一层一层分析，一直到最里层的中间 变量为自变量 x 的简单函数为止。于是所给函数便 “ 分解” 为若干相互联系的简单函数的链条： ； （）运用上述法则求复合函数导数的解题思路 优秀学习资料欢迎下载 分解：分析所给函数的复合关系， 适当选定中间变量， 将所给 函数“ 分解” 为相互联系的若干简单函数； 求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述 求导法则和基本公式求； 还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函

6、 数，并作以适当化简或整理。 二、导数的应用 1、函数的单调性 （1）导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数在某个区间内可导， 则若为 增函数；若为减函数；若在某个区间内恒有， 则在这一区间上为常函数。 （2）利用导数求函数单调性的步骤 （）确定函数的定义域； （）求导数； （）令，解出相应的 x 的范围 当时，在相应区间上为增函数；当时 在相应区间上为减函数。 （3）强调与认知 （）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域 D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的 x 的取值集合为 A，由确定的 x 的取值范围为 B，则 优秀学习资料欢迎下载 应用； （）

7、在某一区间内（或）是函数在这一 区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的 根不一定是增、 减区间的分界点， 并且在对函数划分单调区间时，除 去确定的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点，它们也可能是增、减区间的分界点。 举例： （1）是 R 上的可导函数，也是R 上的单调函数，但是 当 x=0 时，。 （2）在点 x=0 处连续，点 x=0 处不可导，但在 （- ， 0）内递减，在（ 0，+）内递增。 2、函数的极值 （1）函数的极值的定义 设函数在点附近有定义，如果对附近的所有点，都 有， 则 说是 函 数的 一 个 极 大 值 ， 记 作 ； 如果对附近的所有点，

8、都有，则说是函数 的一个极小值，记作。 极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （）函数的极值点是区间内部的点，并且函数的极值 只有在区间内的连续点处取得； 优秀学习资料欢迎下载 （）极值是一个局部性概念； 一个函数在其定义域内可以有多 个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极 大值； （）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函 数在内的极大值点，极小值点交替出现。 （2）函数的极值的判定 设函数可导，且在点处连续，判定是极大（小） 值的方法是 （）如果在点附近的左侧，右侧，则 为极大值； （）如果在点附近的左侧，右侧，则 为极小值； 注意：导数为 0 的不

9、一定是极值点，我们不难从函数的 导数研究中悟出这一点。 （3）探求函数极值的步骤： （）求导数； （）求方程的实根及不存在的点； 考察在上述方程的根以及不存在的点左右两侧的符 号：若左正右负，则在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。 3、函数的最大值与最小值 （1）定理 优秀学习资料欢迎下载 若函数在闭区间上连续， 则在上必有最大值和最 小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值。 认知： （）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最 大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数 在整个定义区间上所有函数值中的最小值。 （）函数的极大值与极小值

10、是比较极值点附近的函数值得出的 （具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值 是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小） 值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。 （）若在开区间内可导，且有唯一的极大 （小）值， 则这一极大（小）值即为最大（小）值。 （2）探求步骤： 设函数在上连续，在内可导，则探求函数在 上的最大值与最小值的步骤如下： （ I ）求在内的极值； （ II ）求在定义区间端点处的函数值，； （ III ）将的各极值与，比较，其中最大者为所 求最大值，最小者为所求最小值。 引申：若函数在上连续，则的极值或最值也可能 在不可导的点处

11、取得。 对此，如果仅仅是求函数的最值， 则可将上述 步骤简化： 优秀学习资料欢迎下载 （ I ）求出的导数为 0 的点及导数不存在的点（这两种点 称为可疑点）； （ II ）计算并比较在上述可疑点处的函数值与区间端点处 的函数值，从中获得所求最大值与最小值。 （3）最值理论的应用 解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具， 基本 解题思路为： （ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联 系，引入变量，建立适当的函数关系； （ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值； （ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答 所提出的问题，特殊地，如果

