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1、第一章解三角形 11正弦定理和余弦定理 11.1正弦定理 1在 ABC 中，若 sinAsinB，则有 () Aab Da，b 的大小关系无法确定 2在 ABC 中， AB3，A45 ，C75 ，则 BC() A33 B.2 C2 D33 3在 ABC 中，若 sinAsinB，则 ABC 一定是 () A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 4在 ABC 中，下列关系中一定成立的是() AabsinABabsinA CasinAsinB，则 ABC 是() A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3已知在 ABC 中， sinAsinBsinC357
2、，那么这个三角形的最大角是() A135 B90 C120 D150 4若三角形三边长如下：3,5,7； 10,24,26； 21,25,28.其中锐角三角形，直角三角 形，钝角三角形的顺序依次为() A B C D 5 (2013 年安徽 )设 ABC 的内角 A， B， C 所对边的长分别为a， b， c， 若 bc 2a,3sinA 5sinB，则角 C() A. 3 B.2 3 C.3 4 D.5 6 6在 ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，A 6，a25，b50，则 B _. 7在 ABC 中， a，b，c 分别是角 A，B，C 所对的边，已知a3，b 3，C3
3、0 ， 则 A _. 8在 ABC 中， B45 ，C60 ， c1，则最短边的长等于() A. 6 3 B. 6 2 C.1 2 D. 3 2 9在 ABC 中，若 a 2sinCbcsinA，则 ABC 的形状是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 10在 ABC 中，若 (a 2 b2)sin(AB)(a2b2) sin(AB)，试判断 ABC 的形状 1.2应用举例 12.1测量距离或高度问题 1若水平面上点B 在点 A 南偏东 30 方向上，则点A 处测得点 B 的方位角是 () A60 B120 C150 D210 2如图 K1-2-1，为测一
4、河两岸相对两电线杆A，B 之间的距离，在距点A 处 15 m 的 C 处(ACAB)测得 ACB50 ，则 AB 之间的距离应为() 图 K1-2-1 A15sin50 m B15cos50 m C15tan50 m D15 m 3某人在山外一点测得山顶的仰角为45 ，然后退后30 m，测得山顶的仰角为30 ， 则山高为 () A30 m B15 3 m C15(31) m D(30 330) m 4A，B 是海平面上两点，相距800 m，在点 A 测得山顶C 的仰角为45 ，其中 D 是点 C 在水平面的垂足，BAD120 ，又在点B 测得 ABD45 ，山高 CD 为() A800( 31
5、) m B800(31) m C800 3 m D800(62) m 5如图 K1-2-2，一艘海轮从A 处出发，以40 海里 /时的速度沿东偏南50 方向直线航 行， 30 分钟后到达B 处在 C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20 ， 在 B 处观察灯塔，其方向是北偏东65 ，那么 B，C 两点间的距离是() 图 K1-2-2 A10 2海里 B10 3海里 C20 2海里 D20 3海里 6轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港C，两船航行方向的夹角为120 ，两船 航行的速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h ，则下午2 时两船之间的距
6、离是_n mile. 7 一树干被台风吹断，打断部分与残存树干成30 角，树干底部与树尖着地处相距5 m， 则树干原来的高度为_m. 8如图 K1- 2-3，在山脚A 处测得山顶S 的仰角为45 ，沿倾斜角为15 的斜坡向上走 100 m 到 B，又测得S的仰角为75 ，则山高为 () 图 K1-2-3 A50 m B50 2 m C50 3 m D50 6 m 9如图 K1- 2-4，隔河看两目标A，B 但不能到达，在岸边选取相距3 km 的 C，D 两 点，并测得 ACB 75 ， BCD45 ， ADC30 ， ADB45 (A，B，C，D 四点在同 一平面内 )，求 A，B 之间的距离
7、 图 K1-2-4 10如图 K1-2-5，设定地平面上一旗杆为OP，为测它的高度h，在地平面上取一基线 AB，AB20 m，在 A 处测得点 P 的仰角为 OAP 30 ，在 B 处测得点P 的仰角 OBP 45 ，又测得 AOB60 ，求旗杆的高h. 图 K1-2-5 1.2.2测量角度问题 1某人沿着倾斜角为的斜坡前进c m，那么他上升的高度是() Acsin Bctan Cccos D. c tan 2在静水中划船的速度是每分钟40 m，水流的速度是每分钟20 m如果船从岸边A 出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船的前进方向应指向河流上游并与河岸垂直方 向所成的角为 () A15
