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1、第 11 练寻图有道，破解有方 函数的图象问题 题型一对函数图象的直接考查 例 1(2013 四川 )函数 y x 3 3 x1的图象大致是 () 破题切入点从函数定义域入手，考虑函数变化趋势，借助特殊值 答案C 解析由 3x10 得 x 0，函数 y x 3 3 x1的定义域为 x|x0 ，可排除选项 A；当 x 1 时， y 1 3 1 3 1 3 20，可排除选项 B；当 x 2时， y1，当 x4 时，y 64 80，但从选项 D 的函 数图象可以看出函数在(0， )上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选 C. 题型二对函数零点的考查 例 2已知函数f(x)满足 f(x)f(1
2、 x )，当 x1,3 时， f(x)ln x若在区间 1 3，3内，函数 g(x) f(x) ax 与 x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是() A(0， 1 e) B(0， 1 2e) Cln 3 3 ， 1 e) D ln 3 3 ， 1 2e) 破题切入点求出 f(x)在1 3，3上的解析式，数形结合解决 答案C 解析由题意可知当x 在区间 1 3， 1内时， 1 x1,3 ， f(x) f( 1 x) ln 1 x ln x，则f(x) ln x，x1 3，1 ， ln x，x1，3， 函数 g(x)f(x)ax 与 x 轴有三个不同的交点，即 f(x) ax0 有三个不
3、同的根，即f(x) ax 有三个不同的根，即函数f(x)的图象与直线yax 有三个不同的交点，当 x 在区间 1 3，1)上时，函数 f(x)的图象与直线yax 有一个交点，当x1,3时，函数f(x)的图 象与直线yax 有两个交点当直线yax 过点 (3，ln 3)时， a 的值满足ln 33a，即 a ln 3 3 ； 当直线 yax 与 f(x)相切时，设切点为(x0，ln x0)，则点 (x0， ln x0)在直线上，故 ln x0ax0，而 a(ln x)| 0 x x 1 x0，所以 ln x 01，x0e，即 a 1 x0 1 e，函数 f(x)的图象与直线 yax 有三个 不同
4、的交点，则a 的取值范围是ln 3 3 ， 1 e) 题型三综合考查函数图象 例 3已知函数f(x)的图象与函数h(x) x 1 x 2 的图象关于点A(0,1)对称 (1)求 f(x)的解析式； (2)若 g(x) f(x) xax，且 g(x)在区间 0,2上为减函数，求实数a 的取值范围 破题切入点(1)根据对称性求f(x)的解析式，考查函数图象的对称变换 (2)求出 g(x)的解析式，根据二次函数求字母a 的取值范围 解(1) f(x)的图象与h(x)的图象关于点A(0,1)对称，设f(x)图象上任意一点坐标为B(x，y)， 其关于 A(0,1)的对称点为B(x，y)，则 xx 2 0
5、， yy 2 1， x x， y2y. B(x，y )在 h(x)上， y x 1 x 2. 2 y x 1 x 2， y x1 x，即 f(x)x 1 x. (2)g(x)x 2ax 1， 又 g(x)在0,2上为减函数， a 22，即 a4. a 的取值范围为 (， 4 总结提高(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊 值首先考虑坐标轴上的点 (2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟 悉图象所能够表达的函数的性质 (3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数 的性质，并以此
6、为依据进行分析、推断，才是正确的做法 (4)在解决综合问题时，图象只能作为分析工具而不能作为解题过程，在应用过程中要使图象 尽量准确 1(2013 山东 )函数 yxcos xsin x 的图象大致为 () 答案D 解析函数 yxcos xsin x 为奇函数，排除B.取 x 2，排除 C；取 x ，排除 A，故选 D. 2(2014 课标全国 ) 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为 射线 OP， 过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M， 将点 M 到直线 OP 的距离表示成x 的函数 f(x)， 则 yf(x)在0， 的图象大致为(
7、) 答案B 解析 如图所示， 当 x(0， 2)时，则 P(cos x， sin x)， M(cos x,0)， 作 MM OP， M为垂足， 则 |MM | |OM| sin x， f x cos xsin x，f(x)sin xcos x 1 2sin 2x，则当 x 4时，f(x)max 1 2；当 x ( 2， )时， 有 f x |cos x|sin( x)，f(x) sin xcos x 1 2sin 2x，当 x 3 4 时， f(x)max 1 2.只有 B 选项的图象 符合 3(2014 山东 )已知函数f(x)|x 2| 1，g(x)kx，若方程 f(x)g(x)有两个不相
8、等的实根，则 实数 k 的取值范围是 () A(0， 1 2) B(1 2，1) C(1,2) D(2， ) 答案B 解析 先作出函数f(x) |x2|1 的图象，如图所示，当直线g(x)kx 与直线 AB 平行时斜率为1， 当直线 g(x) kx 过 A 点时斜率为 1 2，故 f(x)g(x)有两个不相等的实根时， k 的范围为 (1 2，1) 4已知函数f(x)2 x2，则函数 y|f(x)|的图象可能是() 答案B 解析函数 f(x)2 x2 是把函数 y2 x 的图象向下平移两个单位长度得到的，由2 x22a(x 2)4. 解(1) 24 kb 416 kb ? b 0，k 1 2?
9、 f(x) x. (2)设 M(x，y)是曲线 y g(x)上任意一点， 由于函数g(x)与 f(x)的图象关于直线yx 对称， 所以 M(x，y) 关于直线 yx的对称点 M(y， x)必在曲线 y f(x)上， 所以 xy， 即 yx2， 所以 g(x)x2(x 0)， 于是 g(x)g(x2)2a(x2)4 ? x20 x 2 x222a x2 4 ? x2 xa x2 0 . 若 a2，则不等式的解集为 x|x2 ； 若 a2，则不等式的解集为 x|xa 12已知函数yf(x)的定义域为R，并对一切实数x，都满足f(2x)f(2 x) (1)证明：函数yf(x)的图象关于直线x2 对称
10、； (2)若 f(x)是偶函数，且x0,2 时， f(x)2x1， 求 x4,0时 f(x)的表达式 (1)证明设 P(x0，y0)是函数 yf(x)图象上任一点， 则 y0f(x0)，点 P 关于直线 x2 的对称点为P(4x0，y0) 因为 f(4x0)f2 (2x0) f2(2x0)f(x0)y0， 所以 P也在 yf(x)的图象上， 所以函数yf(x)的图象关于直线x2 对称 (2)解当 x 2,0时， x0,2， 所以 f(x) 2x 1.又因为 f(x)为偶函数， 所以 f(x)f(x) 2x1，x2,0 当 x4， 2时， 4x0,2， 所以 f(4x)2(4 x) 12x7， 而 f(4 x) f( x) f(x)， 所以 f(x)2x7，x4， 2 所以 f(x) 2x7， x4， 2， 2x1，x2，0.