12、所得函数在区间内只有一个点满足 ，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又 必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。 四、经典例题 例 1、设函数在点处可导，且，试求 （1）； （2）； （3）； （4）（为常数）。 优秀学习资料欢迎下载 解：注意到 当） （1）； （2） =A+A=2A （3）令，则当时， （4） 点评：注意的本质，在这一定义中， 优秀学习资料欢迎下载 自变量 x 在处的增量的形式是多种多样的，但是，不论选 择哪一种形式，相应的也必须选择相应的形式，这种步调的一致 是求值成功的保障。 若 自 变 量x在处 的 增 量 为， 则 相 应 的 ， 于是有； 若

13、令，则又有 例 2、 （1）已知，求； （2）已知，求 解： （1）令，则，且当时，。 注意到这里 （2） 优秀学习资料欢迎下载 注意到， 由已知得 由、得 例 3、求下列函数的导数 （ 1 ）；（ 2 ） ； （3）；（4）； （5）；（6） 解： （1） （2）， （3）， 优秀学习资料欢迎下载 （4）， （5）， （6） 当时，； 当时， 即。 点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先 对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算， 特别是积、商 的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“ 先 变后求 ” 的手法显然更为灵巧。 例 4、在曲线 C：上，求

14、斜率最小的切线所对 应的切点，并证明曲线C 关于该点对称。 解： （1） 当时，取得最小值 -13 又当时， 优秀学习资料欢迎下载 斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12） ； （2）证明：设为曲线 C 上任意一点，则点P 关于点 A 的对称点 Q 的坐标为 且有 将代入的解析式得 ， 点坐标为方程的解 注意到 P，Q 的任意性， 由此断定曲线 C 关于点 A 成中心对称。 例 5、已知曲线，其中，且均 为可导函数， 求证：两曲线在公共点处相切。 证明： 注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的 切线重合， 设上述两曲线的公共点为，则有 ， ， ， ， 优秀学习资料欢迎下载 于是，

15、对于有； 对于，有 由得， 由得 ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等， 两曲线在公共点处的切线重合 两曲线在公共点处相切。 例 6、 （1）是否存在这样的k 值，使函数在 区间（ 1，2）上递减，在（ 2，+）上递增，若存在，求出这样的k 值； （2）若恰有三个单调区间，试确定的取值范围， 并求出这三个单调区间。 解： （1） 由题意，当时，当 x(2,+ ) 时， 由函数的连续性可知， 即 优秀学习资料欢迎下载 整理得 解得或 验证： （）当时， 若，则；若， 则， 符合题意； （）当时， ， 显然不合题意。 于是综上可知， 存在使在（1，2）上递减，在（2，+） 上递增。 （2） 若，则，

16、此时只有一个增区间， 与题设矛盾； 若，则，此时只有一个增区间，与题 设矛盾； 若，则 并且当时，； 当时， 优秀学习资料欢迎下载 综合可知，当时，恰有三个单调区间： 减区间；增区间 点评：对于（ 1） ，由已知条件得，并由此获得 k 的可能 取值，进而再利用已知条件对所得k 值逐一验证，这是开放性问题 中寻求待定系数之值的基本策略。 例 7、 已知函数， 当且仅当时， 取得极值，并且极大值比极小值大4. （1）求常数的值； （2）求的极值。 解： （1）， 令得方程 在处取得极值 或为上述方程的根， 故有 ，即 又仅当时取得极值， 方程的根只有或， 优秀学习资料欢迎下载 方程无实根， 即 而

17、当时，恒成立， 的正负情况只取决于的取值情况 当 x 变化时，与的变化情况如下表： 1 (1，+) + 0 0 + 极大值极小值 在处取得极大值，在处取得极小值 。 由题意得 整理得 于是将，联立，解得 （2）由（ 1）知， 点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与的关系， 立足研究的根的情况，乃是解决此类含参问题的一般方法， 这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“ 导数 ” 与“在处取得极值 ” 的必要关系。 例 8、 优秀学习资料欢迎下载 （1）已知的最大值为 3，最小值为 -29，求的值； （2）设，函数的最大值为 1， 最小值为，求常数的值。 解： （1）这里，不然与题

