【优质文档】三角函数第一章第一节练习题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 2已知角 =45 ； （1）在区间 720 ，0 内找出所有与角有相同终边的角 ； （2）集合，那么两集合的关系是什 么？ 解答题（共16 小题） 1 （1）设 90 180 ，角 的终边上一点为P（x，） ，且 cos =x，求 sin与 tan的值； （2）已知角的终边上有一点P（x， 1） （x 0） ，且 tan =x，求 sin ，cos 学习必备欢迎下载 3填写下表 4已知 = （1）写出所有与终边相同的角； （2）写出在（4 ，2 ）内与 终边相同的角； （3）若角 与 终边相同，则是第几象限的角？ 学习必备欢迎下载 5 （2006?上海）已知是第一象限的角，且

2、，求的值 6 （2005?黑龙江）已知为第二象限的角，为第一象限的角，求 tan（2 ）的值 学习必备欢迎下载 7 （难）已知sin=，cos=，试确定 的象限 8把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1） 135（2） 学习必备欢迎下载 9已知 AB=2a，在以 AB 为直径的半圆上有一点C，设 AB 中点为 O， AOC=60 （1）在上取一点P，若 BOP=2 ，把 PA+PB+PC 表示成 的函数； （2）设 f（ ）=PA+PB+PC，当 为何值时f（ ）有最大值，最大值是多少？ 学习必备欢迎下载 10 （2008?上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB

3、 ，小区的两个出入口设置在点A 及点 C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路 CD，已知某人从C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟，若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1 米） 11如图所示动点P、Q 从点 A（4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点 Q 按顺时针方向 每秒钟转弧度，求P、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q 点各自走过的弧长 学习必备欢迎下载 12如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60 纬线长和赤道线长的比值 13一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆

4、截面上被水淹没部分的弧含150 （如图），求这个截 面上有水部分的面积（取 =3.14） 学习必备欢迎下载 14已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R （1）若 =60 ，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值c（c0） ，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 学习必备欢迎下载 15已知扇形的周长是8， （1）若圆心角 =2，求弧长l（注） （2）若弧长为6，求扇形的面积S 16 （2011?福建）设函数f（ ）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重 合，终边经过点P（x，y） ，且 0 （I）若点 P的坐标为，求 f（ ）的值； （II）若

5、点 P（x，y）为平面区域 ：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f（ ）的最小 值和最大值 学习必备欢迎下载 参考答案与试题解析 一解答题（共16 小题） 1 （1）设 90 180 ，角 的终边上一点为P（x，） ，且 cos =x，求 sin与 tan的值； （2）已知角的终边上有一点P（x， 1） （x 0） ，且 tan =x，求 sin ，cos 考点 ： 任意角的概念。 专题 ： 计算题。 分析： （ 1）由题意求点P 和原点之间的距离r=，再由余弦函数的定义列出方程，求出x 的值，再根据角 的范围确定x 的值，再根据任意角的三角函数定义求出sin与 tan的值； （ 2

6、）根据正切函数的定义，列出方程求出x 的值，因x 的值有两个故分两种情况，根据任意角的三角函数 定义求出sin ，cos的值 解答： 解： （1）由题意知， r=， cos =， x=，解得 x=0 或 x= 90 180 ， x0，因此 x= 故 r=2，sin =， tan = （ 2） 的终边过点（ x， 1） ， tan =， 又 tan =x， x2=1，解得 x= 1 当 x=1 时， sin =，cos =； 当 x=1 时， sin =，cos = 点评：本题考查了任意角的三角函数定义，即由角的终边上的一点坐标表示出该角的三角函数值 2已知角 =45 ； （1）在区间 720

7、，0 内找出所有与角有相同终边的角 ； （2）集合，那么两集合的关系是什 么？ 考点 ： 终边相同的角；集合的包含关系判断及应用。 专题 ： 计算题。 分析：（ 1）所有与角有相同终边的角可表示为45 +k 360 （ k Z） ，列出不等式解出整数k，即得所求的角 （ 2）先化简两个集合，分整数k 是奇数和偶数两种情况进行讨论，从而确定两个集合的关系 解答：解析：（1）由题意知： =45 +k 360 （k Z） ， 则令 72045 +k 3600 ， 得 765k 36045 学习必备欢迎下载 解得 从而 k=2 或 k=1 代回 =675 或 = 315 （ 2）因为 M=x|x= （

