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1、第 13 练以函数为背景的创新题型 题型一新定义函数名称的问题 例 1定义在 (， 0)(0， )上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列an， f(an) 仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”现有定义在 (， 0)(0， )上的如下函 数： f(x)x 2； f(x) 2x； f(x)|x|； f(x)ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为 () ABCD 破题切入点准确把握严格按照“保等比数列函数”的概念逐个验证 答案C 解析等比数列性质，anan2a2 n1， f(an)f(an2)a2 na 2 n2(a 2 n1) 2f2(a n1)； f(an)
2、f(an2)2an2an22anan2f 2(a n1)； f(an)f(an2) |anan2|an1| 2 f2(an1)； f(an)f(an2)ln |an|ln |an2|(ln |an1|)2 f2(an1) 题型二新定义函数的性质或部分性质问题 例 2设函数 f(x)的定义域为D， 如果对于任意的x1D， 存在唯一的x2D，使得 f x1f x2 2 C 成立 (其中 C 为常数 )，则称函数yf(x)在 D 上的均值为C.现在给出下列4 个函数： yx 3； y 4sin x； ylg x； y2 x.则在其定义域上的均值为 2 的所有函数是() AB CD 破题切入点如何求均
3、值？按定义，能否使均值为2? 答案D 解析经验证， 是符合题意的；对于，x2不唯一；对于 ，若满足题中的定义，则f(x1) f(x2)4，f(x2)4 f(x1)，由 x1的任意性，知f(x2)需满足能取到负值，而这是不可能的，故 选 D. 总结提高有关以函数为背景的创新题型，题型主要以选择、填空题尤其以多项选择题为主， 一般是先叙述或新规定一些条件，若满足这些条件则该函数为该类函数或具有该性质，解决 办法是根据我们所学过的其他函数的有关意义和性质来逐个验证加以解决，注意严格准确把 握新定义 1设 D( x， y)|(xy)(xy)0，记“平面区域D 夹在直线y 1 与 yt(t1,1)之间
4、的部分的面积”为S，则函数Sf(t)的图象的大致形状为() 答案C 解析 如图，平面区域D 为阴影部分，当t 1 时，S 0，排除 D；当 t 1 2时， S 1 4S max，排除 A、 B. 2设函数f(x)与 g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意的xa，b，都有 |f(x) g(x)|k(k0)， 则称 f(x)与 g(x)在a， b上是“ k 度和谐函数”， a， b称为“ k 度密切区间” 设 函数 f(x)ln x 与 g(x) mx1 x 在1 e，e上是“ e 度和谐函数”，则 m 的取值范围是 () Ae1,1 B1，e1 C1 ee,1e D 1 e1e,1
5、e 答案B 解析设 h(x) f(x)g(x)ln x mx1 x m 1 x ln x， h(x) 1 x 2 1 x x1 x 2 ， 故当 x 1 e，1)时， h(x)1 e1， 所以 h(1 e)h(e)， 故函数 h(x)的最大值为h(1 e) m e1. 故函数 h(x)在 1 e，e上的值域为 m1， m e1 由题意，得 |h(x)|e，即 eh(x) e， 所以 m 1 e， m e1e， 解得 1m1e. 3对于函数f(x)，若任意的a，b，cR，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为 “可构造三角形函数”已知函数f(x) e xt e x1是“
6、可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围 是() A1 2，2 B0,1 C1,2 D(0， ) 答案A 解析因为对任意的实数x1，x2，x3R， 都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形， 故 f(x1)f(x2)f(x3)对任意的 x1，x2，x3R 恒成立 由 f(x) e xt e x11 t1 e x1， 设 ex1m(m1)，则原函数可化为f(m)1t1 m (m1)， 当 t1 时，函数f(m)在(1， )上单调递减， 所以 f(m)(1，t)，此时 2f(x3)对任意的 x1，x2，x3R 恒成立， 需 t 2，所以 1f(x3)对任意的 x1，x2，x3R
