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1、优秀学习资料欢迎下载 绝对值不等式 绝对值不等式| |abab，| |abab 基本的绝对值不等式：|a|-|b|a b| |a|+|b| y=|x-3|+|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 所以函数的最小值是5，没有最大值 |y|=|x-3|-|x+2|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5 由|y| 5 得-5y5 即函数的最小值是-5 ，最大值是5 也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示 x 到 3，-2 这 两点的距离之和，显然当 -2 x3 时，距离之和最小， 最小 值是 5；而 |x-3|-|x+2|表示 x 到 3
2、，-2 这两点的距离之差， 当 x-2 时，取最小值 -5 ，当 x3 时，取最大值5 变题 1解下列不等式： (1)|x+1|2 x；(2)| 2 x2x 6|g(x) f(x)g(x)或 f(x)2x或x+1 1 2 或无解，所以原不等式的解集是x|x 1 2 (2) 原不等式等价于3xx2-3x-4 ； （2） 2 3 4 x x 1 解： （1）分析一可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于： x-x 2-2x2-3x-4 或 x-x 2-2-3 故原不等式解集为xx-3 分析二 x-x 2-2 x2-x+2 优秀学习资料欢迎下载 而 x 2-x+2 (x- 1 4 ) 2+ 7 4
3、0 所以 x-x 2-2 中的绝对值符号可直接去掉 . 故原不等式等价于x 2-x+2x2-3x-4 解得： x-3 原不等式解集为x-3 （2）分析不等式可转化为-1 2 3 4 x x 1 求解，但过 程较繁，由于不等式 2 3 4 x x 1 两边均为正，所以可平方后 求解 . 原不等式等价于 2 2 3 4 x x 1 9x 2(x2-4)2 (x 2) x 4-17x2+160 x 21 或 x216 -1 x1 或 x4 或 x-4 注意：在解绝对值不等式时，若f(x)中的f(x) 的值 的范围可确定 ( 包括恒正或恒非负，恒负或恒非正) ，就可直 接去掉绝对值符号，从而简化解题过
4、程. 第 2 变含两个绝对值的不等式 变题 2解不等式（1）|x1|5. 思路（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用 f(x) g(x) f 2(x) g2(x) 两边平方去掉绝对值符号。 （2）题可采用零点分段法去绝对值求解。 解题（1）由于 |x1| 0，|x+a| 0，所以两边平 方后有： 优秀学习资料欢迎下载 |x1| 2 1 2 a 当 2a+20 即a1 时， 不等式的解为x 1 2 (1 a) ； 当 2a+2=0 即a=1 时，不等式无解； 当 2a+25. 解：当x-3时，原不等式化为 (2-x)-(x+3)5-2x6x555 无解 . 当 x2 时，原不等式为(x-2)+
5、(x+3)52x4x2. 综合得：原不等式解集为xx2 或 x0 且a1) 解 析 ： 易 知 12 当-32 故填 ),2() 7 2 ,( 。 3求不等式 13 3 1 loglog1 3 x x 的解集 . 解：因为对数必须有意义，即解不等式组 0 1 0 3 x x ，解得03x 又原不等式可化为33 loglog31xx (1)当01x时，不等式化为 33 loglog31xx 即 33 log3log 3xx 33xx 3 4 x 综 合 前 提 得 ： 3 0 4 x 。 (2) 当 10时 ， 进 一 步 化 为 46 x kk ， 依 题 意 有 优秀学习资料欢迎下载 4 4
6、3 3 6 32 k k k k ，此时无解。 当k=0 时，显然不满足题意。 当k0 时，先求不等式|x4|+|3 x|1 当 31 当x3 时，原不等式化为4x+3x1 综合可知，当a1 时，原不等式有解，从而当 01 时， |x 4|+|3 x|x4|+|3 x| |x4+3x|=1 当a1 时， |x4|+|3 x|k恒成立， 求k的取值范围。 思维点拨： 要使 |x+1| |x2|k对任意实数x恒成 立，只要 |x+1| |x2| 的最小值大于k。因|x+1| 的几 何意义为数轴上点x到 1 的距离， |x2| 的几何意义为 数轴上点x到 2 的距离， |x+1| |x2| 的几何意
