《【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题7第27练(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考前三个月】高考数学必考题型过关练：专题7第27练(含答案).pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第 27 练与直线和圆有关的最值问题 题型一有关定直线、定圆的最值问题 例 1已知 x，y 满足 x2y50，则 (x1)2 (y 1)2的最小值为 () A. 4 5 B.2 5 C.2 5 5 D. 10 5 破题切入点直接用几何意义 距离的平方来解决，另外还可以将x2y50 改写成 x 52y，利用二次函数法来解决 答案A 解析方法一(x1) 2(y1)2 表示点 P(x，y)到点 Q(1,1)的距离的平方 由已知可知点P 在直线 l：x2y50 上， 所以 |PQ|的最小值为点Q 到直线 l 的距离， 即 d |12 15| 12 2 2 5 5 ， 所以 (x1)2 (y 1)2的最
2、小值为d24 5.故选 A. 方法二由 x2y50，得 x52y， 代入 (x1)2 (y 1)2并整理可得 (52y1) 2 (y 1)24(y2)2(y1)2 5y2 18y17 5(y 9 5) 24 5， 所以可得最小值为 4 5. 题型二有关动点、动直线、动圆的最值问题 例 2直线 l 过点 P(1,4)，分别交 x 轴的正方向和y 轴的正方向于A、B 两点当 |OA|OB|最 小时， O 为坐标原点，求l 的方程 破题切入点设出直线方程，将|OA|OB|表示出来，利用基本不等式求最值 解依题意， l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线 l 的斜率为k，则 y4k(x1)(k0)与圆
3、x2y24 交于不同的两点A， B，O 是坐标原点，且有|OA OB | 3 3 |AB |，那么 k 的取值范围是 () A(3， ) B2， ) C2， 2 2) D 3，22) 破题切入点结合图形分类讨论 答案C 解析当|OA OB | 3 3 |AB |时，O， A， B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中 OA OB， AOB 120 ， 从而圆心O 到直线 xyk0(k0)的距离为1， 此时 k2； 当 k2时， |OA OB | 3 3 |AB |，又直线与圆x 2y24 存在两交点，故 k22，综上， k 的取值范围是 2，22)，故选 C. 总结提高(1)主要类型： 圆外一点与
4、圆上任一点间距离的最值 直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值 过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值 直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线段长的最小值问题 两圆相离，两圆上点的距离的最值 已知圆上的动点Q(x，y)，求与点 Q 的坐标有关的式子的最值，如求axby，axby cxdy等的最 值，转化为直线与圆的位置关系 (2)解题思路： 数形结合法：一般结合待求距离或式子的几何意义，数形结合转化为直线与直线或直线与 圆的位置关系求解 函数法：引入变量构建函数，转化为函数的最值求解 (3)注意事项： 准确理解待求量的几何意义，准确转化为直线与直线或直线与圆的相应的位置关系； 涉及切线段
5、长的最值时，要注意切线，圆心与切点的连线及圆心与切线段另一端点的连线 组成一个直角三角形 1若动点A，B 分别在直线l1：x y70 和 l2：xy 50 上移动，则 AB 的中点 M 到原 点的距离的最小值为() A3 2 B2 2 C3 3 D42 答案A 解析依题意知， AB 的中点 M 的集合是与直线l1：xy7 0 和 l2：xy5 0 距离都相等 的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M 所在直线的方程为l：x y m 0，根据平行线间的距离公式得 |m7| 2 |m5| 2 ? |m 7| |m5|? m 6， 即 l： xy60，根据点到直线的距离公式， 得
6、 M 到原点的距离的最小值为 |6| 2 32. 2已知点 M 是直线 3x4y20 上的动点， 点 N 为圆 (x1) 2(y1)21 上的动点， 则|MN| 的最小值是 () A. 9 5 B 1 C.4 5 D. 13 5 答案C 解析圆心 (1， 1)到点 M 的距离的最小值为点(1， 1)到直线的距离d| 342| 5 9 5， 故点 N 到点 M 的距离的最小值为d1 4 5. 3已知 P 是直线 l：3x 4y110 上的动点， PA，PB 是圆 x 2 y2 2x2y10 的两条切 线， C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是() A.2 B 2 2 C.3 D2 3
7、 答案C 解析如图所示，圆的标准方程为(x1) 2 (y 1)21， 圆心为 C(1,1)，半径为r1. 根据对称性可知四边形P ACB 面积等于 2SAPC21 2|PA|r|P A|， 故|PA|最小时，四边形P ACB 的面积最小， 由于 |PA|PC|21， 故|PC|最小时， |PA|最小， 此时，直线CP 垂直于直线l：3x4y110， 故|PC|的最小值为圆心C 到直线 l：3x 4y110 的距离 d |3411| 3 242 10 5 2， 所以 |PA|PC|212213. 故四边形PACB 面积的最小值为3. 4(2013 江西 )过点 (2，0)引直线 l 与曲线 y1