7、恒成立， 需满足 2t 1，所以 1 2t0， x24x，x 0， 则此函数的“友好点对”有() A0 对B1 对C2 对D3 对 答案C 解析函数 f(x) log2x x0 ， x24x x0 的图象及函数f(x) x24x(x0)的图象关于原点对称的图象如图所示，则A，B 两点关于原 点的对称点一定在函数f(x) x 24x(x 0)的图象上，故函数 f(x)的“友好点对 ”有 2 对，选 C. 5(2014 山东 )对于函数f(x)，若存在常数a0， 使得 x 取定义域内的每一个值，都有 f(x)f(2a x)，则称 f(x)为准偶函数下列函数中是准偶函数的是() Af(x)xBf(x
8、) x 2 Cf(x)tan xDf(x)cos(x1) 答案D 解析由 f(x)f(2ax)知 f(x)的图象关于xa 对称， 且 a0， A，C 中两函数图象无对称轴， B 中函数图象对称轴只有x0， 而 D 中当 ak 1(kZ)时， xa 都是 y cos(x1)的图象的对称轴故选D. 6(2014 辽宁 )已知定义在 0,1 上的函数f(x)满足： f(0)f(1) 0； 对所有x，y0,1，且 xy，有 |f(x)f(y)|g(x)恒成立， 则实数 b 的取值范围是_ 答案(210， ) 解析由已知得 h x 4x 2 2 3xb，所以h(x)6x2b4x2.h(x)g(x)恒成立
9、，即 6x 2b4x 2 4x 2，3xb 4x2恒成立 在同一坐标系内，画出直线y3x b 及半圆 y4 x 2(如图所示 )，可得b 102，即 b2 10， 故答案为 (210， ) 11若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四 个函数： f1(x)2log2x，f2(x)log2 (x2)，f3(x)(log2x)2，f4(x)log2(2x)则“同形”函数是 _ 答案f2(x)与 f4(x) 解析f4(x)log2(2x)1log2x，将其向下平移 1 个单位得到f(x)log2x，再向左平移2 个单 位， 即得到 f2(x)log2(x2)的图
10、象故根据新定义得， f2(x)log2 (x2)与 f4(x)log2 (2x)为“同 形”函数 12已知集合A1,2,3 ， 2n( nN *)对于 A 的一个子集 S，若 S满足性质P：“存在不 大于 n 的正整数m，使得对于S中的任意一对元素s1，s2，都有 |s1s2|m”，则称 S为理想 集对于下列命题： 当 n10 时，集合B xA|x9 是理想集； 当 n10 时，集合C x A|x3k1，kN *是一个理想集； 当 n1 000 时，集合S是理想集，那么集合T2 001 x|xS 也是理想集 其中的真命题是_(写出所有真命题的序号) 答案 解析根据元素与集合的关系，根据理想集的
11、定义逐一验证，集合的元素是否具有性质P，并 恰当构造反例，进行否定 (1)当 n10 时，A1,2,3 ，19,20 ，BxA|x910,11,12 ，19,20 因为对任意不 大于 10 的正整数m，都可以找到该集合中两个元素b110 与 b210m，使得 |b1 b2|m 成 立因而B 不具有性质P，不是理想集，故为假命题 (2)对于 CxA|x3k 1，kN *，因为可取 m110，对于该集合中任意一对元素 c13k1 1， c23k21，k1，k2N *，都有 |c 1c2|3|k1k2|1.故 C 具有性质P，为真命题； (3)当 n1 000 时，则 A1,2,3 ，1 999,2 000 ，因为 T 2 001 x|xS，任取 t 2 001 x0T， 其中 x0S，S? A，所以 x0 1,2,3，2 000 ，从而 12 001 x0 2 000，即 tA， 所以 T? A.由 S具有性质P，就是存在不大于1 000 的正整数 m，使得对S中的任意一对元素 s1， s2， 都有 |s1s2|m.对于上述正整数m， 从集合 T 2 001 x|xS中任取一对元素t1 2 001 x1，t22 001x2，其中 x1，x2S，则有 |t1t2| |x1 x2|m，所以集合 T2 001 x|xS 具有性质P， 为真命题故填 .