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1、第一讲：因式分解 一、提公因式法 1观察下列各式： abxadx； 2x2y+6xy 2； 8m34m2+2m+1； a 3+a2b+ab2b3； （p+q）x2y5x2（p+q）+6（p+q） 2； a 2（x+y ） （xy） 4b（y+x） 其中可以用提公因式法分解因式的有（） A B C D 解：所以可以用提公因式法分解因式的有 故选 D 2计算与分解因式： （1）计算：（x2） （x+2）（ x1）2 （2）因式分解： a（x y） b（yx） +c（x y） 解： （1）2x5 （2） （xy） （a+b+c） 3. 因式分解： （a+2）（a3）（a 27） + （ 2+a） （
2、3a）（a+3） 解： （a+2） （a3） （a2a10） 4. （1） 计算：3a 3b2 a2b （a2b3ab 5a2b） ； （2） 因式分解： n2（ m 2） n （ 2m） 解： （1）6ab2+4a2b2 （2）n（n+1） （m2） 5. 化简： （ab）（a+b） 2 （a+b） （ab） 2 +2b （a 2+b2） 解： 4a 2b 6. （1）因试分解： n 2 （m2）n（2m） （2）先化简再求值： （2a3b）22（2a+3b） （2a3b）+（2a+3b） 2， 其中： 解： （1）n（m2） （n+1）（2）4 7. 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出
3、的问题： 1+x+x （x+1）+x（x+1） 2 =（1+x）1+x+x （ 1+x） =（1+x） 21+x =（1+x） 3 （1）上述分解因式的方法是法， 共应用了次 （2）若分解 1+x+x（x+1）+x（x+1）2+ +x （x+1） 2010， 则需要应用上述方法 次， 分解因式后的结果是 （3） 请用以上的方法分解因式：1+x+x （x+1） +x（ x+1） 2+ +x（x+1）n（n 为正整数）， 必须有简要的过程 解： （1+x）n+1 二、运用公式法 1. 把下列各式分解因式： （1）a 214ab+49b2 （2）a（ x+y）（ a b） （x+y ） ； （3）1
4、21x2144y2； （4）3x412x2 解： （1） （a7b）2 （2）b（x+y ） （3） （11x+12y） （11x12y） （4）3x2（x+2） （x2） 2. 已知 2x3=0，求代数式 x（x+17）+（2x+1） （x9）+x 2 的值 解：0 3. 请你从下列各式中，任选两式作差， 并将 得到的式子进行因式分解4a2， （ x+y ） 2， 1，9b 2 4. 9（a+b） 2（ ab）2 解：4（2a+b） （a+2b） 5. 放学时，王老师布置了一道分解因式题： （x+y）2+4（x y）24（x 2 y2） ，小明思 考了半天，没有答案，就打电话给小华，小 华在
5、电话里讲了一句，小明就恍然大悟了， 你知道小华说了句什么话吗？小明是怎样 分解因式的。 解：把（ x+y ） ， （x y）看作完全平方式里 的 a，b； 原式 =（x+y） 2+2 （xy）22 2（xy） （x+y） =（3yx）2 6. 阅读下列材料，并解答相应问题： 对于二次三项式x2+2ax+a2这样的完全 平方式，可以用公式法将它分解成（x+a）2 的形式， 但是对于二次三项式x 2+2ax3a2， 就不能直接应用完全平方公式了，我们可以 在二次三项式x2+2ax3a2中先加上一项a 2， 使其成为完全平方式，再减去a 这项，使整 个式子的值不变，于是有： x 2+2ax3a2=x
