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1、学习必备欢迎下载 探索三角形全等易错剖析 全等三角形的判定和性质及其应用是初中几何的重点内容之一，也是中考所要考查的重 要内容之一同学们由于对概念、判定、性质的理解不清或对问题的考虑不周密，往往会出 现各种错误下面列举常见的解题错误进行分析，希望能引起同学们的注意 一、寻找全等三角形的对应边和对应角时出错 例 1如图 1，已知： ABC EFD,C=D,AE=BF, 指出其他的对应边和对应角。 图 1 错解对应边 BC 与 DF,AE 与 BF,对应角 DEF 和 ABC. 错解分析： 识图能力差， 不能看出两个三角形如何重合的，不能正确识别对应边和对应 角。 正解对应边 AB=EF,AC=E
2、D,BC=DF；对应角 A= EEF, ABC= F. 例 2如图 2（1）所示，若 ABC 中的 A=30 0， B=700，AC=17cm ；如图 2（2）所 示，若 DEF 的 D=70 0， E=800，DE=17cm，那么 ABC 与 DEF 全等吗？为什么？ 80 0 70 0 图1（2） 图1（1） 70 0 30 0 EC A B FD 图 2（1）图 2（2） 错解： ABC 与 DEF 全等 在 DEF 中，因为 D=70 0， E=800， 所以 F=180 0-D-E=1800 -70 0-800=300 在 ABC 中，因为 A=30 0， B=700， 所以 A=
3、F， B=D 又因为 AC=17cm ，DE=17cm ， 学习必备欢迎下载 所以 AC=DE 在 ABC 与 DEF 中， ），DE（AC ），D（B ，FA 已证 已证 已证 )( ABC DEF 错解分析： AC 是 B 的对边， DE 是 F 的对边，而 B F，所以这两个三角形不全 等 正确解法： ABC 与 DEF 不全等 因为相等的两边不是相等的两角的对边，不符合全等三角形的识别法 练习 1：如图 3 所示，已知 ABE ACD ， AEB ADC ， B C，指出其他 的对应边和对应角。 二、利用三个角对应相等说明全等出错 例 3如图 4，CAB= DBA ，C=D，E 为 A
4、C 和 BD 的交点 .ADB 与 BCA 全 等吗 ?说说理由 . 错解ADB BCA. 因为 C=D, CAB= DBA ， DAB=CBA, 所以 CBE DAE （AAA ）. 错解分析两个三角形全等是对的，但说明的理由不正确.三个角对应相等不能作为三 角形全等的识别方法.因为三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解CAB DBA. 因为 CAB= DBA, C=D,AB=BA( 公共边 ), 所以 CAB DBA(AAS). 图 4 练习 2：已知在两个直角三角形中，有一对锐角相等，又有一组边相等，说明这两个三 A B D E C 图 3 学习必备欢迎下载 角形是否全等. 图 5
5、 三、利用两边及一边对应相等说明全等出错 例 4如图 6,已知 ABC 中,AB=AC,D 、E 分别是 AB 、AC 的中点， 且 CD=BE ，ADC 与 AEB 全等吗？说说理由. 错解ADC AEB. 因为 AB=AC,BE=CD, BAE= CAD, 所以 ADC AEB（ SSA）. 错解分析错解在把SSA 作为三角形全等的识别方法,实际上， SSA 不能作为三角形全 等的识别条件.因为两边及一边对角相等的两个三角形不一定全 等. 正解ADC AEB. 因为 AB=AC,D 、E 为 AB、AC 的中点，所以AD=AE. 在 ADC 和 AEB 中, 因为 AB=AC,AD=AE,