8、2k+1） 45 ，k Z 表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合 N=x|x= （k+1） 45 ，k Z 表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合， 从而： M? N 点评：（ 1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于k 的 不等式，找出相应的整数k，代回求出所求解； （2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论 3填写下表 考点 ： 终边相同的角。 分析：解题时要注意弧度等于 180 ，用这个关系可以计算出准确数值，尽量不要用近似数，判断角所在的象限， 要把角根据终边相同的角的表示方法 +360? k 把角转化到0 360

9、，轻松判断，用表示的 +360? k 形式， 使它属于（4） ，解不等式得出适合条件的角，要做的准确无误 解答： 点评：讲某角是第几象限角时，前提是这个角的顶点与坐标原点重合，角的终边与x 轴的非负半轴重合，在这个 前提下，才能由终边所在象限来判断某角是第几象限角若终边落在坐标轴上，它不属于任意象限 4已知 = （1）写出所有与终边相同的角； 学习必备欢迎下载 （2）写出在（4 ，2 ）内与 终边相同的角； （3）若角 与 终边相同，则是第几象限的角？ 考点 ： 终边相同的角。 专题 ： 计算题；数形结合。 分析：（ 1）有与 终边相同的角可以写成2k + ，k Z （ 2）令 4 2k +2

10、 （k Z） ，解出整数k，从而求得在（4 ，2 ）内与 终边相同的角 （ 3）根据 =2k +（k Z） ，求得=k +（k Z） ，即可判断是第几象限的角 解答：解： （1）所有与终边相同的角可表示为 | =2k +，k Z （ 2）由（ 1）令 4 2k +2 （k Z） ，则有 2k1 又 k Z，取 k=2， 1，0 故在（ 4 ，2 ）内与 终边相同的角是、 （ 3）由（ 1）有 =2k +（k Z） ，则=k +（k Z） ，当 k 为偶数时，在第一象限， 当 k 为奇数时，在第三象限 是第一、三象限的角 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨

11、论的数学思想 5 （2006?上海）已知是第一象限的角，且，求的值 考点 ： 象限角、轴线角；任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值；两角和与差的正弦函数；二倍角的 余弦。 专题 ： 计算题；综合题。 分析：利用诱导公式，倍角公式，两角和的正弦公式，化简，然后求出sin ，代入求值即可 解答： 解：= 由已知可得sin， 原式 = 点评：本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，运用诱导公式化简求值，两角和与差的正弦函数， 二倍角的余弦，考查学生运算能力，是基础题 学习必备欢迎下载 6 （2005?黑龙江）已知为第二象限的角，为第一象限的角，求 tan（2 ）的值 考点 ： 象限角

12、、轴线角；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数。 分析：先求 tan ，再求 tan2 ，然后求tan ，应用两角差的正切公式求解即可 解答： 解： 为第二象限角，sin =， cos =， tan =，tan2 =， 又 为第一象限角，cos =， sin =，tan =， tan（2 ）= 点评：本题考查象限角，同角三角函数的基本关系，两角和与差的正切函数，是中档题 7 （难）已知sin=，cos=，试确定 的象限 考点 ： 象限角、轴线角；半角的三角函数。 分析： 本题考查的知识点是象限角的判断，及二倍角公式，由sin=，cos=，我们易得的正弦值与余 弦值，然后根据的正弦值与

13、余弦值，我们易得所在的象限 解答： 解： sin=，cos=， 又由 sin =2sin?cos=0 cos =cos 2 sin2 =0 故 是第四象限角 点评：要判断 角的位置，我们可以先确定角的三角函数值，然后再根据结论进行判断： sin ：第一、二象限为正，第三、四象限为负； cos ：第一、四象限为正，第二、三象限为负； tan ：第一、三象限为正，第二、四象限为负； 8把下列各角的弧度化为角度或把角度化为弧度：（1） 135（2） 考点 ： 弧度与角度的互化。 专题 ： 计算题。 分析：直接利用角度与弧度的互化，求解即可 解答： 解： 135 =135= = 180 =660 故答