7、义为数 轴上点x到 1 与 2 的距离的差，其最小值可求。 此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分 段函数，通过画出图象，观察k的取值范围。 解法一根据绝对值的几何意义，设数x，1,2 在数轴 上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA| |PB|k 成立 |AB|=3 ，即 |x+1| |x2| 3 故当kk 恒成立， 从图象中可以看出，只 要ka恒成立， 求实数 a 的取值范围。 分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小 值， a 应比最小值小。 解： 由绝对值不等式：|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3， 当且仅当 (x+1)(x-2)0,
8、 即 21x时取等号。故a0, 不等式 |x-4|+|x-3|1 优秀学习资料欢迎下载 （二）如图，实数x、3、4 在数轴上的对应点分别为P、 A、B则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| | PA|+|PB|1 恒有 y 1 数按题意只须a1 A B P 0 3 4 x （四）考虑 |z-4|+|z-3|1. 变题： 1、若不等式 |x-4|+|x-3|a对于一切实数x 恒成立， 求 a 的取值范围 2、若不等式 |x-4|-|x-3|a在 R上恒成立， 求 a 的取值 范围 第 5 变绝对值三角不等式问题 优秀学习资料欢迎下载 变题5已知函数 2 ( )( , ,)f xa
9、xbxc a b cR ，当 1,1x 时|( ) | 1f x，求证： (1)| 1b； (2)若 2 ( )( , ,)g xbxaxc a b cR，则当 1,1x时， 求证：|( ) |2g x。 思路本题中所给条件并不足以确定参数ba,，c的值，但 应该注意到：所要求的结论不是( )bg x或的确定值，而是与 条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用1f、 (0)f、1f来 表 示ba,c。 因 为 由 已 知 条 件 得 |( 1)| 1f，|(0) | 1f，|(1)| 1f。 解题证明：(1)由 1 1,111 2 fabc fabcbff ，从而有 11 |(1)( 1)(
10、|(1)|( 1)|), |(1)| 1,|( 1)| 1, 22 1 |(|(1)|( 1)|)1. 2 bffffff bff (2)由 1 1,111 , 2 fabc fabcbffa 从而 1 11 (0) 2 afff 将以上三式代入 优秀学习资料欢迎下载 2 ( )( , ,)g xbxaxc a b cR ，并整理得 2 2 2 22 11 |( ) | |(0)(1)(1)(1)( 1)(1) | 22 11 |(0)(1)|(1)(1)|( 1)(1) | 22 11 |(0) |1|(1)|1|( 1)|1| 22 1111 |1|1|1| 1(1)(1)2 2222 2
11、 g xfxfxfx fxfxfx fxfxfx xxxxxxx 请你试试45 1已知函数f(x)= 2 1x，a,bR，且ba，求证 |f(a)-f(b)|” “=”合成的，故不等式 0)()(xgxf可 转 化 为0)()(xgxf或 0)()(xgxf。 解得：原不等式的解集为13|xxx或 2、 0 32 23 2 2 xx xx . 解： 优秀学习资料欢迎下载 0 32 23 2 2 xx xx 032 0)32)(23( 2 22 xx xxxx 0)1)(3( 0)1)(3)(2)(1( xx xxxx ，用根轴法（零点分 段法）画图如下： 原不等式的解集为3211|xxx或。
12、3、)0( , 11 2 aaxx 解：原式等价于axx11 2 11, 11 2 axx，即0ax注：此 为关键 0,0xa 原 不 等 式 等 价 于 不 等 式 组 0 )1(1 22 x axx 解得： + 优秀学习资料欢迎下载 0|1 1 2 0|10 2 xxa a a xxa 时，原不等式解集为当 时，原不等式解集为当 4、0)2)(2(axx 解：当0a时，原不等式化为02x，得2x； 当0a时 ， 原 不 等 式 化 为 0) 2 )(2( a xx ， 得 2 2 x a ； 当10a时，原不等式化为 0) 2 )(2( a xx ，得 a xx 2 2或 ； 当1a时 ，
13、 原 不 等 式 化 为 0)2( 2 x ， 得 2x； 当1a时，原不等式化为 0) 2 )(2( a xx ，得 2 2 x a x或 优秀学习资料欢迎下载 综合上面各式，得原不等式的解集为： 5、 关 于x的 不 等 式0bax的 解 集 为, 1， 求 0 2x bax 的解集。 解：由题意得：0a，且ba 则不等式 0 2x bax 与不等式组 02 0)2)( x xbax 同解 得所求解集为21|xxx或 6、已知0a且1a，关于x的不等式1 x a的解集 是 0x x ， 解关于x的不等式 1 log ()0 a x x 的解集。 解 ：关 于x的 不 等 式1 x a的 解