8、 B30 C45 D60 3有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底为6 m，下底长为10 m，高为 2 3 m， 那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别为() A. 3 3 ，60 B.3， 60 C.3，30 D. 3 3 ， 30 4在某点B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进30 m 至点 C 处测 得顶端 A 的仰角为2 ， 再继续前进10 3 m 至点 D， 测得顶端A 的仰角为4 ， 则 () A15 B10 C5 D20 5E，F 是等腰直角三角形ABC 斜边 AB 上的三等分点，则tanECF () A. 16 27 B.2 3 C. 3 3 D.3 4 6
9、一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60 ，行 驶了 4 小时后到达C 处，看到灯塔在北偏东15 ，这时船与灯塔距离是_km. 7如图 K1-2-6，在两面竖直墙壁AB 和 CD 之间的一点P 处放一架梯子，梯子靠上AB 时，与地面成60 角，靠上CD 时，与地面成45 角，已知AB6 m，那么两墙之间的距离 是_m. 图 K1-2-6 8有甲、乙两辆汽车，甲在A 处知乙在北偏东45 距 A 处 10 km 的 C 处，正沿南偏东 75 方向以 9 km/h 的速度开往B 处，甲欲以21 km/h 的速度与乙会合，甲乙会合的最短时间 是_ h. 9 甲船在
10、 A 处， 乙船在 A 处的南偏东45 方向，距 A 有 9 n mile 的 B 处，并以 20 n mile/h 的速度沿西偏南15 方向行驶，若甲船以28 n mile/h 的速度行驶，应沿什么方向，用多少小 时才能尽快追上乙船？ 10如图 K1-2-7，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进 行测量，已知AB50 m，BC120 m，于 A 处测得水深AD80 m，于 B 处测得水深BE 200 m，于 C 处测得水深CF110 m，求 DEF 的余弦值 图 K1-2-7 12.3三角形中的几何计算 13实习作业 (略) 1在 ABC 中，内角A，B， C 的对
11、边分别为a， b，c，若 a6，b 4，C120 ，则 ABC 的面积是 () A12 B6C 12 3D6 3 2在 ABC 中， A60 ，AC16，其面积为220 3，那么 AB 的长度为 () A55 3 B51 C55 D110 3在 ABC 中， a12，b13，C60 ，此三角形的解的情况是() A无解B一解 C二解D不能确定 4在 ABC 中，若 a cosA b cosB c cosC，则 ABC 是 ( ) A直角三角形 B等边三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 5在 ABC 中， a1，B 45 ，SABC2，则 b( ) A3 B4 C5 D 6 6 ABC 的内角
12、 A， B， C 所对的边分别为a， b， c， 若 sinA1 3， b 3sinB， 则 a () A3 3 B.3 C.3 2 D. 3 3 7在 ABC 中， AB5， BC7，AC 8，则 AB BC 的值为 () A79 B69 C5 D 5 8在 ABC 中，角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，acosB5，bsinA12，则 a _. 9在 ABC 中，内角A，B， C 对边的边长分别是a，b，c，已知 c2，C 3. (1)若 ABC 的面积等于3，求 a，b； (2)若 sinC sin(BA)2sin2A，求 ABC 的面积 10如图 K1-2-8，在 ABC 中
13、，已知 B45 ，D 是 BC 边上的一点， AD10，AC14， DC6，求 AB 的长 图 K1-2-8 参考答案 课时作业部分 第一章解三角形 11正弦定理和余弦定理 11.1正弦定理 1C2.A3.A4.D5.D 627. 1 5 8D提示： 由正弦定理可将2asinB3b 化成 2sinAsinB3sinB. 9.1 2 10解： ABC180 ， BC180 A. 又 12cos(BC)0， 12cos(180 A)0. 即 12cosA0，cosA 1 2. 又 0 ba，由 cosC a 2b2c2 2ab 14 7 4 90 .此三角形为钝角三 角形 8D提示： 可设 a2k
14、，b3k，c4k. 92 20， cosC0. 3C4.B5.B 6. 2 7.30 8.A9.A 10解： (a 2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)， b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB) 2sinAcosB b22cosAsinB a2， 即 a2cosAsinBb2sinAcosB. 方法一：由正弦定理，得 sin 2AcosAsinBsin2BsinAcosB. 又 sinA sinB 0， sinAcosAsinBcosB， sin2A sin2B. 在 ABC 中， 02A2 ，02B2 ， 2A2B 或 2A 2B， AB 或 AB 2.
