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1、2 3 公式法 课时安排 1课时 从容说课 公式法是解一元二次方程的通法，是配方法的延续， 即它实际上是配方法的一般化和程 式化利用它可以更为简捷地解一元二次方程 本节课的重、难点是利用求根公式来解一元二次方程 公式法的意义在于：对于任意的一元二次方程，只要将方程化为一般形式，然后确定a、 b、c 的值，在b 2-4ac 0 的前提条件下，将 a、b、c 的值代入求根公式即可求出解 因为掌握求根公式的关键是掌握公式的推导过程，而掌握推导过程的关键又是掌握配方 法，所以在教学中， 首先引导学生自主探索一元二次方程的求根公式，然后在师生共同的讨 论中，得到求根公式，并利用公式解一些简单的数字系数的
2、一元二次方程 第六课时 课题 2.3 公式法 教学目标 (一) 教学知识点 1一元二次方程的求根公式的推导 2会用求根公式解一元二次方程 (二) 能力训练要求 1通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力 2会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程 (三) 情感与价值观要求 1通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习 惯 教学重点 一元二次方程的求根公式 教学难点 求根公式的条件：b 2-4ac 0 教学方法 讲练相结合 教具准备 投影片五张 第一张：复习练习( 记作投影片 23 A) 第二张：试一试( 记作投影片23B) 第三张：小亮的推导过程(
3、记作投影片23 C) 第四张：求根公式( 记作投影片 23 D) 第五张：例题(记作投影片23 E) 教学过程 巧设现实情景，引入课题 师 我们利用三节课的时间学习了一元二次方程的解法下面来做一练习以巩固其解 法 ( 出示投影片23 A) 1用配方法解方程2x 2-7x+3 0 生甲 解： 2x 2-7x+3 0， 两边都除以2，得 x 2 2 7 -x+ 2 3 0 移项，得； x2- 2 7 x=- 2 3 配方，得 x 2- 2 7 x+(- 4 7 ) 2- 2 3 +(- 4 7 ) 2 两边分别开平方，得 x- 4 7 4 5 即 x- 4 7 = 4 5 或 x- 4 7 =-
4、4 5 x1=3，x2= 2 1 师 同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习( 出示投影片23 B) 试一试，肯定行： 1用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2+ax1；(2)x2+2bx+4ac0 生乙 (1) 解 x 2+ax1， 配方得 x 2+ax+( 2 a ) 21+( 2 a ) 2， (x+ 2 a ) 2= 4 4 2 a 两边都开平方，得 x+ 2 a 2 4 2 a ， 即 x+ 2 a 2 4 2 a ， x+ 2 a =- 2 4 2 a . x1= 2 4 2 aa ， x2 2 4 2 aa 生丙 (2) 解 x 2-2bx+4ac 0， 移项，得
5、 x 2+2bx-4ac 配方，得 x 2-2bx+b2-4ac+b2， (x+b) 2=b2-4ac 两边同时开平方，得 x+b acb4 2 ， 即 x+b acb4 2 ，x+b -acb4 2 x1=-b+ acb4 2 ，x2-b-acb4 2 生丁 老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到(x+b) 2b2-4ac 根据平方根 的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在b 2-4ac 0 时，才可以用开平方法解出 x 来所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac 0 师 噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗? 生齐声 戊同学说得正确因为负数没 有平方根，所以，解方程x
6、 2+2bx+4ac0 时，必须有条件：b 2-4ac 0，才有丁同学求 出的解否则，这个方程就没有实数解 师 同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax1 时用不用加条件呢 ? 生齐声 不用 师 那为什么呢 ? 生齐声 因为把方程x 2+ax1 配方变形为 (x+ 2 a ) 2= 4 4 2 a ，右边 4 4 2 a 就是一个正 数，所以就不必加条件了 师 好，从以上解题过程中，我们发现： 利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同 的因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程ax 2+bx+c0(a 0) ，得到根的一般表达 式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多 这节课我们就来探讨一