8、x 2相交于 A、 B 两点， O 为坐标原点，当 AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 () A. 3 3 B 3 3 C 3 3 D3 答案B 解析SAOB 1 2|OA|OB|sinAOB 1 2sinAOB 1 2. 当AOB 2时， S AOB面积最大 此时 O 到 AB 的距离 d 2 2 . 设 AB 方程为 yk(x2)(k0)，即 kxy2k 0. 由 d |2k| k 21 2 2 ，得 k 3 3 . 5过点P(1,1)的直线，将圆形区域( x，y)|x 2y2 4分为两部分，使得这两部分的面积之差 最大，则该直线的方程为() Axy20 By10 Cxy0 D
9、x3y40 答案A 解析由题意知，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件 圆心 O 与 P 点连线的斜率k1， 所以直线OP 垂直于 xy 20，故选 A. 6(2014 杭州模拟 )已知 x，y y 0， y4x 2 ，直线 ymx2m 和曲线 y4x2有 两个不同的交点，它们围成的平面区域为M，向区域 上随机投一点A，点 A 落在区域M 内 的概率为P(M)，若 P(M) 2 2，1 ，则实数 m 的取值范围是() A. 1 2，1 B. 0， 3 3 C. 3 3 ，1D0,1 答案D 解析画出图形， 不难发现直线恒过定点(2,0)，圆是上半圆， 直线过 (2,0)，(0,2
10、)时，向区域上随机投一点A， 点 A 落在区域M 内的概率为P(M)， 此时 P(M) 2 2 ， 当直线与x 轴重合时， P(M)1， 故直线的斜率范围是0,1 7在平面直角坐标系xOy 中，圆 C 的方程为x 2y28x150，若直线 y kx2 上至少存 在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 _ 答案 4 3 解析可转化为圆C 的圆心到直线ykx2 的距离不大于2. 圆 C 的标准方程为(x4)2 y21，圆心为 (4,0) 由题意知 (4,0)到 kxy2 0 的距离应不大于2， 即 |4k2| k 21 2. 整理，得3k24k 0，解得 0k
11、4 3. 故 k 的最大值是 4 3. 8直线 l 过点 (0， 4)，从直线l 上的一点P 作圆 C：x 2y22y0 的切线 PA，PB(A，B 为 切点 )，若四边形PACB 面积的最小值为2，则直线l 的斜率 k 为_ 答案 2 解析易知圆的半径为1，因为四边形PACB 的最小面积是2，此时切线段长为2，圆心 (0,1) 到直线 ykx4 的距离为5，即 5 1k 2 5，解得 k 2. 9若直线 axby 1过点 A(b，a)，则以坐标原点O 为圆心， OA 长为半径的圆的面积的最小 值是 _ 答案 解析直线 axby1 过点 A(b， a)， abab1. ab 1 2. 又 OA
12、a2b2， 以 O 为圆心， OA 为半径的圆的面积为 SOA 2(a2b2) 2ab ， 面积的最小值为. 10与直线x y4 0 和圆A： x 2 y2 2x 2y0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是 _ 答案(x1)2(y1)22 解析易知所求圆C 的圆心在直线y x 上，故设其坐标为C(c， c)，又其直径为圆A 的 圆心 A(1,1)到直线 xy40 的距离减去圆A 的半径，即 2r 6 2 22 2? r2， 即圆心 C 到直线 xy 40 的距离等于2， 故有 |2c4| 2 2? c3 或 c1， 结合图形当c3 时圆 C 在直线 xy40 下方，不符合题意，故所求圆的方程为
13、(x1)2(y 1) 22. 11已知点P(x，y)是圆 (x2) 2y21 上任意一点 (1)求点 P 到直线 3x4y120 的距离的最大值和最小值； (2)求y2 x1的最大值和最小值 解(1)圆心 C(2,0)到直线 3x4y12 0 的距离为d|3 2 4012| 3 242 6 5. 所以点 P 到直线 3x4y120 的距离的最大值为dr 6 51 11 5 ， 最小值为dr 6 51 1 5. (2)设 k y2 x1， 则直线 kx yk20 与圆 (x2)2y21 有公共点， |3k2| k 21 1， 33 4 k3 3 4 ， kmax 33 4 ，kmin 33 4
14、. 即 y 2 x 1的最大值为 33 4 ，最小值为 33 4 . 12已知圆M 的方程为x 2y22x2y60，以坐标原点 O 为圆心的圆O 与圆 M 相切 (1)求圆 O 的方程； (2)圆 O 与 x 轴交于 E，F 两点，圆 O 内的动点 D 使得 |DE|，|DO|，|DF |成等比数列，求DE DF 的取值范围 解(1)圆 M 的方程可整理为(x1)2(y 1)28， 故圆心 M(1,1)，半径 R22. 圆 O 的圆心为O(0,0)， 因为 |MO|222， 所以点 O 在圆 M 内，故圆O 只能内切于圆M. 设圆 O 的半径为r， 因为圆 O 内切于圆M， 所以 |MO|Rr， 即222 r， 解得 r2. 所以圆 O 的方程为x2 y2 2. (2)不妨设 E(m,0)，F(n,0)，且 mn. 故 E(2，0)，F(2，0) 设 D(x，y)，由 |DE|，|DO|， |DF|成等比数列， 得|DE|DF |DO|2， 即x2 2y2 x2 2y2x2y2， 整理得 x2 y21. 而DE (2x， y)，DF (2x， y)， 所以 DE DF (2x)(2x)(y)( y) x2y222y21. 由于点 D 在圆 O 内，故有 x 2y22， x 2y21， 得 y21 2， 所以 12y2 10， 即DE DF 1,0)