6、2+2ax+a2a23a2 =（x+a） 2（ 2a）2 =（x+2a+a） （x+a2a） =（x+3a） （xa） （1）像上面这样把二次三项式分解因式的 数学方法是 （2）这种方法的关键是 （3）用上述方法把m26m+8 分解因式 解： （3）m26m+8=m 26m+3232+8 =（m 2） （m4） 7. 我们知道：多项式 a 2+6a+9 可以写成（a+3） 2 的形式，这就是将多项式a 2+6a+9 因式分 解当一个多项式（如a2+6a+8）不能写成 两数和（或差）的平方的形式时，我们通常 采用下面的方法： a 2+6a+8=（a+3）21=（a+2） （a+4） 请仿照上面的
7、方法，将下列各式因式分解： （1）x 26x 27； （ 2）a2+3a28； （3） x2 （ 2n+1）x+n 2+n 解： （1） （x+3） （x9） （2） （a4） （a+7） （3） （xn1） （xn） 8. 请看下面的问题：把x 4+4 分解因式 分析：这个二项式既无公因式可提，也 不能直接利用公式，怎么办呢 19 世纪的法国数学家苏菲?热门抓住了该式 只有两项，而且属于平方和（x 2）2+（22）2 的形式，要使用公式就必须添一项4x 2，随 即将此项4x2减去，即可得x 4+4=x4+4x2+4 4x 2=（x2+2）24x2=（x2+2）2（ 2x） 2=（ x2+2x
8、+2 ） （x22x+2） 人们为了纪念苏菲?热门给出这一解法，就 把它叫做 “ 热门定理 ” ，请你依照苏菲?热门 的做法，将下列各式因式分解 （1）x4+4y 4； （2）x22axb22ab 解： （1） （x2+2y 2+2xy） （x2+2y22xy） （2） （x+b） （x2ab） 9. 已知乘法公式： a 5+b5=（ a+b） （a4a3b+a2b2ab3+b4） ； a 5b5=（ab） （a4+a3 b+a 2b2+ab3+b4） 利用或者不利用上述公式，分解因式： x 8+x6+x4+x2+1 解：根据乘法公式， 可知 x101=（x5）21=（x2） 51=（x21）
9、 （x8+x6+x4+x2+1） ，则有 x 8+x6+x4+x2+1= ，再根据平方差公式和题中 给出的乘法公式分解因式即可 x 8+x6+x4+x2+1= （x4+x3+x2+x+1） （x 4x3+x2x+1） 三、提公因式法与公式法的综合运用 1. （1）因式分解： （a+3） （a7）+25 81a4+16b472a2b2 （2）先化简，再求值： （ x2y 2x y 2y3） y（ x+y ） （xy） ， 其中 解： （1） （a2）2 （3a+2b）2（3a2b）2 （2） 1 2. （1）计算（ 2ab 2b3）2 2b 3 （2）分解因式3x312xy 2 （3）分解因式
10、（2a+b） （b2a） b（5b8a） （4）化简求值：（4x3y）2（ 5x+y） 2 （ 3x+2y） （4y3x） ，其中，y=6 （5） 已知 ab=1，a 2+b2 =7， 求 ab的值 解： （1） （2）3x（x+2y） （x2y）（3） 4（ab） 2 （4）-80 （5）ab=3 3. 分解因式： （1）8a 3b2+12ab3c； （2）x4y 4； （3）1+10x+25x 2； （4） （m+n） 24m（m+n）+4m2； （5）n2（m2） n（2m） ； （6） （x1） （x 3）+1 解： （1）4ab2（2a2+3bc） （2） （x 2+y2） （x+y
11、） （xy） （3） （1+5x）2 （4） （nm） 2 （5）n（m2） （n+1）（6） （x2）2 4.分解因式： x 3 6x2+9x 解： x（x3）2 四、分组分解法 1.（1）分解因式：x 2y23x3y （2）先化简，再求值： （ 2a+b） （ 2ab） +b（ 2a+b） 4a 2b b，其中 ，b=2 解： （1） （x+y） （xy3）（2） 2 2. 把下列各式因式分解 （1）2x 24x （2）a2b2a2c2 （3）8a3b212ab 3c+6a3b2c （4）8a（xa）+4b（a x） 6c（x a） （5） x 5y3+x3y5 （6） （a+b） 29（
