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1、学习必备欢迎下载 数列解题技巧归纳总结 基础知识： 1数列、项的概念：按一定次序排列的一列数，叫做数列，其中的每一个数叫做数列的项 2数列的项的性质： 有序性；确定性；可重复性 3数列的表示 ：通常用字母加右下角标表示数列的项，其中右下角标表示项的位置序号，因此数列的一般形 式可以写成a1，a2，a3，an， （） ，简记作 an 其中an是该数列的第n 项，列表法、图象法、符 号法、列举法、解析法、公式法（通项公式、递推公式、求和公式）都是表示数列的方法 4数列的一般性质：单调性；周期性 5 数列的分类 ： 按项的数量分：有穷数列、 无穷数列； 按相邻项的大小关系分：递增数列、递减数列、常数
2、列、摆动数列、其他； 按项的变化规律分：等差数列、等比数列、其他； 按项的变化范围分：有界数列、无界数列 6 数列的通项公式：如果数列 an 的第n项an与它的序号n之间的函数关系可以用一个公式an=f（n） （nN+ 或其有限子集 1 ，2，3， n ） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式数列的项是指数 列中一个确定的数，是函数值，而序号是指数列中项的位置，是自变量的值由通项公式可知数列的图象 是 散点图，点的横坐标是项的序号值，纵坐标是各项的值不是所有的数列都有通项公式，数列的 通项公式在形式上未必唯一 7 数列的递推公式：如果已知数列an的第一项（或前几项） ，且任一项an与它的
3、前一项an-1（或前几项an- 1， an-2，）间关系可以用一个公式an=f（a 1n ） （n=2，3，） （或an=f（a 1n ,a 2n ）(n=3，4，5，) ，） 来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式 8数列的求和公式：设Sn表示数列 an 和前n项和，即Sn= 1 n i i a =a1+a2+an，如果Sn与项数n之间的函数 关系可以用一个公式Sn= f（n） （n=1，2，3，）来表示，那么这个公式叫做这个数列的求和公式 9 通项公式与求和公式的关系： 通项公式an与求和公式Sn的关系可表示为： 1 1 (1) (n2) n nn S n a SS 等差数列与等比数列
4、： 等差数列等比数列 文 字 定 义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列 就叫等差数列，这个常数叫等差数列的公差。 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与 它的前一项的比是同一个常数，那么这个数列 就叫等比数列，这个常数叫等比数列的公比。 符 号 定 义 1nn aad 1 (0) n n a q q a 分 类 递增数列：0d 递减数列：0d 常数数列： 0d 递增数列： 11010 01aqaq，或， 学习必备欢迎下载 递减数列： 11 010 01aqaq，或， 摆动数列：0q 常数数列：1q 通 项 1(1)()nmaandpnqanm
5、 d 其中 1 ,pd qad 1 1 nn m nm aa qa q （0q） 前 n 项 和 2 1 1 ()(1) 22 n n n aan nd Snapnqn 其中 1 , 22 dd pqa 1 1 (1) (1) 1 (1) n n aq q Sq naq 中 项 , ,2a b cbac成等差的充要条件: 2 , ,a b cbac成等比的必要不充分条件： 主 要 性 质 等和性： 等差数列 n a 若mnpq则 mnpq aaaa 推论：若2mnp则2 mnp aaa 2 n kn kn aaa 12132nnn aaaaaa 即：首尾颠倒相加，则和相等 等积性： 等比数列
6、n a 若mnpq则 mnpq aaaa 推论：若2mnp则 2 () mnp aaa 2 () n kn kn aaa 12132nnn aaaaaa 即：首尾颠倒相乘，则积相等 其 它 1、等差数列中连续m项的和，组成的新数列 是等差数列。即： 232 , mmmmm sssss等差，公差为 2 m d则有323()mmmsss 2、 从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是 一个等差数列。 如： 14710 ,a a aa（下标成等差数列） 3、, nn ab等 差 ， 则 2n a， 21n a， n kab， nn paqb也等差。 4、等差数列 n a的通项公式是n的一次函数， 即：
7、 nadnc(0d) 1、等比数列中连续项的和，组成的新数列是 等比数列。 即： 232 , mmmmm sssss等比， 公比为 m q。 2 、从等比数列中抽取等距离的项组成的数列 是一个等比数列。 如： 14710 ,a a aa（下标成等差数列） 3、, nn ab等比，则 2n a， 21n a ， n ka 也等比。其中 0k 4、等比数列的通项公式类似于n的指数函数， 即： n n acq ，其中 1 a c q 等比数列的前n项和公式是一个平移加振 幅的n的指数函数，即：(1) n n scqc q 学习必备欢迎下载 性 质 等差数列 n a的前n项和公式是一个没有常 数项的n