15、 ABC 为等腰三角形或直角三角形 方法二：由正弦定理、余弦定理，得 a 2b b 2 c2a2 2bc b2a a 2c2b2 2ac ， a2(b2c2a2)b2(a2c2b2) (a2b2)(a2b2c2) 0. a2b20 或 a2b2c20. 即 ab 或 a2b2c2. ABC 为等腰三角形或直角三角形 12应用举例 12.1测量距离或高度问题 1C2.C3.C4.A 5A6.707.10 5 3 8D 9解： 在 ACD 中， ADC 30 ， ACD 120 ， CAD30 .ACCD3. 在 BCD 中， CBD180 45 75 60 . 由正弦定理，得BC 3sin75
16、sin60 62 2 . 由余弦定理，得AB 2AC2BC22AC BC cosBCA. AB2 (3)2 62 2 22 3 62 2 cos75 5. AB5 km.故 A，B 之间的距离为5 km. 10解： 在 RtPOA 中， OA OP tan30 3h.同理 OBh. 在 AOB 中，根据余弦定理，得 AB 2OA2OB22OA OBcosAOB， 即 20 23h2h22 3h hcos60 ， h20 5213 3 13 m. 12.2测量角度问题 1A2.B3.B 4A解析： BCCA，CDDA， 设 AE h，则 h sin2 30， h sin4 10 3， 2cos2
17、 3.cos2 3 2 . 2 30 ， 15 . 5D解析： 如图 D25，设 AB6，ACBC3 2，由余弦定理，得CE CF10， 再由余弦定理，得cosECF 4 5，解得 tan ECF 3 4.另也可以建立坐标用向量法解 图 D25 630 27.2 32 68.2 3 9解： 如图 D26.设甲用 t h 在 C 处追上乙船则ABC60 ，AB9，BC 20t，AC 28t. 图 D26 cosABCcos60 AB 2BC2AC2 2AB BC 9 2 20t2 28t2 2920t 1 2. 解得 t 9 32.BC 45 8 ，AC63 8 . cosCAB AC 2AB2
18、BC2 2AC AB 63 8 292 45 8 2 263 8 9 0.785 7. CAB38 ， CAD 45 38 7 . 甲沿南偏东7 的方向，用 9 32小时追上乙船 10解： 如图 D27，作 DM AC 交 BE 于点 N，交 CF 于点 M. MF1108030，DM ABBC170，DNAB50， ENBEAD120. DFMF 2 DM2 302170210 298， DEDN 2EN2 5021202130， EFBEFC 2BC2 90 21202150. 在 DEF 中，由余弦定理，得 cosDEF DE 2EF2DF2 2DE EF 130 21502102298
19、 2130150 16 65. 图 D27 12.3三角形中的几何计算 13实习作业 (略) 1D2.C3.B4.B5.C6.D7.D 813解析： 由 bsinA12 及正弦定理，得asinB12，又 acosB5，两式平方相加， 得 a13. 9解： (1)由余弦定理及已知条件，得a 2b2ab 4， 又因为 ABC 的面积等于3，所以 1 2absinC 3，得 ab4. 联立方程组 a 2b2ab4， ab4， 解得 a2，b 2. (2)由题意，得sin(BA)sin(BA) 4sinAcosA， 即 sinBcosA2sinAcosA， 当 cosA0 时， A 2，B 6，a 4
20、 3 3 ，b 2 3 3 ； 当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理，得b2a， 联立方程组 a 2b2ab4， b 2a， 解得 a2 3 3 ，b 4 3 3 . 所以 ABC 的面积 S 1 2absinC 2 3 3 . 10解： 在 ADC 中， AD10，AC14，DC6， 由余弦定理，得cos ADCAD 2DC2AC2 2AD DC 10036196 2106 1 2， ADC120 ， ADB60 . 在 ABD 中， AD10， B 45 ， ADB60 ， 由正弦定理，得 AB sinADB AD sinB， AB AD sinADB sinB 10sin60 sin45 10 3 2 2 2 5 6.