12、a b）2 （7） 8ax2+16axy 8ay2 （8）5m（x y） 2+10n（yx）3 （9） （a 2+1）2 4a2 （10）m2+2nmn2m （11） （a24a+4） c2 （12）x2+6x27 （13）9+6（a+b） +（a+b） 2 （14） （x+3y）2+（2x+6y） （3y4x）+（4x 3y） 2 解： （1）2x（x2） （2）a2（b+c） （bc） （3）2ab2（4a26bc+3a2c） （4）2（xa） （4a2b3c） （5）x3y 3（x+y） （ x+y） （6）4（2ab） （2ba） （7） 8a（xy） 2 （8）5（xy）2（m2nx
13、+2ny） （9） （a+1）2（a1） 2 （10） （mn） （m2） （11） （a2+c） （a2c） （12） （x3） （x+9） ； （13） （a+b+3） 2 （14）9（x2y）2 3. （阅读理解题） 分解因式： x2120x+3456 分析：由于常数项数值较大，则采用x2 120x 变为差的平方的形式进行分解，这样简 便易行： x 2120x+3456=x22 60x+36003600+3456 =（x60）2144=（x60+12） （x6012） =（x48） （x72） 请按照上面的方法分解因式：x2+42x3528 解： （x+84） （x42） 4. 把 2x
14、 3x2z4x2y+2xyz+2xy2y2z 分解 因式 解： （2xz） （xy）2 5. 把式子 x 2y2+5x+3y+4 分解因式 解： （xy+4） （x+y+1 ） 6.分解因式： a 28ab+16b2+6a24b+9 解： （a4b3） 2 7. 把下列各式分解因式： （1） （a 2+a+1） （ a26a+1）+12a2 ； （2） （2a+5） （ a 29） （2a7） 91； （3）； （4） （x44x2+1） （x 4+3x2+1）+10x4； （5）2x3x2z4x 2y+2xyz+2xy2y2z 解： （1） （a1）2（a 23a+1） （2） （a 4）
15、（2a+7） （2a2a8） ； （3） （xy+1+x+y ） （xy+1xy） （4） （x+1）2（x1） 2（x2+x+1）2（x2x+1）2 （5） （2xz） （xy）2 五、十字相乘法 1. 将下图一个正方形和三个长方形拼成一 个大长方形， 请观察这四个图形的面积与拼 成的大长方形的面积之间的关系 （1）根据你发现的规律填空： x 2+px+qx+pq=x2 +（p+q）x+pq= （） （） （2）利用（ 1）的结论将下列多项式分解因 式： x 2+7x+10 y 27y+12 2. 阅读下面的材料并完成填空： 因为（x+a） （x+b）=x 2+ （ a+b）x+ab， 所以
16、， 对于二次项系数为1 的二次三项式x2+px+q 的因式解， 就是把常数项q 分解成两个数的 积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab=a+b=p，则有 x 2+px+q= （x+a） （ x+b） 如分解因式x 2+5x+6 解：因为2 3=6，2+3=5， 所以 x2+5x+6= （x+2） （x+3） 再如分解因式x 2 5x6 解：因为 6 1= 6， 6+1=5， 所以 x25x6=（x6） （x+1） 同学们， 阅读完上述文字后，你能完成下面 的题目吗？试试看 因式分解： （1）x 2+7x+12 （2）x 2 7x+12 （3）x 2+4x12 （4）x 2x12
17、3. 分解因式： （1）x 2y2y2 （2）x 24ax5a2 解： （1）y2（x+1） （x1） （2） （x+a） （x5a） 4. 因式分解：（1）x 2xy12y2； （2） a 2 6a+9b2 解： （1） （x+3y） （x4y） （2） （a3+b） （a3b） 5. 分解因式： x 3+5x2+6x 解：x（x+2） （x+3） 6.把下列各式因式分解 （1）25x3y 55x2y2 （2）4（a+b） 24（a+b）+l （3）4（ab）29（a+b）2 （4） a+2a2a3 （5） 2a3+12a216a （6）a 42a2b2+b4 （7）6y211y 10 （8
