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1、精品资料欢迎下载 选修 4 4坐标系与参数方程 第一节 坐 标 系 突破点 (一)平面直角坐标系下图形的伸缩变换 基础 联通抓主干知识的“源”与“流 ” 设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ： x x 0 ， y y 0 的作用下， 点 P(x，y)对应到点P(x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变 换 考点 贯通抓高考命题的“形”与“神 ” 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 典例 求椭圆 x 2 4 y21，经过伸缩变换 x 1 2x， y y 后的曲线方程 解由 x 1 2x， yy 得到 x2x， yy. 将代入 x 2 4 y21，得 4x 2
2、4 y 21，即 x2y2 1. 因此椭圆 x 2 4 y21 经伸缩变换后得到的曲线方程是x2y2 1. 方法技巧 应用伸缩变换公式时的两个注意点 (1)曲线的伸缩变换是通过曲线上任意一点的坐标的伸缩变换实现的，解题时一定要区分 变换前的点P 的坐标(x， y) 与变换后的点P 的坐标(X， Y)，再利用伸缩变换公式 本节主要包括2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系 . 精品资料欢迎下载 Xax a0 ， Yby b0 建立联系 (2)已知变换后的曲线方程f(x，y)0，一般都要改写为方程f(X，Y)0，再利用换元法 确定伸缩变换公式 能力 练通抓应用体验的“得
3、”与“ 失” 1在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换 ： x 3x， 2y y. 求点 A 1 3， 2 经过 变 换所得的点A的坐标 2求直线l：y6x经过 ： x 3x， 2y y 变换后所得到的直线l的方程 3求双曲线C：x 2y 2 641 经过 ： x 3x， 2y y 变换后所得曲线C的焦点坐标 4 将圆 x 2y21 变换为椭圆 x 2 9 y 2 4 1 的一个伸缩变换公式为 ： X ax a0 ， Y by b0 ， 求 a， b 的值 突破点 (二 )极坐标系 基础 联通抓主干知识的 “ 源”与“流” 1极坐标系的概念 (1)极坐标系 如图所示，在平面内取一个定点O，点 O
4、 叫做极点，自极点O 引一条射线Ox，Ox 叫 做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方向)， 这样就建立了一个极坐标系 (2)极坐标 精品资料欢迎下载 一般地，没有特殊说明时，我们认为 0，可取任意实数 (3)点与极坐标的关系 一般地，极坐标( ， )与( ， 2k)( kZ) 表示同一个点，特别地，极点O 的坐标为 (0， )( R)，和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示 如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标( ， ) 表示； 同时，极坐标( ， )表示的点也是唯一确定的 2极坐标与直角坐标的互化 点 M
5、直角坐标 (x，y)极坐标 ( ， ) 互化公式 x cos ， y sin 2x2y2， tan y x x0 考点 贯通抓高考命题的“形”与 “神” 极坐标与直角坐标的互化 1极坐标方程化为直角坐标方程的步骤 第一步 判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合，且极轴与x 轴正半轴是否重合， 若上述两个都重合，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 第二步 通过极坐标方程的两边同乘或同时平方构造 cos ， sin ， 2 的形式， 一定要 注意变形过程中方程要保持同解，不要出现增解或漏解 第三步 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 x cos ， y sin 及 2x2y2将极坐标 方程
6、转化为直角坐标方程 2直角坐标方程化为极坐标方程或直角坐标系中的点的坐标化为极坐标 (1)直角坐标方程化为极坐标方程较为简单，只需将直角坐标方程中的x， y分别用 cos ， sin 代替即可得到相应极坐标方程 (2)求直角坐标系中的点(x，y)对应的极坐标的一般步骤： 第一步，根据直角坐标系中两点间的距离公式计算该点与坐标原点的距离，即计算 ； 第二步， 根据角 的正切值tan y x(x0)求出角 (若正切值不存在， 则该点在 y轴上 )， 问题即解 精品资料欢迎下载 例 1在极坐标系下，已知圆O： cos sin 和直线 l： sin 4 2 2 . (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐
7、标方程； (2)当 (0，) 时，求直线l 与圆 O 公共点的一个极坐标 方法技巧 1应用互化公式的三个前提条件 (1)取直角坐标系的原点为极点 (2)以 x 轴的正半轴为极轴 (3)两种坐标系规定相同的长度单位 2直角坐标化为极坐标时的两个注意点 (1)根据终边相同的角的意义，角 的表示方法具有周期性，故点 M 的极坐标 ( ， )的形 式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个当限定 0 ， 0,2 )时，除极点外，点M 的极 坐标是唯一的 (2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角应注意判断点M 所在的象限 (即角 的终 边的位置 )，以便正确地求出角 ( 0,2 ) 的值 极坐标方程的应用
8、例 2(2017福州五校联考 )已知曲线C 的极坐标方程为 2 2 2 cos 4 20.以 极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy. (1)若直线 l 过原点，且被曲线C 截得的弦长最小，求直线l 的直角坐标方程； (2)若 M 是曲线 C 上的动点，且点M 的直角坐标为(x，y)，求 xy的最大值 易错提醒 用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示 时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决 精品资料欢迎下载 能力 练通抓应用体验的“得”与 “失” 1 考点一、二已知直线l 的极坐标方程为2 s