8、的二次函数， 即： 2 n SAnBn(0d) 5、项数为奇数 21n 的等差数列有： 1 sn sn 奇 偶 n ssaa 奇偶中 21 (21) nn sna 项数为偶数2n的等差数列有： 1 n n sa sa 奇 偶 ，ssnd 偶奇 21 () nnn sn aa 6、, nm am an则0 m n a nmss则0()m nsnm , nm sm sn则() m n smn 5、等比数列中连续相同项数的积组成的新数 列是等比数列。 证 明 方 法 证明一个数列为等差数列的方法： 1、定义法： 1 () nn aad 常数 2、中项法： 112(2)nnnaaan 证明一个数列为等
9、比数列的方法： 1、定义法： 1 () n n a q a 常数 2、中项法： 11 (2,0) nnnn aaana 2 （） 设 元 技 巧 三数等差：, ,ad a ad 四数等差：3 ,3ad ad ad ad 三数等比： 2 , , a a aqa aq aq q 或 四数等比： 23 ,a aq aqaq 联 系 1、若数列 n a是等差数列， 则数列 n a C是等比数列， 公比为 d C，其中C是常数，d是 n a 的公差。 2、若数列 n a是等比数列，且0 n a，则数列loga n a是等差数列，公差为logaq，其中a 是常数且0,1aa，q是 n a的公比。 数列的项
10、 n a与前n项和 n S的关系： 1 1 (1) (2) n nn sn a ssn 数列求和的常用方法： 学习必备欢迎下载 1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 2、错项相减法：适用于差比数列（如果 n a等差， n b等比，那么 nn a b叫做差比数列） 即把每一项都乘以 n b的公比q， 向后错一项， 再对应同次项相减， 转化为等比数列求和。 3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。 适用于数列 1 1 nn aa 和 1 1 nn aa （其中 n a等差） 可裂项为： 11 1111 () nnnn aa
11、daa ， 1 1 11 () nn nn aa daa 等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列 n a的首项 1 0a，公差0d，则前n项和nS有最大值。 （）若已知通项 n a，则 n S最大 1 0 0 n n a a ； （）若已知 2 n Spnqn，则当n取最靠近 2 q p 的非零自然数时 n S最大； 2、若等差数列 n a的首项 1 0a，公差0d，则前n项和 n S有最小值 （）若已知通项 na，则nS最小 1 0 0 n n a a ； （）若已知 2 n Spnqn，则当n取最靠近 2 q p 的非零自然数时nS最小； 数列通项的求法： 公式法 ：等差数列通项公式
12、；等比数列通项公式。 已知 n S（即 12 ( ) n aaaf n）求 n a， 用作差法 ： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 。 已知 12 ( ) n a aaf n求 n a，用作商法： (1),(1) ( ) ,(2) (1) n fn f n a n f n 。 已知条件中既有 n S还有 n a，有时先求 n S，再求 n a；有时也可直接求 n a。 若 1 ( ) nn aaf n求 n a用累加法 ： 11221 ()()() nnnnn aaaaaaa 1 a ( 2)n。 已知 1 ( ) n n a f n a 求na，用累乘法 ： 12 1
13、 121 nn n nn aaa aa aaa (2)n。 已知递推关系求 n a，用构造法 （构造等差、等比数列）。 特别地 ， （1）形如 1nn akab、 1 n nn akab（,k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转 学习必备欢迎下载 化为公比为k的等比数列 后，再求 n a；形如 1 n nn akak的递推数列都可以除以 n k得到一个等差数 列后，再求 n a。 （2）形如 1 1 n n n a a kab 的递推数列都可以用倒数法求通项。 （3）形如 1 k nn aa的递推数列都可以用对数法求通项。 （7） （理科） 数学归纳法 。 （8）当遇到q a a daa
14、 n n nn 1 1 11 或时， 分奇数项偶数项讨论，结果可能是分段 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d，q 为常数） 例 1、已知 an 满足 an+1=an+2，而且 a1=1。求 an。 例 1、解an+1-an=2 为常数an是首项为1，公差为2 的等差数列 an=1+2（n-1 ）即 an=2n-1 例 2、已知 n a满足 1 1 2 nn aa，而 1 2a，求 n a=？ （2）
15、递推式为 an+1=an+f（n） 例 3、已知 n a中 1 1 2 a， 12 1 41 nn aa n ，求 n a. 解：由已知可知 )12)(12( 1 1 nn aa nn ) 12 1 12 1 ( 2 1 nn 令 n=1， 2， （n-1 ） ，代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+ +（an-an-1） 24 34 ) 12 1 1( 2 1 1 n n n aan 说明只要和f （1）+f （2）+f （n-1 ）是可求的，就可以由an+1=an+f （n）以 n=1，2， （n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。 (3) 递推式为