18、）a 212ab+b2 解： （1）5x2y 2（5xy31） （2） （2x+1） 2， （3） （ a5b） （5a+b） ， （4） a（a1） 2， （5） 2a（a4） （a2） ， （6） （a+b）2（ab）2， （7） （2y5） （3y+2） ， （8） （a b+1） （ab1） 六、分解因式相关应用 1. 对于任意的正整数n，所有形如 n 3+3n2+2n 的数的最大公约数是什么？ 解： n3+3n 2+2n=n（n+1） （n+2） n、n+1、n+2 是连续的三个正整数 其中必有一个是2 的倍数、一个是3 的倍数 n3+3n2+2n=n（n+1） （n+2）一定是 6
19、 的倍数 又 n3+3n 2+2n 的最小值是 6 最大公约数为6 3. 定义新运算： （a，b） ?（c，d）=（ ac，bd） ， （a，b）（ c，d）=（a+c，b+d） （a，b） *（c，d）=a2+c 2bd （1）求（ 1，2）*（3， 4）的值； （2）已知（ 1，2）?（p，q）=（2， 4） ， 分别求出p 与 q 的值； （3）在（2）的条件下，求（ 1，2）（p， q）的结果； （4）已知 x 2+2xy+y2=5，x22xy+y2=1，求 （x，5）*（y，xy）的值 解： （1）18 （2）p=2，q=2 （3） （3，0）（4） 2 4. 如图，长方体的每一个面
20、上都写有一个自 然数，并且相对两个面上所写的两个数之和 相等若将数 8 所在面的对面所写的数记为 a，数 4 所在面的对面所写的数记为b，数 25 所在面的对面所写的数记为c，求 a 2+b2+c2 abbcca 的值 解：由题意得： 8+a=4+b=25+c ab=4，bc=21，ac=17 a2+b2+c2abbcca=373 5. 求证： 81 7279913 能被 45 整除 证明：原式 =91499 39913=328327326 =326（3231）=326 5=324 32 5=45 324 所以能被 45 整除 6. （1） 已知 xy=2+a， yz=2a， 且 a 2=7，
21、 试求 x2+y2+z2xy yzzx 的值 （2）已知对多项式2x3x 213x+k 进行因 式分解时有一个因式是2x+3，试求 4k 2+4k+1 的值 解： （1）19 （2）设因式分解的另一个因式为x2+ax+b， 则（ 2x+3） （x2+ax+b）=2x 3+2ax2+2bx+3x2+3ax+3b =2x 3+（2a+3）x2+（2b+3a）x+3b=2x3x213x+k， 所以，解得， 所以， 4k 2+4k+1=（2k+1）2=2 （ ）+1 2 =（ 20） 2=400 7. 已知六位数，试判断这六位数能 否被 7， 11，13 整除，说明理由 解：设六位数是 则=1000+
22、=1001 =7 11 13 此六位数一定能被7，11，13 整除 8. 若三角形的三边长是a，b， c，且满足 a 2+2b2+c22ab2bc=0， 试判断三角形的形 状 小明是这样做的 a2+2b2+c 22ab2bc=0 （ a22ab+b2）+（b22bc+c2）=0， 即（ ab） 2+（bc）2=0 （ ab） 2 0， （bc）2 0， a=b，b=c 即 a=b=C、 该三角形是等边三角形 仿照小明的解法解答问题： 已知：a， b， c 为三角形的三条边， 且 a2+b 2+c2 abbcac=0，试判断三角形的形状 解： a2+b 2+c2abbcac=0 2a 2+2b2+2c22ab2bc2ac=0 （ ab） 2+（bc）2+（ac）2=0 （ ab） 2 0， （bc）2 0， （ac）2 0 a=b，b=c，a=c，即 a=b=c 该三角形是等边三角形