18、设矛盾 令，解得或 x=4（舍去） （）若，则当时，在内递 增； 当时，在内递减 又连续，故当时，取得最大值 由已知得 而 此时的最小值为 由得 （）若，则运用类似的方法可得当时有最小 值，故有； 又 当时，有最大值， 由已知得 优秀学习资料欢迎下载 于是综合（）（）得所求或 （2）， 令得 解得 当在上变化时，与的变化情况如下表： -1 (-1,0) 0 1 + 0 0 + 极大值 极小值 当时，取得极大值；当时，取得极小 值。 由上述 表格 中展 示的的 单调性 知 最大值在与之中，的最小值在和 之中， 考察差式， 即， 故的最大值为 由此得 优秀学习资料欢迎下载 考察差式 ，即， 的最小

19、值为 由此得，解得 于是综合以上所述得到所求。 五、高考真题 （一）选择题 1、设， ，则（） 。 A 、B 、C 、 D、 分析：由题意得， ， ， ， 具有周期性，且周期为4， ，应选 C。 2、函数有极值的充要条件为（） A、B、C、D、 优秀学习资料欢迎下载 分析： 当时，且； 当时，令得有解， 因此才有极值，故应选C。 3、设，分别是定义在 R 上的奇导数和偶导数， 当 时，且，则不等式的解集 是（） A、 （-3，0）（3，+）B、 （-3，0）（ 0，3） C、 （- ，-3）（3，+）D、 （- ，-3）（0，3） 分析：为便于描述， 设，则为奇导数，当 时，且 根据奇函数图象

20、的对称性知，的解集为（ - ，-3） （0，3） ，应选 D。 二、填空题 1 过原点作曲线的切线，则切点坐标为，切 线的斜率为。 分析：设切点为M，则以M 为切点的切线方程为 由曲线过原点得， 切点为，切线斜率为。 点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题 思路反而简明得多。 优秀学习资料欢迎下载 2 曲线在点处的切线与 x 轴， 直线所围成 的三角形面积为，则=。 分析： 曲线在点处的切线方程为 即 切线与 x 轴交点， 又直线与切线交点纵坐标为， 上述三角形面积， 由此解得即 3 曲 线与在 交 点 处 的 切 线 夹 角 是 （以弧度数作答） 分析：设两切线的夹角为，将

21、两曲线方程联立，解得交点坐 标为 又， 即两曲线在点处的切线斜率分别为 -2，3 ， ，应填。 （三）解答题 优秀学习资料欢迎下载 1 已知，讨论导数的极值点的个数。 解析：先将求导，即。 当时，有两根，于是有两极值点。 当时，为增函数，没极值点。 本题考查导数的应用以及二次方程根、“” 等知识。 解答： 令，得 1、当 即或时，方程有两个不同的实根、， 不防设， 于是，从而有下表： + 0 0 + 为极大值为极小值 即此时有两个极值点； 2、当即时，方程有两个相 同的实根， 于是，故当时，；当时， ，因此无极值； 3、当即时， 优秀学习资料欢迎下载 而， 故为增函数。此时无极值； 当时，有两

22、个极值点； 当时，无 极值点。 2 已知函数的图象在点处的切线方程为 。 （）求函数的解析式； （）求函数的单调区间。 解析： （1）由在切线上，求得，再由在 函数图象上和得两个关于的方程。 （2）令，求出极值点，求增区间，求 减区间。 此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。 解答 （）由函数的图象在点处的切线方程为 知： ，即， 优秀学习资料欢迎下载 即 解得 所以所求函数解析式 （） 令解得 当或时， 当时， 所 以在内 是 减 函 数 ， 在 内是增函数。 3 已知是函数的一个极值点，其 中 （）求与的关系表达式； （）求的单调区间； （）当时，函数的图象上任意一点的切线