9、in 4 2，点A 的极坐标为 A 22， 7 4 ，求点 A 到直线 l 的距离 . 3考点二 在极坐标系中，直线 (sin cos )a 与曲线 2cos 4sin 相交于 A， B 两点，若 |AB|2 3，求实数a 的值 4考点一、二 (2017 洛阳统考 )已知圆 O1和圆 O2的极坐标方程分别为 2， 22 2 cos 4 2. (1)将圆 O1和圆 O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程 全国卷 5 年真题集中演练 明规律 1 (2016 全国乙卷 )在直角坐标系xOy 中， 曲线 C1的参数方程为 xacos t， y1asin t (t 为
10、参数， a0)在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 4cos . (1)说明 C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 0 2，若曲线 C1与 C2的公共点都 在 C3上，求 a. 精品资料欢迎下载 2(2015 新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，直线C1：x 2，圆 C2：(x 1) 2(y 2) 21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C1，C2的极坐标方程； (2)若直线 C3的极坐标方程为 4( R)，设 C 2与 C3的交点为 M，N，求 C2MN 的面 积
11、 课时达标检测 4(2017 山西质检 )在极坐标系中，曲线C 的方程为 2 3 1 2sin 2，点 R 22， 4 . (1)以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴， 建立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程 化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标； (2)设 P 为曲线 C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形 PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标 5(2017 南京模拟 )已知直线l： sin 4 4 和圆 C： 2kcos 4 (k0)，若直线 l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数 k 的值并求圆心C 的直角坐标 精品资料
12、欢迎下载 6已知圆C：x 2y24，直线 l：xy2.以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同 的单位长度建立极坐标系 (1)将圆 C 和直线 l 方程化为极坐标方程； (2)P 是 l 上的点，射线OP 交圆 C 于点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足 |OQ| |OP|OR| 2， 当点 P 在 l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程 7(2017 贵州联考 )已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为2， 3 . (1)求出以 C 为圆心，半径长为2 的圆的极坐标方程(写出解题过程)； (2)在直角坐标系中，以圆 C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴建立直角 坐标系，点
13、P 是圆 C 上任意一点，Q(5，3)，M 是线段 PQ 的中点，当点P 在圆 C 上运 动时，求点M 的轨迹的普通方程 8在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为 x 2cos ， y sin (为参数 )，以原点O 为 极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线 3与曲线 C2 交于点 D 2， 3 . (1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程； (2)已知极坐标系中两点A(1，0)，B 2，0 2 ，若 A，B 都在曲线C1上，求 1 2 1 1 2 2的 值 精品资料欢迎下载 第二节 参数方程 突破点 (一 )参数方程 基础 联通
14、抓主干知识的“源”与“ 流” 1参数方程 一般地， 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x， y 都是某个变数t 的函数： xf t ， yg t ， 并且对于t 的每一个允许值，由方程组 x f t ， y g t 所确定的点M(x，y)都在这条 曲线上， 那么方程 xf t ， yg t 就叫做这条曲线的参数方程，变数 t 叫做参变数， 简称参数 相 对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程 2直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点 M(x0，y0)，倾斜角为的直线 l 的参数方程为 xx0 tcos ， yy0tsin (t 为参数 ) (2)圆心在点M0(x0，
15、y0)，半径为r 的圆的参数方程为 xx0rcos ， yy0rsin (为参数 ) (3)椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab 0)的参数方程为 xacos ， ybsin (为参数 ) 考点 贯通抓高考命题的 “ 形”与“神” 参数方程与普通方程的互化 1参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数，常用的消参方法有：代入消元法；加减消元法；恒等式 (三 角的或代数的)消元法； 平方后再加减消元法等其中代入消元法、加减消元法一般是利用 解方程的技巧，三角恒等式消元法常利用公式sin 2 cos2 1 等 2普通方程化为参数方程 (1)选择参数的一般原则 曲线上任意一点的坐标与参数的关系