6、CD=BE,所以 ADC AEB （SSS）. 图 6 练习3：如图7 所示， D 是 ABC 中 BC 边上一点， E 是 AD 上一点， EB=EC ， ABE= ACE ，求证： BAE= CAE. 图 7 四、利用部分当整体说明全等出错 例 5如图 8，已知 AB=AC ，BD=CE, 试说明 ABE 与 ACD 全等的理由 . 错解 :因为 AB=AC, 所以 B=C, 在 ABE 和 ACD 中, 因为 AB=AC, B=C,BD=CE, 所以 ABE ACD （SAS）. 学习必备欢迎下载 错解分析错解在把三角形边上的一部分当作说明的条件,这不符合三角形全等的识别 方法 . 正解
7、ABE 与 ACD 全等 . 因为 AB=AC, 所以 B=C, 因为 BD=CE, 所以 BD+DE=CE+DE, 即 BE=CD.图 8 在 ABE 和 ACD 中, 因为 AB=AC,B=C,BE=CD,所以 ABC ACF（SAS）. 练习 4：如图 9 所示，已知在RtABC 和 RtDAB 中， AC DB ，判断 RtABC 与 Rt DAB 是否全等？ 五、利用减法运算说明全等出错 例 6如图 10，已知 AC 、BD 相交于点0， A= B， ACD= BDC ，AD=BC. 试说明 AOD BOC. 错解在 ADC 和 BCD 中， 因为 A=B， ACD= BDC，DC=
8、CD ， 所以 ADC BCD （AAS） ，所以 ADC- DOC= BCD- DOC ，即 A0D B0C. 错解分析错解在将等式的性质盲目地用到三角形全等中，实际上， 三角形全等是不能 根据等式的性质说明的. 正解在 ADO 和 BCD 中， A= B， AOD= BOC，AD=BC ， 所以 AOD BOC(AAS). A D B C 图 9 学习必备欢迎下载 图 10 练习 5：如图 11,点 E、F 在 BC 上,BE=CF,AB=DC, B=C,AF 与 DE 相等吗 ? 图 11 六、 仅据图形的直观印象就视为条件来参与证明出错 例 7如图 12，在 ABC 中，AD 是它的角
9、平分线，BD=CD ，DE、DF 分别垂直于AB 、 AC ，垂足为E、 F求证： BE=CF 错证一： 认为 DE=DF ，并以此为条件， 在 RtBDE 与 RtCDF 中， 因为 DE=DF ，BD=CD ， 所以 RtBDE RtCDF（HL ） 所以 BE=CF （全等三角形的对应边相等）图 12 错证二： 认为 ADBC，并以此为条件，通过证明ABD ACD ，得 AB=AC 再由 Rt AED RtAFD ，得 AE=AF ，从而得到： BE=CF 错证分析： 错证一中认为DE=DF，并直接作为条件应用，因而产生错误；错证二中， 认为 AD BC，没有经过推理，而直接作为条件应用
10、，因而也产生错误产生上述错误的原 因是审题不清，没有根据题设，结合图形找证题方法，推论过程不符合全等的判定方法 正确证法： 在 AED 和 AFD 中， ),( )( )( 公共边 角平分线的定义 垂直的定义 ADAD ，CADBAD ，DFADEA AED AFD （AAS ） DE=DF （全等三角形的对应边相等） 在 RtBDE 与 RtCDF 中， ),( )( 已证 已知 DFDE ，CDBD RtBDE RtCDF（HL） 图2 FE D B C A 学习必备欢迎下载 练习 6：如图 13 所示，已知1 2， 3 4，AB 与 AD 相等吗？为什么？ 七、观察图形出现重复或遗漏出错
11、 例 8如图 14 所示，在等边ABC 中， D、E、F 分别为 AB 、BC、CA 上一点（不是 中点），且 AD=BE=CF ，图中全等三角形组数为（）. .3 组.4 组.5 组 .6 组 错解： A. 图 14 错解分析没有灵活运用所给条件，只是直接运用了已知条件就做出判断.全等三角形 共 有6 组 ， 分 别 是 ： ABECAD ， ABE BCF ， CAD BCF ， ABF CAE ， ABF BCD ， CAEBCD. 正解： C. 点评对这类问题平时学习要多观察多总结，充分地用上所给条件，逐步找出所有的全 等三角形 . 练习 7：如图 15 所示，在 ABC 中，AB=A