14、案为：；660 点评：本题考查弧度与角度的互化，考查计算能力，是基础题 9已知 AB=2a，在以 AB 为直径的半圆上有一点C，设 AB 中点为 O， AOC=60 学习必备欢迎下载 （1）在上取一点P，若 BOP=2 ，把 PA+PB+PC 表示成 的函数； （2）设 f（ ）=PA+PB+PC，当 为何值时f（ ）有最大值，最大值是多少？ 考点 ： 弧度制的应用。 专题 ： 计算题。 分析：（ 1）在三角形中使用余弦定理求出PA、PB、PC 的长度， 使用二倍角公式及两角和差的三角公式进行化简 （ 2）利用两角和差的三角公式进一步化简f（ ）的解析式到关于某一个角的正弦函数的形式，利用正弦

15、函 数的最值， 求出 f（ ）的最大值，并求出此时的值 解答：解： （1）由题意知， AB 为直径的半圆的半径为a，0 2 120 ， 060 ， PAO 中，由余弦定理得PA=2acos ， 同理可求得PB=2asin ， PC=2asin（ 60 ） ， PA+PB+PC=2asin +2acos +2asin（60 ）=2asin +2acos +2a（cos sin ） =asin +（2+）acos （ 2）f（ ） =PA+PB+PC=asin +（ 2+） acos =2a （sin +cos ） 令 cos =， sin =，则f（ ）=2asin（ + ） ， 取锐角 ，则

16、=arcsin45 ，故当 =90 arcsin时， sin（ + ）=1 取得最大值， 此时， f（ ）取最大值2a 点评：本题考查余弦定理、二倍角的余弦公式、两角和差的三角公式的应用，以及利用正弦函数的有界性求函数 的最值， 要注意 的范围 10 （2008?上海）如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120 的扇形 AOB ，小区的两个出入口设置在点A 及点 C 处，且小区里有一条平行于BO 的小路 CD，已知某人从C 沿 CD 走到 D 用了 10 分钟，从D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟，若此人步行的速度为每分钟50 米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1 米） 考点 ： 弧长公式

17、。 分析：连接 OC，由 CDOB 知 CDO=60 ，可由余弦定理得到OC 的长度 解答：解： 法一 设该扇形的半径为r 米，连接CO 由题意，得CD=500 （米） ，DA=300 （米） ， CDO=60 在 CDO 中， CD 2+OD2 2CD?OD?cos60 =OC2 即， 学习必备欢迎下载 解得（米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445 米 法二 连接 AC ，作 OHAC ，交 AC 于 H， 由题意，得CD=500 （米） ，AD=300 （米） ， CDA=120 在 CDO 中， AC 2=CD2+AD22?CD?AD ?cos120 = AC=700 （米） （6

18、分） 在直角 HAO 中， AH=350 （米）， （米） 答：该扇形的半径OA 的长约为445 米 点评：本题主要考查用余弦定理求三角形边长 11如图所示动点P、Q 从点 A（4，0）出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转弧度，点 Q 按顺时针方向 每秒钟转弧度，求P、Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标P、Q 点各自走过的弧长 考点 ： 弧长公式；任意角的三角函数的定义。 专题 ： 计算题。 分析：根据两个动点的角速度和第一次相遇时，两者走过的弧长和恰好是圆周长求出第一次相遇的时间，再由角 学习必备欢迎下载 速度和时间求出其中一点到达的位置，再根据三角函数的定义此点的坐标，利用弧长

19、公式及l= R 求出两个 点走过的弧长 解答：解：设 P、Q 第一次相遇时所用的时间是t， 则 t?+t?|=2 t=4（秒），即第一次相遇的时间为4 秒 设第一次相遇点为C，第一次相遇时P 点已运动到终边在?4=的位置， 则 xC=cos ?4=2， yC=sin?4=2 C 点的坐标为（2， 2） ， P 点走过的弧长为? 4= ， Q 点走过的弧长为? 4= 点评：本题考查了圆周运动的问题，认真分析题意列出方程，即第一次相遇时两个动点走过的弧长和是圆周，这 是解题的关键，考查了分析和解决问题的能力 12如果把地球看成一个球体，求地球上北纬60 纬线长和赤道线长的比值 考点 ： 弧长公式。

