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1、第 18 练存在与恒成立问题 题型一不等式的恒成立问题 例 1已知函数f(x) ax1 ln x，aR. (1)讨论函数f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在 x 1 处取得极值，对 ? x(0， )，f(x)bx2 恒成立， 求实数 b 的取值范 围 破题切入点有关不等式的恒成立求参数范围的问题，通常采用的是将参数分离出来的方法 解(1)在区间 (0， )上， f(x)a1 x ax1 x ， 当 a0 时， f (x)0 时，令 f(x)0 得 x1 a，在区间 (0， 1 a)上， f(x)0，函数 f(x)单调递增 综上所述：当a0 时， f(x)的单调递减区间是(0， )，
2、无单调递增区间； 当 a0 时， f(x)的单调递减区间是(0， 1 a)， 单调递增区间是(1 a， ) (2)因为函数f(x)在 x1 处取得极值， 所以 f(1)0，解得 a1， 经检验可知满足题意 由已知 f(x)bx2，即 x1ln xbx2， 即 1 1 x ln x x b 对 ? x(0， )恒成立， 令 g(x)1 1 x ln x x ， 则 g(x) 1 x 21ln x x 2 ln x2 x 2， 易得 g(x)在(0，e2上单调递减，在 e 2， )上单调递增， 所以 g(x)min g(e2)1 1 e 2， 即 b1 1 e 2. 题型二存在性问题 例 2已知函
3、数f(x) ax3bx2cx 在 x 1 处取得极值，且在x0 处的切线的斜率为3. (1)求 f(x)的解析式； (2)若过点 A(2， m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m 的取值范围 破题切入点(1)利用极值处导数为0 及导数的几何意义求出f(x) (2)借助导数几何意义表示切线方程，然后分离参数，利用数形结合求m 范围 解(1)f(x)3ax22bxc. 依题意 f 1 3a2bc0， f 1 3a2bc0， ? b0， 3a c0. 又 f (0) 3，c 3，a 1，f(x)x33x. (2)设切点为 (x0，x 3 03x0)， f(x)3x 23.f(x 0)3x 2 0
4、3. 切线方程为y(x3 03x0)(3x 2 03)(xx0) 又切线过点A(2，m) m(x3 03x0)(3x 2 03)(2x0) m 2x3 0 6x 2 06. 令 g(x) 2x36x2 6， 则 g(x) 6x 212x 6x(x2)， 由 g(x)0 得 x0 或 x2. g(x)极小值 g(0) 6， g(x)极大值g(2)2. 画出草图如右图 当 60，函数 f(x)ln xax2，x0.(f(x)的图象连续不断) (1)求 f(x)的单调区间； (2)当 a 1 8时，证明：存在 x0(2， )，使 f(x0) f 3 2 ； (3)若存在均属于区间1,3的 ， ，且
5、1，使 f( )f( )，证明： ln 3ln 2 5 ln 2 3 . 破题切入点考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，解不等式函数的零点等基础知 识，既有存在，又有恒成立问题 (1)解f(x)1 x2ax 12ax 2 x ，x(0， )， 令 f (x)0，解得 x 2a 2a ， 当 x 变化时， f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0， 2a 2a 2a 2a 2a 2a ， f(x)0 f(x)极大值 所以 f(x)的单调递增区间是 0， 2a 2a ，f(x)的单调递减区间是 2a 2a ， . (2)证明当 a 1 8时， f(x)ln x 1 8x 2. 由(1)知
6、 f(x)在(0,2)内单调递增，在(2， )内单调递减 令 g(x)f(x)f 3 2 ， 由于 f(x)在(0,2)内单调递增， 故 f(2) f 3 2 ，即 g(2)0. 取 x3 2e2，则 g(x) 419e 2 32 2，且 g(x)x 1 2 x. 令 f(x)x 1 2 x， f(x)1 2 xln 20. f(x)在(0， )上单调递增， f(x)f(0)01 1， a 的取值范围为 (1， )，故选 D. 2已知函数f(x)2ax 33ax21，g(x)a 4x 3 2，若任意给定的 x00,2，总存在两个不同 的 xi(i1,2)0,2，使得 f(xi) g(x0)成立