16、比较明显且关系相对简单；当参数取某一值时，可 本节主要包括2 个知识点： 1.参数方程；参数方程与极坐标方程的综合问题. 精品资料欢迎下载 以唯一确定x，y 的值； (2)具体步骤 第一步，引入参数，但要选定合适的参数t； 第二步，确定参数t 与变量 x 或 y的一个关系式xf(t)(或 y (t); 第三步，把确定的参数与一个变量的关系式代入普通方程F(x，y) 0，求得另一关系y g(t)(或 x (t)，问题得解 例 1将下列参数方程化为普通方程 (1) x 1 t ， y 1 t t 2 1 (t 为参数 )； (2) x2 sin 2 ， y 1cos 2 (为参数 ) 易错提醒 (
17、1)将曲线的参数方程化为普通方程时务必要注意x，y 的取值范围，保证消参前后的方 程的一致性 (2)将参数方程化为普通方程时，要注意参数的取值范围对普通方程中x，y 的取值范围 的影响 直线与圆锥曲线的参数方程及应用 1解决直线与圆锥曲线的参数方程的应用问题，其一般思路如下： 第一步，把直线和圆锥曲线的参数方程都化为普通方程； 第二步，根据直线与圆锥曲线的位置关系解决问题 2当直线经过点P(x0，y0)，且直线的倾斜角为 ，求直线与圆锥曲线的交点、弦长问 题时，可以把直线的参数方程设成 xx0 tcos ， yy0tsin (t 为参数 )，交点 A，B 对应的参数分别 为 t1，t2，计算时
18、把直线的参数方程代入圆锥曲线的直角坐标方程，求出 t1t2，t1 t2， 得到 |AB| |t1t2| t1 t2 24t 1 t2. 例2(2017豫南九校联考)在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为 的直线l： x2tcos ， y3tsin (t 为参数 )与曲线 C： x 2cos ， y sin (为参数 )相交于不同的两点A，B. (1)若 3，求线段 AB 的中点 M 的坐标； (2)若|PA| |PB|OP| 2，其中 P(2， 3)，求直线l 的斜率 精品资料欢迎下载 方法技巧 1解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位 置关系来解决问题 2对于形
19、如 xx0at， yy0bt (t 为参数 )的直线的参数方程，当a 2b21 时，应先化为标 准形式后才能利用t 的几何意义解题 能力 练通 3考点二 (2017 郑州模拟 )将曲线C1：x 2 y2 1 上所有点的横坐标伸长到原来的 2倍(纵 坐标不变 )得到曲线C2，A 为 C1与 x 轴正半轴的交点，直线l 经过点 A 且倾斜角为30 ，记 l 与曲线 C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D. (1)写出曲线C2的普通方程及直线 l 的参数方程； (2)求|AC|BD|. 4考点二 设直线 l 的参数方程为 x3 tcos ， y4 tsin (t 为参数，
20、为倾斜角 )，圆 C 的参 数方程为 x1 2cos ， y 1 2sin (为参数 ) (1)若直线 l 经过圆 C 的圆心，求直线l 的斜率； (2)若直线 l 与圆 C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围 精品资料欢迎下载 突破点 (二)参数方程与极坐标方程的综合问题 将极坐标方程与参数方程、普通方程交织在一起，考查极坐标方程与参数方程的综合应 用.将各类方程相互转化是求解该类问题的前提.,解决问题时要注意： 1 解题时，易将直线与圆的极坐标方程混淆.要熟练掌握特殊直线、圆的极坐标方程的 形式 . 2 应用解析法解决实际问题时，要注意选取直角坐标系还是极坐标系，建立极坐标系要
21、注意极点、极轴位置的选择，注意点和极坐标之间的“一对多”关系. 3 求曲线方程，常设曲线上任意一点P ，利用解三角形的知识，列出等量关系式， 特别是正弦、 余弦定理的应用.圆的参数方程常和三角恒等变换结合在一起，解决取值范围或 最值问题 . 4 参数方程和普通方程表示同一个曲线时，要注意其中x，y 的取值范围，即注意两者 的等价性 . 考点 贯通抓高考命题的“形”与 “神” 参数方程与极坐标方程的综合问题 典例 (2017长沙模拟 )在直角坐标系xOy中， 曲线 C1的参数方程为 x 1cos ， y sin (为参数 )， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线 l
22、的极坐标方程为 (cos ksin ) 2(k 为实数 ) (1)判断曲线C1与直线 l 的位置关系，并说明理由； (2)若曲线 C1和直线 l 相交于 A，B 两点，且 |AB| 2，求直线l 的斜率 方法技巧 处理极坐标、参数方程综合问题的方法 (1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐 标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程 (2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和 的几何意 义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 精品资料欢迎下载 1 已知曲线C 的参数方程为 x310cos ， y110sin (为参
23、数 )， 以直角坐标系原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 (1)求曲线 C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； (2)若直线的极坐标方程为sin cos 1 ，求直线被曲线C 截得的弦长 2在极坐标系中，圆C 的方程为 2acos (a0)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正 半轴建立平面直角坐标系，设直线l 的参数方程为 x3t1， y4t3 (t 为参数 ) (1)求圆 C 的标准方程和直线l 的普通方程； (2)若直线 l 与圆 C 恒有公共点，求实数a 的取值范围 1(2016 全国甲卷 )在直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为 (x6) 2y2 25. (1)以坐标原点为
