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1、学习必备欢迎下载 三角函数变换的方法总结 三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运 用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初 等数学中涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟 练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发 展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说 明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过 “切割化弦”，“切割
2、互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数 的种类，这就是变换函数名法它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题 的解决或发现解题途径。 【例1】已知 同时满足和,且 a、b 均 不为 0，求 a、b的关系。 解析 ：已知 显然有： 由 cos2 cos，得： 2acos 22bcos=0 即有： acosb=0 又 a0 所以， cos b/a 将代入得：a（ a/b） 2 b（ b/a） 2a 即 a4b42a2b2 （a 2b2）20 即 a b 点评 ：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本 关系式。 （2）变换角的形式 对于含不同
3、角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改 变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变它应用广泛， 方式灵活，如可变为（ ） ；2可变为（ ）（ ）； 2 可 变为（ ） ；2 可看作 4 的倍角；（ 45 ）可看成（ 90 2）的 半角等等。 【例 2】求 sin（75） cos（45）cos（15）的值。 解析 ：设 15 ，则 原式 sin（ 60） cos （+30）cos （ sincos60 cossin60 ）（ coscos30 sinsin30）cos sin cos cos sincos 0 点评 ：本例选择一个适当的角为“基本量
4、”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本 量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。 【例 3】已知 sin sin（）（其中 cosA），试证明： tan（） 证明 ：已知条件可变为：sin（） sin （） 所以有： sin （） cos cos （） sin sin （） sin （）（ cos） cos （） sin 学习必备欢迎下载 tan（ ） 点评 ：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题 突破的关键。 （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1 的三角公式，将原式中的1 或其他特殊值用式子 代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换
5、为最常见且最灵活。“1” 可以看作是sin 2xcos2x, sec 2xtan2x, csc 2x cot2x，tanxcotx, secxcosx,tan45等， 根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例 4】化简： 解析 ：原式 点评 ：1“”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。 （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情 形。这往往用到倍、半角公式。 【例 5】解三角方程： sin2xsin 22xsin23x 解析： 原方程变形为： （1cos2x）（1cos4x）（1cos6x） 即：1cos6x
6、cos2xcos4x 2cos 23x 2cos3x cosx 得： cos3x sin2x sinx 0 解得：x或x（） 原方程的解集为x| x或x, 点评 ：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是 为了提取公因式。 （5）添补法 与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某 些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一 种特殊情形。 【例 6】 求证： 学习必备欢迎下载 证明 ：左边 右边 原式成立。 点评 ：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性 较强，目的都是为
7、了便于分解因式进行约分化简。 （6）代数方法 三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变 形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等 式等方法。 【例 7】锐角 、 满足条件，则下列结论中正确的是（） A.+ B. + C. + D. + 解析 ：令 sin,则有 整理得：（ab） 2 0 即 a b 即：sin2 cos 2 （，同为锐角） sincos ，故应选D。 点评 ：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分 广泛，往往能收到简捷解题的效果 （7）数形结合 有的三角变换问题蕴含着丰富的几何
8、直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融， 则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结 合的思想。 【例 9】已知：，求的值。 解析 ：点，均在单位圆上。 由已知条件知：AB 的中点坐标为（1/6,1/8），即直线过 定点 C 如下图所示 学习必备欢迎下载 xOC 据万能公式得： 点评 ：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方 法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、 七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中， 不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还
9、沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探 求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。 以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在 一起的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的 变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以 上七个方面外，还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角， 借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。 5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究 非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于 涉及到的三角公式及其变形灵活多
10、样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这 类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。 【题目】求的值。 分析1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子 中有一项是正切函数、一项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使 其化为特殊的三角函数值。 解法 1： 点评 ：通分以后，要将和式转化为积式，需将拆项为，这 是将和式转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值， 这样才有可能使化简得以进行下去。 分析2：运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进 行变换，观察到运算
11、的式子中出现的两角为20， 40，与特殊角比较则会有60 40 20，变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。 学习必备欢迎下载 解法 2： 分析3：我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系，而是将 tan20 0利用半角公式 进行化弦，也能进行求值。 解法 3： 分析 4：从以上路径可以看出，而是一个特殊的三角函数 值，考虑它等于什么呢？，因而考虑可否会有， 这样问题就转化为等式的验证。 解法 4： 学习必备欢迎下载 有 点评 ：本路径采用了综合法，只进行等式的验证，问题 就得以解决。 分析5：利用倍角公式可得到，能否再对角进行适当的变 换，出现特殊角，我们发现40 60一 20，这样变
12、角后利用两角差的正弦公式展开化 简，也能求值。 解法 5： 将等式可写成 两边同除以得 点评 ：本题利用综合法求得了的值，在这里首先进行角的变换，然 后利用两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进行弦化切割，从而得到所要求的值。 以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方 面考虑解决的方法，在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦” 弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。 【典型例题】 例 1. 化简 cos（） cos（ ），其中kZ。 解析： 解法一： 原式 cosk（） cos k（） coskcos（
13、） sink sin（ ） cosk cos（ ） sink sin（ ） 2cosk cos（ ），（ k Z） 当 k 为偶数时，原式2cos（） cossin 当 k 为奇数时，原式2cos（）sincos 总之，原式（1） k（cos sin）， kZ 学习必备欢迎下载 解法二：由（k）（ k ） 2k，知 cos（ k ） cos2k（ k） cos（ k ） cos（k ） 原式 2cos（ k） 2（ 1） kcos（ ）（ 1） k（cos sin），其中kZ 点评： 原式 cos（k ） cos（k ） cosk （ ） cos k （ ）这就启发我们用余弦的和（差）角公式。
14、 例 2. 已知 sin（ ），cos（），求的值。 解析： 解法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式， 解法二：（设未知数）令x 解之得 例 3. 在中，求的值和的面 积。 学习必备欢迎下载 解析： 解法一：解方程组得，故 。 。 解法二：由及得 ，可得 因为，所以，故，即 解方程组得，故。 （以下同解法一） 解法三：因为， 所以。 又， 故， （以下同解法一） 例 4. 解析 ：解法一：此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。 原式 解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题 设 学习必备欢迎下载 则 两式相加得 即 例 5. （第 5届 IMO 试题）证明 解析 ：设 则 或（舍去）