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1、(时间： 120 分钟，满分：150 分) 一、选择题 (本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1(2014 高考课标全国卷) 1i 3 1i 2() A1iB1 i C 1i D 1i 解析： 选 D. 1i 3 1i 2 2i 1i 2i 1i. 2如图，在复平面内，OP 对应的复数是1i，将 OP 向左平移一个单位后得到O0P0 ，则P0 对应的复数为() A1i B1 2i C 1i D i 解析： 选 D.要求 P0对应的复数，根据题意，只需知道OP0 ，而 OP0 OO0 O0P0 ，从而可求 P0对应的复数 O0P0
2、 OP ，OO0 对应的复数是1， P0对应的复数， 即OP0 对应的复数是1(1i) i. 3已知某车间加工零件的个数x 与所花费时间y(h)之间的回归直线方程为y 0.01x0.5，则 加工 600 个零件大约需要() A6.5 h B5.5 h C3.5 h D0.5 h 解析： 选 A.y 0.016000.56.5.故选 A. 4由数列 1,10,100,1 000，猜测该数列的第n 项可能是 () A10 n B10 n1 C10 n1 D11 n 解析： 选 B.由 1,10,100,1 000， 得 an10 n1，则第 n 项为 10n1. 5下列函数中， 对于函数yf(x)
3、定义域内的任意x，y，都有 f(xy)f(x)f 2 y f 2x f(y) 成立的是 () Af(x)sin xBf(x) cos x Cf(x)tan xDf(x) axb(a0) 解析： 选 A.由两角和的正弦公式可知A 正确； 对于 B 中的函数f(x)cos x， 当 xy 4时， f(xy)cos 20， 而 f(x)f 2 y f 2x f(y) cos 4cos 4cos 4cos 41， 即等式不成立； 同理可以举出反例说明C，D 选项错误 6(2014 四川高考卷 )执行如图的程序框图，如果输入的x，yR，那么输出的S的最大值为 () A0 B1 C2 D3 解析： 选 C
4、.当 x0， y0， x y1 时， 由线性规划的图解法知， 目标函数S 2xy 的最大值为2， 否则， S的值为 1. 所以输出的S的最大值为2. 7若 ，是两个不同的平面，下列四个条件：存在一条直线a，a ，a ；存在一 个平面 ， ， ；存在两条平行直线a，b，a? ，b? ，a ，b ；存在两条异 面直线 a，b，a? ，b? ，a ，b .其中是 的充分条件的有() A4 个B3 个 C2 个D1 个 解析： 选 C.是； ，也有可能相交，所以不是； ，也有可能相交，所以不是； 根据异面直线的性质可知是， 所以是 的充分条件的有2 个 8给出下面类比推理： “若 2a0，则 ab”类
5、比推出“a， bC，若 ab0，则 ab” 其中结论正确的个数为() A1 B2 C3 D4 解析： 选 B.显然是错误的； 因为复数不能比较大小， 所以也是错误的，正确，故选B. 9若列联表如下： 色盲不色盲总计 男152035 女12820 总计272855 则 K2的观测值k 约为 () A1.49 7 B1.64 C1.59 7 D1.71 解析： 选 A.由题意利用独立性检验的公式得 k 55 1581220 2 35202728 1.49 7. 10已知在整数集Z 中，被5 除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为k，即 k 5nk|n Z，k 0,1,2,3,4.给出如下四
6、个结论： 2 014? 3； 22 ； Z0 12 3 4； 整数 a，b 属于同一“类”的充要条件是“ab0” 其中，正确结论的个数为() A1 B2 C3 D4 解析： 选 C.因为 2 01440254，所以 2 014? 3，正确2 153， 23， 所以不正确因为整数集中的数被5 除的余数可以且只可以分成五类，所以正确整 数 a，b 属于同一 “类”，因为整数a，b 被 5 除的余数相同，从而ab 被 5 除的余数为0， 反之也成立，故整数a， b 属于同一 “类” 的充要条件是 “ab0 ”，故正确所以正 确的结论有3 个 二、填空题 (本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分
7、把答案填在题中横线上) 11(2014 高考上海卷 )复数 z12i，其中 i 是虚数单位，则(z 1 z ) z _. 解析： z12i， z 12i， (z 1 z ) z 1 2i 1 12i (12i) (12i)(1 2i) 12i 12i 14i 21 24 6. 答案： 6 12(2014 高考课标全国卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A， B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为_ 解析： 由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和 C 城市，乙去过A 城市或 C 城市，结合乙的