12、C ，BDAC 垂足为 D，A=40 ，求 DBC. 图 15 练习参考答案： 1、错解 ：对应边有：AB 与 AD ， AE 与 AC， BD 与 CE，对应角有：BAD CAE 误区点击： 本题错误的原因是观察图形的能力太差，未能准确地将两个全等三角形分离 图 13 A D B C 1 2 3 4 学习必备欢迎下载 出来，并正确地找出其对应元素。全等三角形的对应边、对应角是严格对应的，对应边所对 的角是对应角，对应角所对的边是对应边，公共边是对应边，公共角是对应角。 正解 ：因为 B C， AEB ADC ， 所以另一组对应角为BAE 与 CAD 因为 B 和 C 的对边分别是AE 与 A
13、D， AEB 与 ADC 的对边分别是AB 与 AC 所以对应边分别是：AB 与 AC ，AE 与 AD ，BE 与 CD. 2、错解：这两个三角形全等 【错解分析】对“ASA ” 全等识别法中“ 对应边相等 ” 没有理解，错把边相等当成对应边 相等 . 正解：这两个三角形不一定全等.如图所示， RtABC 和 RtEDC， 在 RtEDC 中， CD=AB ， 1= 2， C=C=90 ， 显然 ABC 与 EDC 不全等 . 3、错解：在 AEB 和 AEC 中， AEB AEC . BAE= CAE. 错解分析本题错在判定AEB AEC 时，用了 “ 边边角 ” 的判定法，这是不正确的，
14、 因为有两条边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 正解：在 BEC 中， BE=CE ， EBC= ECB. ABE= ACE ， ABC= ACB. AB=AC. 在 AEB 和 AEC 中， 学习必备欢迎下载 AEB AEC. BAE= CAE. 4、错解 ：在 RtABC 与 RtDAB 中 ACDB ，AB BA， 所以 RtABC RtDAB （HL） 误区点击 ：在推理过程中，说明RtABC RtDAB 时，虽然也列举了两个条件，但 两个三角形全等的对应元素只有一个，全等条件不足， 同时也是没有真正理解直角三角形全 等判定中的 “HL ” 。 正解 ：RtABC 与
15、Rt DAB 不全等。 5、错解在 ABF 和 DCE 中 ,AB=DC, B=C, BE=CF, ABF DCE(SAS), AF=DE. 错解分析没有看图形 ,而只看文字条件,错用三角形的边,来参与三角形全等的推导. 6、错解： 在 ABC 与 ADC 中，因为 1 2，3 4，ACAC ，根据 “AAS “ 可 得 ABC ADC ，所以 AB AD 。 误区点击： 上述推理过程，没有认真结合图形来分析，错把3、 4 作为三角形的内 角来参与证明，读题不细、审题不清是造成错误的直接原因。 正解 ：因为 3是 ABC 的外角， 4 是 ADC 的外角， 所以 ACB 180 3， ACD
16、180 4，又因为 3 4， 所以 ACB ACD ， 在 ABC 与 ADC 中， ACAC ， 1 2， ACB ACD ， 所以 ABC ADC （ASA ） ，所以 ABAD. 7、错解：ABC 中 AB=AC ， A=40 ， ABC= （180 -40 ） 2=70 . 又 BDAC 垂足为 D， DBC= 2 1 ABC=35 . 错解分析误认为在等腰三角形中每条边上的“ 三线 ” 都重合 .其实在不是等边三角的等 腰三角形中，只有底边上的“ 三线 ” 才是重合的 . 正解：在 ABC 中， AB=AC ， A=40 ， 学习必备欢迎下载 ABC= ACB= （180 40 ） 70 . 又 BDAC 垂足为 D， DBC=90 -ACB=90 -70 =20 .