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1、学习必备欢迎下载 第二十二章曲面积分 教学目的： 1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明 确它们的联系； 2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌握梯 度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。 教学重点难点 ：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积分。 教学时数 ：18 学时 1 第一型曲面积分 一. 第一型面积分的定义 : 1.几何体的质量 : 已知密度函数, 分析平面区域、空间几何体的质 量定义及计算 2.曲面的质量 : 3.第一型面积分的定义 : 定义及记法 ., 面积分. 4.第一型面积分的性质 : 二. 第一型面积分的计
2、算 : 1.第一型曲面积分的计算 : 学习必备欢迎下载 Th22.2 设有光滑曲面.为上的连 续函数 ,则. 例 4 计算积分, 其中是球面被平面 所截的顶部 . P281 2 第二型曲面积分 一. 曲面的侧 : 1.单侧曲面与双侧曲面 : 2. 双侧曲面的定向 : 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向量 为, 则上侧法线方向对应第三个分量, 即选“ +”号时，应有，亦即法线 方向与轴正向成锐角 . 类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外 侧. 二. 第二型曲面积分 : 1. 稳流场的流量 : 以磁场为例 . P284 2. 第二型曲面积分的定义 : P284 . 闭合曲面上的积
3、分及记法 . 3. 第二型曲面积分的性质 : 线性 , 关于积分曲面块的可加性 . 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 学习必备欢迎下载 设为曲面的指定法向 , 则 . 三. 第二型曲面积分的计算 : Th22.2 设是定义在光滑曲面 D 上的连续函数 , 以的上侧为正侧 ( 即), 则有 . 证P 类似地 , 对光滑曲面D, 在其前侧上的积分 . 对光滑曲面D, 在其右侧上的积分 . 计算积分时, 通常分开来计算三个积分 学习必备欢迎下载 , , . 为此, 分别把曲面投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行 计算. 投影域的侧由曲面的定向决定 . 例 1
4、计算积分,其中是球面在 部分取外侧 . P287 例 2 计算积分，为球面 取外侧 . 解对积分, 分别用和记前半球面和后半球面的 外侧, 则有 : ; : . 因此, =+ = . 学习必备欢迎下载 对积分, 分别用和记右半球面和左半球面的 外侧, 则有 : ; : . 因此, += . 对积分, 分别用和记上半球面和下半球面的外侧, 则有 : ; : . 因此, =+ = . 学习必备欢迎下载 综上, =. 3 Gauss公式和Stokes公式 一. Gauss公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面围成 . 若函数 在 V 上连续 , 且有连续的一阶偏导数, 则 ,
5、 其中取外侧 . 称上述公式为 Gauss 公式或 Gauss 公式. 证只证. 设 V 是型区域 ( 即型体 ) , 其边界曲面由曲面 下侧 , D, 上侧 , D. . 以及垂直于平面的柱面(外侧)组成. 注意到=, 有 = 学习必备欢迎下载 = . 可类证, . 以上三式相加 , 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分，为球面 取外侧 . 解. 由 Gauss 公式. 例 2 计算积分，其中是边 长为的正方体 V 的表面取外侧 . V : . P291 解应用 Gauss 公式 , 有 学习必备欢迎下载 . 例 1计算积分，为锥面在平 面下方的部分，取外法线方向 . 解设为圆取上侧
6、, 则构成由其所围锥体 V 的表面外侧, 由 Gauss 公式 , 有 =锥体 V 的体积; 而 因而, . 例 1设 V 是三维空间的区域 , 其内任何封闭曲面都可不通过V 外的点 连续收缩为 V 上的一点 . 又设函数、和在 V 上有 连续的偏导数 . 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, 是的外法线 . 试证 明: 对 V 内任意曲面恒有 的充要条件是在 V 内处处成立 . 学习必备欢迎下载 证. 由 Gauss 公式直接得到 . 反设不然, 即存在点V, 使 , 不妨设其. 由在点连续, 存在以点为中心且在 V 内的小球, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧 , 就有 , 与矛盾.
7、二. Stokes公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L 正向的匹配关系 : 右手螺旋法则 , 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时 , 若曲面在左侧 , 则把人的前进 方向定为 L 的正向 . 1. Stokes 定理: 学习必备欢迎下载 Th22.7 设光滑曲面的边界 L 是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、和在( 连同 L )上连续 ,且有一阶连续的偏导 数 , 则 . 其中的侧与 L 的方向按右手法则确定 . 称该公式为 Stokes 公式 . 证先证式. 具体证明参阅 P292. Stokes 公式也记为 . 例 5 计算积分 , 其中L 为平面与各坐标平面的交线 , 方向为 : 从平面的上方往 下看为逆时针方向 . P294 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域 . 学习必备欢迎下载 Th 22.5 设R为空间单连通区域 . 若函数、 和在上连续 , 且有一阶连续的偏导数, 则以下四个条件等价 : 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 有; 对于内任一按段光滑的封闭曲线L , 曲线积分 与路径无关 ; 是内某一函数的全微分 ; 在内处处成立 . P294 3. 恰当微分的原函数 : 恰当微分的验证及原函数求法. 例 6 验证曲线积分与路径无关, 并 求被积表达式的原函数. P295