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1、第十四节定积分与微积分基本定理(理) 时间： 45分钟分值： 75 分 一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分) 1(2013 江西卷 )若 S 1 1 2x2dx，S 2 1 21 xdx，S3 1 2exdx，则 S 1， S2，S3的大小关系为 () AS13S1S2.故选 B. 答案B A3 B4 C3.5 D4.5 解析 答案C 3如图所示，图中曲线方程为yx21，用定积分表达围成封 闭图形 (阴影部分 )的面积是 () A. 0 2 x21 dx B. 0 2(x21)dx C. 0 2|x21|dx D. 0 1(x21)dx 0 2(x21)dx 解析面
2、积 S 0 1(1x2)dx 1 2(x21)dx 0 2|x21|dx，故选 C. 答案C 4(2012 湖北卷)已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围图形的面积为 () A. 2 5 B.4 3 C.3 2 D. 2 解析 答案B 5(2013 湖北卷 )一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情 况而刹车，以速度v(t)73t 25 1t(t 的单位： s，v 的单位： m/s)行 驶至停止在此期间汽车继续行驶的距离(单位： m)是() A125ln5 B825ln11 3 C425ln5 D450ln2 解析令 v(t)0,73t 25 1t0 3t24t320， t
3、4，则汽车行驶的距离为 0 4 v(t)dt 0 4 73t 25 1t dt 7t 3 2 t 225ln 1t |4 074 3 24 225ln50425ln5， 故选 C. 答案C 6(2014 武汉调研 )如图，设 D 是图中边长分别为1 和 2 的矩形 区域， E 是 D 内位于函数 y 1 x(x0)图象下方的区域 (阴影部分 )，从 D 内随机取一个点 M，则点 M 取自 E 内的概率为 () A. ln2 2 B.1ln2 2 C.1ln2 2 D.2ln2 2 解析 答案C 二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分) 7(2013 湖南卷)若 0 Tx
4、2dx9，则常数 T 的值为 _ 解析 0 Tx2dxx 3 3 |T 0 T 3 3 9，T3. 答案3 8(2014 厦门市质检 )计算： 0 1(x2 1x 2)dx_. 解析 0 1(x2 1x2)dx 0 1x2dx 0 1 1x2dxx 3 3 1 01 4 1 3 4. 答案 1 3 4 9已知函数 yf(x)的图象是折线段 ABC，其中 A(0,0)、B 1 2，5 、 C(1,0)函数 yxf(x)(0x1)的图 象与 x 轴围成的图形的面积为 _ 解析设直线为 ykxb，代入 A，B两点，得 y10x. 代入 B，C 两点，则 51 2kb， 0kb， k10，b10. f
5、(x) 10x，0x 1 2， 10x10， 1 2x1. yxf(x) 10x 2， 0x1 2， 10x210x， 1 2x1. 答案 5 4 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 10 分，共 30 分) 10若 f(x)是一次函数， 且 0 1f(x)dx5， 0 1xf(x)dx17 6 ，求 1 2f x x dx 的值 解f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0) 由 0 1(axb)dx5，得 1 2ax 2 bx | 1 0 1 2ab5. 由 0 1xf(x)dx17 6 ，得 0 1(ax2bx)dx17 6 . 即 1 3ax 31 2bx 2 |1 017 6
6、. 1 3a 1 2b 17 6 . 解，得 a4，b3.f(x)4x3. 于是 1 2f x x dx 1 24x3 x dx 1 2(43 x)dx (4x3lnx)|2 183ln24 43ln2. 11(2013 日照调研 )如图，直线 ykx分抛物线 yxx 2 与 x 轴 所围图形为面积相等的两部分，求k 的值 解抛物线 yxx 2 与 x 轴两交点的横坐标x10，x21， 所以抛物线与 x 轴所围图形的面积 S 0 1(xx2)dx x2 2 x3 3 |1 0 1 2 1 3 1 6. 又可得抛物线 yxx2与 ykx 两交点的横坐标为x10， x2 1k， 所以 S 2 1k
7、 0(xx 2kx)dx 1k 2 x 2x 3 3 |1 k 0 1 6(1k) 3. 又知 S1 6，所以(1k) 31 2. 于是 k1 3 1 21 3 4 2 . 12设函数 f(x)x 3ax2bx 在点 x1 处有极值 2. (1)求常数 a，b 的值； (2)求曲线 yf(x)与 x 轴所围成的图形的面积 解(1)由题意知，f(x)3x22axb， f(1)2，且 f(1)0， 即 1ab2， 32ab0， 解得 a0， b3. (2)由(1)可知， f(x)x 33x. 作出曲线 yx33x 的草图如图， 所求面积为阴影部分的面积， 由 x 33x0 得曲线 yx33x 与 x 轴的交点坐标是 ( 3，0)，(0,0)和( 3，0)，而 yx 33x 是 R 上的 奇函数，所以函数图象关于原点成中心对称 所以所求图形的面积为