8、回 答可得乙去过A 城市 答案： A 13(2014 杭州高二检测 )无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，的首项是1，随后两项都是2，接 下来 3项都是 3，再接下来4 项都是 4，以此类推，记该数列为an，若 an1 20，an 21，则 n_. 解析： 将 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，分组成 1 ，2,2 ，3,3,3 ，4,4,4,4 ，5， ， . 第 1 组有 1 个数，第 2 组有 2 个数，以此类推 显然 an120 在第 20 组，an21 在第 21 组 易知，前20 组共 120 2 20210 个数，所以， n211. 答案： 211 14
9、(2014 盐城测试 )某单位为了了解用电量y 度与气温x之间的关系，随机统计了某4 天 的用电量与当天气温，并制了对照表： 气温 ()1813101 用电量 (度)24343864 由表中数据得回归直线方程y bxa中b 2，预测当气温为4 时，用电量的度数约为 _ 解析：x 10， y 40， 回归方程过样本中心点( x ， y )， 40 210 a ， a 60. y 2x60. 令 x 4， y (2) (4)6068. 答案： 68 15观察如图所示的散点图，下列说法中正确的为_(填序号 ) x，y 是负相关关系； 在该相关关系中，若用y c1ec2x 拟合时的相关指数为 R 2
10、1，用 ybxa 拟合时的相关指数 为 R2 2，则 R 2 1R 2 2； x、y 之间不能建立线性回归方程 解析： 显然正确；由散点图知，用yc1e c 2 x 拟合的效果比用y bxa 拟合的效果要好，则 正确； x，y 之间能建立线性回归方程，只不过预报精度不高，故不正确 答案： 三、解答题 (本大题 6 小题，共75 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 16(本小题满分12 分)已知关于复数z 的方程 z 2(ai)z(i 2)0(aR) (1)若此方程有实数解，求a 的值； (2)用反证法证明：对任意的实数a，原方程不可能有纯虚根 解： (1)设 zx0R， 代入方程
11、得x 2 0(ai)x0(i2)0， 即(x2 0 ax02)(x01)i0， x 2 0ax020， x01 0， 解得 x0 1， a 1， a1. (2)证明： 假设方程有纯虚根zbi(bR 且 b0)， 则有 (bi) 2(a i) bi(i2)0， 整理得 (b2b2)(ab1)i0， b2b 20 ab10 ? b 2b20， ab 10， 方程中 70， b0 且 ab 3， 要证：1a1 b10， 只要证：()1a1b 210， 即证 2ab21a1b 10， 即证 21a 1b 5， 只需证 4(1a)(1 b) 25， 即证 4(1abab)25， 只需证 4ab 9， 即
12、证 ab 9 4， ab ab 2 29 4， 1a1b10， 当且仅当a b时等号成立 18(本小题满分12 分)(2014 临沂高二检测)数学建模过程的流程图如图所示，根据这个流程 图，说明数学建模的过程 解： 数学建模的过程：根据实际情境提出问题，从而建立数学模型得出数学结果，然后检验 是否合乎实际，若合乎实际，则为可用结果，若不合乎实际，则进行修改后重新提出问题 19(本小题满分13 分)在一段时间内，分5 次测得某种商品的价格x(万元 )和需求量y(t)之间 的一组数据为： 12345 价格 x 1.41.61.822.2 需求量 y 1210753 已知 i1 5 xiyi62，
13、i1 5 x 2 i16.6. (1)画出散点图； (2)求出 y 对 x 的线性回归方程； (3)如价格定为1.9 万元，预测需求量大约是多少？ 解： (1)散点图如图所示 (2)因为 x 1 59 1.8， y 1 537 7.4， i1 5 xiyi62， i1 5 x 2 i16.6， 所以 b i1 5 xiyi5 x y i1 5 x 2 i5 x 2 6251.87.4 16.651.8 2 11.5， 所以 a y b x 7.411.51.828.1， 故 y 对 x 的线性回归方程为y 28.1 11.5x. (3)y 28.111.51.96.25(t) 所以价格定为1.
14、9 万元时，需求量大约是6.25t. 20(本小题满分13 分)为了调查40 岁以上的人患胃病是否与生活规律有关，对某地540 名 40 岁以上的人进行了调查，结果如下： 患胃病不患胃病总计 生活无规律60260320 生活有规律20200220 总计80460540 根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.01 的前提下认为40 岁以上的人患胃病与生活 规律有关系？ 解： 根据公式得K 2 的观测值 k 540 2006026020 2 80460 220320 9.6386.635， 因此，在犯错误的概率不超过0.01 的前提下，认为40 岁以上的人患胃病与生活规律有关 21(本小题满分
15、13 分)设an是公差大于零的等差数列，已知a12，a3a 2 210. (1)求 an的通项公式； (2)设 bn是以函数 y4sin 2 x 的最小正周期为首项， 以 3 为公比的等比数列，求数列 anbn 的前 n项和 Sn. 解： (1)设an 的公差为 d(d0)， 则 a12， a12d a1 d 210， 解得 a12 d 2 或 a12， d 4， (舍去 ) 所以 an2(n 1)22n. (2) y4sin 2 x41cos2 x 2 2cos2 x 2， 其最小正周期为 2 2 1， 故bn的首项为 1； 因为公比为3， 从而 bn3n 1， 所以 anbn2n3 n1. 故 Sn (23 0 )(43 1)(2n3n1 ) 22n n 2 13 n 13 n2n 1 2 1 2 3 n.