23、斜率 恒大于 3m，求的取值范围。 解析： （1）本小题主要考查了导数的概念和计算，应用导数研究 函数单调性的基本方法以及函数与方程的思想，第 2 小题要根据 优秀学习资料欢迎下载 的符号，分类讨论的单调区间；第3 小题是二次三项式在一个 区间上恒成立的问题， 用区间端点处函数值的符号来表示二次三项式 在一个区间上的符号，体现出将一般性问题特殊化的数学思想。 解答： （），是函数的一个极值 点 ； （） 令，得 与的变化如下表： 1 0 + 0 单调递减极小值单调递增极大值单调递减 因此，的单调递减区间是和；的单调 递增区间是； （）由（） 优秀学习资料欢迎下载 即 令， 且， 即 m 的取值

24、范围是。 4 已知函数。 （）求的单调区间和值域； （）设，函数，若对于任意 ，总存在，使得成立，求的取值范围。 解析：本题考查导数的综合运用， 考查综合运用数学知识解决问 题能力，考查思维及推理能力以及运算能力，本题入手点容易， （）中对分式函数定区间内单调性与值域问题，往往以导数为 工具， （）是三次函数问题， 因而导数法也是首选， 若成 立，则二次函数值域必满足关系，从而达到求解目的。 解： （）由得或。 （舍去） 则，变化情况表为： 优秀学习资料欢迎下载 0 1 0 + 因而当时为减函数；当时为增函数； 当时，的值域为； （） 因此，当时 因 此 当时为 减 函 数 ， 从 而 当时

25、有 又，即当时有 任给，存在使得 则 由（1）得或，由（2）得 又 故的取值范围为。 5 已知，函数 （1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论； （2）设在上是单调函数，求的取值范围。 优秀学习资料欢迎下载 解析：本题考查导数的概念和计算， 应用导数研究函数性质的方 法及推理和运算能力， 本题（）常规题型，方法求，解 的根，列表，确定单调性，并判断极值点，对（）由（）在 上单调， 而， 因此只要即 满足题设条件，从中解出的范围。 解答： （） 令则 从而 ，其中 当变化时, ，的变化情况如下表 + 0 0 + 极大值极小值 在处取得极大值，处取得极小值 当时，且在为减函数，在 为增函数 而当

26、时，当时 当时取最小值； （）当时在上为单调函数的充要条件是 优秀学习资料欢迎下载 ，解得 综上，在上为单调函数的充要条件为, 即的取值范围为）。 6.已知，函数 （）当时，求使成立的成立的的集合； （）求函数在区间上的最小值。 答案： （） 0，1， （） 解答： （）由题意，, 当时,解得或， 当时，解得 综上，所求解集为 0,1,1+ ()设此最小值为 m 当时，在区间 1，2上， 因为） ， 则是区间 1，2上的增函数，所以 优秀学习资料欢迎下载 时，在区间 1，2 ， 由知； 当时，在区间 1，2上， 如果在区间（ 1，2）内， 从而在区间 1，2上为增函数，由此得； 如果则。 当时

27、，从而为区间 1，上的增 函数； 当时，从而为区间，2上的 减函数 因此，当时，或。 当时，故 当时. 综上所述 ,所求函数的最小值 7、 优秀学习资料欢迎下载 ()设函数求的最小 值; ( ) 设 正 数满 足， 证 明 。 解析：本题考查数学归纳法及导数应用等知识，考查综合运用数 学知识解决问题的能力。（）已知函数为超越函数， 若求其最小值， 则采用导数法，求出，解得，再判 断与时的符号，确定为极小值点， 也是函数的 最小值，对（）直接利用数学归纳法证明，但由到过 渡是难点。 解答： （）函数 f（x）的定义域为（ 0，1） 令 当时，f(x)0,f(x)在区间是增函数。 f（x）在时取得