7、，则实数 a 的取值范围是 () A(， 1) B(1， ) C(， 1)(1， ) D1,1 答案A 解析当 a0 时，显然不成立，故排除D； 当 a0 时，注意到f(x)6ax26ax6ax(x1)， 即 f(x)在0,1上是减函数，在1,2上是增函数， 又 f(0)1g x 的最大值， f x 的最小值 a 2 3 2， 1 4a2 或 m 1 y 21 Bln(x 21)ln( y21) Csin xsin y Dx 3y3 答案D 解析因为 0y.采用赋值法判断，A 中，当 x 1，y0 时， 1 20， (x)在(0,1上递增， (x)max (1) 6. a 6. 当 x2,0)
8、时， a x 24x3 x 3， a x 24x3 x 3min. 仍设 (x) x 24x3 x 3 ， (x) x9 x1 x 4 . 当 x2， 1)时， (x)0. 当 x 1 时， (x)有极小值，即为最小值 而 (x)min ( 1) 143 1 2，a2. 综上知 6a2. 7设函数 f(x)ax 3 3x1(xR)，若对于任意 x1,1，都有 f(x)0 成立，则实数a 的值 为_ 答案4 解析若 x0，则不论a 取何值， f(x)0 显然成立； 当 x0 时，即 x (0,1时， f(x)ax33x10 可化为 a 3 x 2 1 x 3. 即 g(x) 3 x 2 1 x
9、3， 则 g(x) 3 12x x 4， 所以 g(x)在区间 (0， 1 2上单调递增，在区间 1 2，1上单调递减， 因此 g(x)max g(1 2)4，从而 a4. 当 x0，因此函数f(x)在0,1 上单调递增，所以x0,1 时， f(x)min f(0) 1.根据题意可知存在x1,2，使得 g(x)x22ax4 1，即 x22ax50，即 a x 2 5 2x 能成立，令h(x) x 2 5 2x，则要使 ah(x)在 x1,2能成立，只需使ah(x)min，又函 数 h(x) x 2 5 2x 在 x1,2上单调递减，所以h(x)minh(2) 9 4，故只需 a 9 4. 10
10、(2014 浙江 )已知函数f(x)x 33|xa|(aR) (1)若 f(x)在1,1上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求 M(a)m(a)； (2)设 bR，若 f(x) b 24 对 x1,1恒成立，求 3ab 的取值范围 解(1)因为 f(x) x 33x3a，xa， x 33x3a，x0，t(a)在 0， 1 3 上是增函数， 故 t(a)t(0) 2， 因此 23ab0. 当 1 30； 当 x1 时， f(x)ln x (xln xx1) ln xx ln x 1 x1 ln xx ln 1 x 1 x 1 0. (x1)f(x) 0. 综上，在定义域内满足(x1)f
11、(x)0 恒成立 12(2014 陕西 )设函数 f(x)ln x m x ，mR. (1)当 me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值； (2)讨论函数g(x)f(x) x 3零点的个数； (3)若对任意ba0， f b f a ba 0，f(x)在(e， )上单调递增， 当 xe 时， f(x)取得极小值f(e)ln e e e2， f(x)的极小值为2. (2)由题设 g(x)f(x) x 3 1 x m x 2 x 3(x0)， 令 g(x)0，得 m 1 3x 3x(x0) 设 (x) 1 3x 3x(x 0)， 则 (x) x21 (x 1)(x1)， 当 x(0,1)时， (x)0， (x)在(0,1)上单调递增； 当 x(1， )时， (x)2 3时，函数 g(x)无零点； 当 m 2 3时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 02 3时，函数 g(x)无零点； 当 m 2 3或 m0 时，函数 g(x)有且只有一个零点； 当 0a0， f b f a ba 0)， (*) 等价于 h(x)在(0， )上单调递减 由 h(x) 1 x m x 210 在(0， )上恒成立， 得 mx2x (x 1 2) 21 4(x0)恒成立， m 1 4(对 m 1 4，h(x)0 仅在 x 1 2时成立 )， m 的取值范围是1 4， )