16、an+1=pan+q（p，q 为常数） 学习必备欢迎下载 例 4、 n a中， 1 1a，对于 n1（n N）有 1 32 nn aa，求 n a. 解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1） 因此数列 an+1-an是公比为3 的等比数列，其首项为a2-a1=（3 1+2）-1=4 an+1-an=43 n-1 an+1=3an+2 3an+2-an=43 n-1 即 an=23 n-1 -1 解法二： 上法得 an+1-an是公比为3 的等比数列， 于是有：a2-a1=4， a3-a2=4 3， a4-a3=4 3 2，
17、 ，a n-an-1=4 3 n-2， 把 n-1 个等式累加得：an=23n-1-1 (4) 递推式为 an+1=p an+q n （p，q 为常数） )( 3 2 11nnnn bbbb由上题的解法，得： n n b) 3 2 (23 nn n n n b a) 3 1 (2) 2 1 (3 2 (5) 递推式为 21nnn apaqa 思路：设 21nnn apaqa, 可以变形为： 211 () nnnn aaaa， 想 于是 an+1- an是公比为 的等比数列，就转化为前面的类型。 求 n a。 学习必备欢迎下载 (6) 递推式为 Sn与 an的关系式 关系；（2）试用 n表示 a
18、n。 ) 2 1 2 1 ()( 12 11 nn nnnn aaSS 111 2 1 nnnn aaa nnn aa 2 1 2 1 1 上式两边同乘以2 n+1 得 2 n+1a n+1=2 na n+2 则2 na n 是公差为 2 的等差数列。 2 na n= 2+ （n-1 ） 2=2n 2数列求和问题的方法 （1） 、应用公式法 等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。 13 5 (2n-1)=n 2 【例 8】求数列 1， （3+5） ， （7+9+10） ， （ 13+15+17+19） ，前 n 项的和。 解本题实际是求各
19、奇数的和，在数列的前n 项中，共有1+2+n=) 1( 2 1 nn个奇数， 最后一个奇数为：1+ 2 1 n(n+1)-12=n 2+n-1 因此所求数列的前n 项的和为 学习必备欢迎下载 （2） 、分解转化法 对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。 【例 9】求和 S=1 （n 2-1 ）+ 2 （n2-22）+3 （n2-32） +n（n2-n2 ） 解 S=n 2（1+2+3+ +n）- （ 13+23+33+n3） （3） 、倒序相加法 适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求 和。 例 10、求和： 12 363
20、 n nnnn SCCnC 例 10、解 012 0363 n nnnnn SCCCnC Sn=3n2 n-1 （4） 、错位相减法 如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数 列的公比，然后错位相减求和 例 11、 求数列 1，3x，5x 2, ,(2n-1)xn-1 前 n 项的和 解设 Sn=1+3+5x 2+(2n-1)xn-1 (2)x=0时， Sn=1 (3) 当 x0 且 x1 时，在式两边同乘以x 得 xSn=x+3x 2+5x3+(2n-1)xn， -，得 (1-x)Sn=1+2x+2x 2+2x3+2xn-1-(2n-1)x
21、n (5) 裂项法： 把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。 常见裂项方法： 学习必备欢迎下载 例 12、求和 1111 1 53 75 9(21)(23)nn 注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。 在掌握常见题型的解法的同时，也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。 二、常用数学思想方法 1函数思想 运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。 【例 13】等差数列 an的首项 a10，前 n 项的和为Sn，若 Sl=Sk（l k）问 n 为何值时Sn最大？ 此函数以n 为自变量的二次函数。a10 Sl=Sk（l k
22、）， d0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k） 2方程思想 【例 14】设等比数列 an前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。 分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。 解依题意可知q1。 如果 q=1，则 S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q1 学习必备欢迎下载 整理得 q 3（2q6-q3-1 ） =0 q0 此题还可以作如下思考： S6=S3+q 3S 3=（1+q 3）S 3。S9=S3+q 3S 6=S3（1+q 3+q6）， 由 S3+S6=2S9可得 2+q 3=2（1+q3+q6）， 2q6+q3=0 3换元思想 【例 15】已知 a，b，c 是不为 1 的正数， x，y，zR+，且 求证： a，b， c 顺次成等比数列。 证明依题意令a x=by=cz=k x=1ogak，y=logbk，z=logck b 2=ac a，b， c 成等比数列（ a，b，c 均不为 0）