7、元二次方程的求根公式 讲授新课 师 刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步 骤解方程ax 2+bx+c0(a 0) 呢? 大家可参照解方程2x 2-7x+3 0 的步骤进行 生甲 因为方程的二次项系数不为1，所以首先应把方程的二次项系数变为1，即方程 两边都除以二次项系数a，得 x 2+ a c x a b =0 生乙 因为这里的二次项系数不为0，所以，方程ax 2+bx+c0(a 0) 的两边都除以 a 时，需要说明a0 师 对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为0，所以 无需特殊说明，而方程ax 2+bx+c 0(a 0) 的两边
8、都除以 a 时，必须说明a0 好，接下来该如何呢? 生丙 移项，得x 2+ a c x a b 配方，得 x 2+ 22 ) 2 () 2 ( a b a c a b x a b , (x+ 2 2 2 4 4 ) 2a acb a b . 师 这时，可以直接开平方求解吗? 生丁 不，还需要讨论 因为 a0，所以 4a 20当 b2-4ac 0 时，就可以开平方 师 对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数，即要求 2 2 4 4 a acb 0因为 4a 20 恒成立，所以只需b 2-4ac 是非负数即可 因此，方程 (x+ a b 2 ) 2 2 2 4 4 a acb 的两边同时开方，
9、得x+ a b 2 = 2 2 4 4 a acb . 大家来想一想，讨论讨论： 2 2 4 4 a acb = a acb 2 4 2 吗 ? 师 当 b 2-4ac 0时， x+ a b 2 = 2 2 4 4 a acb = |2 4 2 a acb 因为式子前面有双重符号“”，所以无论a0 还是a0， x= 4 179 22 179 目 x1= 4 179 ，x2 4 179 (2)这里 a 9，b6，c 1 b 2-4ac 62-4 910， x= ,3 1 92 06 即 x1x2=- 3 1 , 2一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长 解：设中间的数为x，
10、则另外两数为 x-2，x+2根据题意，得 (x+2) 2(x-2)2+x2 整理，得 x 2-8x=0 解这个方程，得 x 1 0，x28 因为直角三角形的边长为正数，所以x10 应舍去因此，这个直角三角形的三条边长 分别为 6，8，10 (二) 看课本 P56P57，然后小结 课时小结 这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法公式法 (1)求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用对于a0，b 2-4ac 0。以及由a 0，知 4a 20 等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理 (2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a、b、c 的数 值以及计算b
11、 2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程 课后作业 (一) 课本 P58习题 26 1 、 2 (二)1预习内容；P59P61 2预习提纲 (1)如何利用因式分解法解一元二次方程 活动与探究 1阅读材料，解答问题： 阅读材料： 为解方程 (x 2-1)2-5(x2-1)+4 0，我们可以将 (x 2-1) 视为一个整体，然后设 x 2-1 y，则 (x 2 -1) 2y2，原方程化为 y 2-5y+4=0 解得 y1=4，y21 当 y14 时， x 2-1 4， x 25， x= 5 当 y1 时， x 2-1 1， x 22， x= 2 原方程的解为x12，x2-2， x
12、 3=5，x4=-5. 解答问题： (1)填空： 在由原方程得到方程的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数 学思想 (2)解方程 x 4-x2-6 0 过程 通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解 决问题的能力 结果 解： (1) 换元转化 (2)设 x 2y，则 x4 =y 2， 原方程可以化为y 2-y-6 0 解得 y1=3，y2-2 当 y1=3 时， x 23， x 3 当 y2-2 时， x 2=-2，此方程无实根 原方程的解为x13，x2-3 板书设计 2 3 公式法 一、解： 2x 2-7x+3 0， 两边都除以2，得 x 2- 2 3 2 7 x=0 移项，得 x 2- 2 3 2 7 x. 配方，得 x 2- ,) 4 7 ( 2 3 ) 4 7 ( 2 722 x (x- 16 25 ) 4 72 x. 两边分别开平方，得 x- 4 5 4 7 , 即 x- 4 5 4 7 或 x- 4 5 4 7 . x1=3， x2= 2 1 二、求根公式的推导 三、课堂练习 四、课时小结 五、课后作业