20、 专题 ： 计算题。 分析：设出地球的半径，求出北纬60 纬圆半径，即可求出其纬线长和赤道线长的比值 解答：解：设地球的半径为R，那么对应的赤道线的大圆的半径为R，而对应的北纬60 纬线所在的小圆的半径为R，那么它们对应的长度之比为R：R= 即所求比值为 点评：不同考查地球经纬度的关系，是基础题 13一个水平放着的圆柱形水管，内半径是12cm，排水管的圆截面上被水淹没部分的弧含150 （如图），求这个截 面上有水部分的面积（取 =3.14） 考点 ： 扇形面积公式。 专题 ： 计算题。 分析：先求截面圆的面积，再求扇形的面积，再解三角形面积，最后解弓形面积即可 解答：解： O 的面积 =? O

21、A 2=144 （ cm2） 扇形 OACB 的面积 = OAB 的面积 = 学习必备欢迎下载 弓形 ACB 的面积 =60 36 60 3.1436=152.4（cm2） 故截面有水部分的面积为152.4cm2 点评：本题考查扇形的面积公式，是基础题 14已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R （1）若 =60 ，R=10 cm，求扇形的弧所在的弓形面积； （2）若扇形的周长是一定值c（c0） ，当 为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 考点 ： 扇形面积公式。 专题 ： 综合题。 分析：（ 1）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积； （ 2）法一：通过周长关系

22、式，化简扇形的面积公式，得到关于的表达式，利用基本不等式解答即可 法二： 通过周长关系式， 化简扇形的面积公式，得到关于弧长l 的表达式， 利用二次函数的最值求出最大值， 以及圆心角解答即可 解答：解： （1）设弧长为l，弓形面积为S弓， =60 =， R=10， l= （cm） ， S弓=S扇S=10 10 2 sin60 =50（） （cm 2） （ 2）法一：扇形周长c=2R+l=2R+ R， R=， S扇=? R2= （） 2= ? =? 当且仅当 =，即 =2（ =2 舍去）时，扇形面积有最大值 法二：由已知2R+l=c， R=（lc） ， S=Rl=?l=（cll2） =（l） 2

23、+ ， 当 l=时， Smax= ，此时 =2， 当扇形圆心角为2 弧度时，扇形面积有最大值 点评：本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，基本不等式以及二次函数的应用，利用基本不等式求最值需 要满足 “ 正、定、等 ” 的条件；二次函数注意x 的范围；考查计算能力 学习必备欢迎下载 15已知扇形的周长是8， （1）若圆心角 =2，求弧长l（注） （2）若弧长为6，求扇形的面积S 考点 ： 扇形面积公式；弧长公式。 专题 ： 计算题。 分析： （ 1）直接利用，求出扇形的弧长 （ 2）求出扇形的半径，利用面积公式求出扇形的面积 解答：解：扇形的周长是8， （ 1）若圆心角 =2，弧长 l，所以

24、 l=2r，l+2r=8 ，所以 l=4， ； （ 2）若弧长为6，半径 r=1，所以扇形的面积S= 点评：本题是基础题，考查扇形的周长与面积的计算问题，正确利用公式是解题的关键 16 （2011?福建）设函数f（ ）=，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重 合，终边经过点P（x，y） ，且 0 （I）若点 P的坐标为，求 f（ ）的值； （II）若点 P（x，y）为平面区域 ：，上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数f（ ）的最小 值和最大值 考点 ： 任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值。 专题 ： 综合题；转化思想。 分析： （ I）

25、由已知中函数f（ ） =，我们将点P 的坐标代入函数解析式，即可求 出结果 （ II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出角的取值范围，结合正弦型函数的性 质我们即可求出函数f（ ）的最小值和最大值 解答：解（ I）由点 P 的坐标和三角函数的定义可得： 于是 f（ ）=2 （ II）作出平面区域 （即感触区域ABC ）如图所示 其中 A（1，0） ，B（1， 1） ，C（0， 1） 于是 0 f（ ）= 学习必备欢迎下载 且 故当，即时， f（ ）取得最大值2 当，即 =0 时， f（ ）取得最小值1 点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想 学习必备欢迎下载