24、极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线 l 的参数方程是 xtcos ， ytsin (t 为参数 )，l 与 C 交于 A，B 两点， |AB|10，求 l 的斜率 精品资料欢迎下载 2(2016 全国丙卷 )在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 x3cos ， ysin (为 参数 )以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 为 sin 4 2 2. (1)写出 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程； (2)设点 P 在 C1上，点 Q 在 C2上，求 |PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标 3 (2015 新课标
25、全国卷)在直角坐标系xOy 中， 曲线 C1： xtcos ， ytsin (t 为参数，t0)， 其中 0 .在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2sin ，C3： 23cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标； (2)若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点B，求 |AB|的最大值 4(2014 新课标全国卷)已知曲线C： x 2 4 y 2 9 1，直线 l： x 2t， y22t (t 为参数 ) (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点P作与 l 夹角为 30 的直线， 交 l 于点 A，求|PA|
26、的最大值与最小 值 精品资料欢迎下载 5(2014 新课标全国卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为 2cos ， 0， 2 . (1)求 C 的参数方程； (2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线l：y3x2 垂直， 根据 (1)中你得到的参数 方程，确定D 的坐标 6(2013 新课标全国卷)已知曲线C1的参数方程为 x4 5cos t， y55sin t， (t 为参数 )，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2sin . (1)把 C1的参数方程化为极坐标方程； (2
27、)求 C1与 C2交点的极坐标 ( 0,0 2) 1(2017 郑州模拟 )已知曲线C1的参数方程为 x 2 3 2 t， y 1 2t， 曲线 C2的极坐标方程 为 22cos 4，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系 (1)求曲线 C2的直角坐标方程； (2)求曲线 C2上的动点 M 到曲线 C1的距离的最大值 精品资料欢迎下载 2在极坐标系中，已知三点O(0,0)，A 2， 2 ，B 2 2， 4 . (1)求经过点O，A，B 的圆 C1的极坐标方程； (2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为 x 1acos ， y 1asi
28、n (是参数 )，若圆 C1与圆 C2外切，求实数 a 的值 3(2017 太原模拟 )在平面直角坐标系xOy 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立 的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 4( R)，曲线 C 的参数方程为 x2cos ， ysin . (1)写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； (2)过点 M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于 A， B 两点，若 |MA| |MB | 8 3，求点 M 轨迹的直角坐标方程 4(2017 江西百校联盟模拟)在平面直角坐标系xOy 中，C1： xt， yk t1 (t 为参数 )以 原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极
29、轴建立极坐标系，已知曲线C2： 210 cos 6 sin 330. (1)求 C1的普通方程及 C2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若 P，Q 分别为 C1，C2上的动点，且 |PQ|的最小值为2，求 k 的值 5 在平面直角坐标系xOy 中， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已 知点 P 的直角坐标为3， 3 2 ，曲线C 的极坐标方程为 5，直线l 过点 P 且与曲线C 相交于 A，B 两点 (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)若|AB|8，求直线l 的直角坐标方程 精品资料欢迎下载 6已知动点P，Q 都在曲线C： x2cos t， y2sin
30、 t (t 为参数 )上，对应参数分别为t与 t 2 (0 2) ，M 为 PQ 的中点 (1)求 M 的轨迹的参数方程； (2)将 M 到坐标原点的距离d 表示为 的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点 7(2017 河南六市第一次联考)在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 x1t， yt 3 (t 为参数 )，在以直角坐标系的原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的 极坐标方程为 2cos sin 2相交于 A， B 两点 (1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 AOB 的面积 8极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴已知直线l 的参数方程为 x2tcos ， ytsin (t 为参数 )曲线 C 的极坐标方程为 sin 2 8cos . (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，与x 轴的交点为F，求 1 |AF| 1 |BF|的值