28、最小值且最小值为 ()用数学归纳法证明 优秀学习资料欢迎下载 （i）当 n=1 时，由（）知命题成立； (ii)假定当 n=k 时命题成立，即若正数 满足,则 当 n=k+1 时，若正数满足 令, 则为正数，且 由归纳假定知 同理，由,可得 (1 x)( k)+(1 x)log2(1 x). 综合、两式 x+(1 x)(k)+xlog2x+(1x)log2(1x) (k+1). 即当 n=k+1 时命题也成立。 根据（ i） 、(ii)可知对一切正整数n 命题成立。 8 函数在区间内可导，导函数是减函数， 且 ，设，是曲线在点处的 切线方程，并设函数 （）用、表示 m； 优秀学习资料欢迎下载

29、（）证明：当时, （）若关于 x 的不等式在上恒成立， 其中 a、b为实数，求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系。 解答： （I ）在 点处 的 切 线 方 程 为 即 因而； ()证明：令，则 因为递减，所以递增,因此，当时，； 当时， 所以是唯一的极值点，且是极小值点，可知的最小 值为 0 因此0 即； （） 解法一：是不等式成立的必要条件，以下设此条件 成立。 ，即对任意成立的充要 条件是， 另一方面，由于满足前述题设中关于的条件， 利用()的结果可知，的充要条件是： 过点与曲 优秀学习资料欢迎下载 线相切的直线的斜率不大于， 该切线的方程为：， 于是的充要条件是 综上，不等式

30、对任意成立的充要条 件是 显然，存在使式成立的充要条件是：不等式 有解，解不等式得 因此，式即为的取值范围，式即为实数与所满足的 关系。 （） 解法二：是不等式成立的必要条件，以下讨论设此 条件成立。 ， 即对任意成立的充要条 件是 令，于是对任意成立的充 要条件是。 由得 当时，；当时，所以，当 优秀学习资料欢迎下载 时， 取最小值。因此成立的充要条件是，即 综上，不等式对任意成立的充要条件 是 显然，存在 a、 b 使式成立的充要条件是： 不等式 有解，解不等式得 因此，式即为b 的取值范围，式即为实数a 与 b 所满足的 关系。 点评：本题考查导数概念的几何意义，函数极值、最值的判定以

31、及灵活运用数形结合的思想判断函数之间的关系，考查考生的学习能 力，抽象思维能力， 以及综合运用数学基本关系解决问题的能力。对 （） ，曲线在点处切线斜率为，切线方 程为， 即，因而；对（） 即证明在时恒成立，构造函数 则 ，则 优秀学习资料欢迎下载 由递减递增，则当时， 当时， 则是的极值点，且为极小值点， 所以极小值为 ，即恒成立， 因而；对（）有两种思考方法，是该题难点，其求 解过程比较详细。 9设点和抛物线其中 由以下方法得到：，点在抛物线 上，点到的距离是到上点的最短 距离， ，点在抛物线上，点 到的距离是到上点的最短距离。 （）求及的方程； （）证明是等差数列。 解答： （）由题意得

32、 设点是上任一点 则 令 则 由题意得： 即 优秀学习资料欢迎下载 又在上， 解得 故方程为： （）设点是上任意一点。 则 令 由题意得 即 又点在上 即 下面用数学归纳法证明： 当 n=1 时，等式成立。 假设 n=k 时，等号成立，即 则当 n=k+1 时，由（ *）知： 又 即当 n=k+1 时，等式成立 优秀学习资料欢迎下载 由知，等式成立 是等差数列 点评： （）设为上任一点 ，换句话说：在点处取得最小值。 令 此为关键 （）方法同（）推导出：然后用数 学归纳法证明。 10. 已知函数 （）求函数的反函数及的导数； （）假设对任意， 不等式成立，求实数 m 的取值范围。 解答： （）解：由，得， 所以 （） 解法 1 由，得 优秀学习资料欢迎下载 即 对 于恒 有 设，于是不等式化为 当，、时， ， ， 所以都是增函数。 因此当时，的最大值为的最小值为 而不等式成立当且仅当，即， 于是得 解法 2：由，得 ， 设， 于是原不等式对于恒成立等价于 优秀学习资料欢迎下载 由， 注意到，故有， 从而可知与均在上单调递增， 因 此 不 等 式 成 立 当 且 仅 当， 即