14、 集 是 0x x ， 1a， 优秀学习资料欢迎下载 1 0 1 1 115 log ()01 2 x x a x x xx x 或 15 1 2 x 原不等式的解集是 1515 (1,)(1,) 22 。 三、证明题 2、设0ab,n为偶数 , 证明 11nn nn ba ab 11 ab 证： 11nn nn ba ab 11 11()() () nnnn n abab abab . 当0,0ab时, ()0 n ab ,( nn ab 11 )() nn ab 0 , 11 ()() () nnnn n abab ab 0 ,故 11nn nn ba ab 11 ab ; 当,a b有
15、一 个 负 值 时 , 不 妨 设0,0ab, 且 优秀学习资料欢迎下载 0ab, 即|ab . n为 偶 数 时 , ( nn ab 11 )() nn ab 0 , 且 ()0 n ab 11 ()() () nnnn n abab ab 0 ,故 11nn nn ba ab 11 ab . 综合可知 , 原不等式成立 注：必须要考虑到已知条件0ab，分类讨论， 否则不能直接得出( nn ab 11 )() nn ab 0 3、求证： 22 16(4)36aa2 29 证：设向量( ,4),(4,6)paqa ,由 | |pqpq, 得 22 16(4)36aa|pq|pq |( ,4)(
16、4,6) | |(4,10) |161002 29aa 优秀学习资料欢迎下载 注 意 ： 当pq时 ， 即8a，)48(，p， )6,12(q，p、q方向相同，取等号。 当 利 用 公 式|qpqp证 明 时 ， 会 得 ： 22 16(4)36aa|pq | |( ,4)(4,6) | |(4, 2) |1642 5pqaa 的错误结论，因为这里取等号 的条件是pq，且 p 、q方向相反，根据题设条件， pq时，方向相同，故取不到等号， 计算的结果也使不等式范围缩小了。 4、求证： nn 1 2 1 3 1 2 1 1 222（ 2n） 证一： nnnnn 1 1 1 ) 1( 11 2（2
17、n） nnnn 1 2 1 1 1 ) 3 1 2 1 () 2 1 1 1 (1 1 3 1 2 1 1 222 原不等式成立，证毕。 优秀学习资料欢迎下载 证二：当2n时，原不等式为： 2 1 2 2 1 1 2，显然成立； 假 设 当n取k-1时 ， 原 不 等 式 成 立 ， 即 1 1 2 ) 1( 1 3 1 2 1 1 222 kk 成立，则 2 2 22222 )1( 1 2 1 1 1 2 1 )1( 1 3 1 2 1 1 kk kk kkkk kkkkkkkk kk1 2 )1( 11 2 )1( 1 )1( )1( 2 222，即n取 k时原不等式也成立。 综上，对于任
18、意n（2n）原不等式成立，证毕。 注意：此类证明方法称为数学归纳法 5、设 2 13fxxx，实数a满足1xa，求证： 21fxf aa 证： |)(|1313|)()(| 2222 axaxaaxxafxf 优秀学习资料欢迎下载 =|12)( |1|) 1)( |aaxaxaxax 当0ax， ) 1|(|2|2|12)( | )()(|aaaaxafxf 当0ax， ) 1|(|2|12|12)( |)()(|aaaaxafxf 当0ax， ) 1|(|2|)|1(2|12)( |)()(|aaxaaaxafxf 综合式情况，原不等式成立。证毕 注：式的最后一步省略了对0,0, 0aaa的
19、详细分 析，正式解题时不能省。分析过程用 ba,同号 |;|babababa ba,异号 |babababa 6、 已知：xyyxyxyxyx 22 ,0, 0且，求证： 3 4 1yx 证：由已知得：xyyxyx 2 )(，即 )()( 2 yxyxxy yx，及基本不等式 2 2 yx xy ，代入式得： 优秀学习资料欢迎下载 )()( 2 2 2 yxyx yx 解得 3 4 yx ； 0,0, 0xyyx，由式得 0)()( 2 yxyx，1yx 综上得： 3 4 1yx 。 证毕。 7、已知 1,0,abccba ,证明： ) 111 ( 2 1 )( 1 )( 1 )( 1 333
20、 cbabacacbcba 证： cb acba bc cba abc cba 11 11 )()()( 1 2233 ， , 111 4 1 11 1111 4 1 )( 1 23 acb cb acbcba ， （0,cba）同理得： bcaacb 1 ) 11 ( 4 1 )( 1 3 ， 优秀学习资料欢迎下载 cbabac 1 ) 11 ( 4 1 )( 1 3 式两边相加，得 cbacbabacacbcba 111 ) 111 ( 2 1 )( 1 )( 1 )( 1 333 ) 111 ( 2 1 )( 1 )( 1 )( 1 333 cbabacacbcba 所以原不等式成立，证毕。 注： “ 4 1 ”的来由： 不等式a k cb k cb a 2 11 11 11 2 当且仅当cba时取等号，得 1 4 k 。