初一数学竞赛系列讲座应用题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 初一数学竞赛系列讲座 (9) 应用题（一） 一、一、知识要点 1、 1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问 题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、 列方程 (组)解应用题的一般步骤是： (1) (1)弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2)找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3)根据这个相等关系列出方程； (4) (4)解这个方程，求出未知数的值； (5) (5)写出答案 (包括单位名称 )。 3、行程类问题 行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足

2、如下基本关系式：速度时间 =路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两 数分别为x-1、 x+1；连续奇 (偶 )数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2。 二、二、例题精讲 例 1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20 千米， 下坡时每小时行驶35 千米， 。车从甲地开往乙地需9 小时，乙地开往甲地需 2 1 7 小 时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五 届华杯赛复赛题) 分析本题

3、用方程来解简单自然。 解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 (2) 2 1 7 2035 (1)9 3520 yx yx 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、 加减消元法等。 由于方程组系数比较特殊(第 一个方程中x 的系数20 1 恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数35 1 也恰好是第二个方 程中 x 的系数 )，也可以采用如下的解法： (1)+(2) 得 (x+y)( 20 1 + 35 1 )=9+ 2 1 7 学习必备欢迎下载 所以x+y= 210 35 1 20 1 2 1 79 (3) (1)-(2)得(x- y)( 20 1 -35

4、 1 )=9- 2 1 7 所以x-y= 70 35 1 20 1 2 1 79 (4) 由(3)、(4)得x= 140 2 70210 所以甲、乙两地间的公路长210 千米，从甲地到乙地须行驶140 千米的上坡路。 例 2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6 分钟开过来一 辆公共汽车， 而每隔7 2 4 分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是 均匀的，则x 等于分钟。 (第六届迎春杯初赛试题) 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速 度为 b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面a

5、x 米处，它用6 分钟追 上小宏。 另一方面， 当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax 米处，它经过7 2 4 分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。 解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，根据题意得 )( 7 2 4 )(6 baax baax 两式相减得12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5 评注： 行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是 同向运动。 解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解 题意。 例 3 摄制组从A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100 千米到 C 市吃午饭。

6、由 于堵车， 中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇， 汽车赶了400 千米， 傍晚才停下来休息。司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题) 分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。 解：如图，设小镇为D，傍晚 学习必备欢迎下载 汽车在 E 休息A D C E B 由已知，AD 是 AC 的三分之一，也就是AD =2 1 DC 又由已知， EB= 2 1 CE 两式相加得：AD+ EB= 2 1 DE 因为 DE=400 千米，所以AD+ EB=2 1 400=200 千米，

7、 从而 A、B 两市相距400+200=600 千米 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。 例 4 有编号为、的3 条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米， 且满足v1 v2 v3 v 0 ，其中 v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐 赛，规则如 下： (1) 3 条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。 在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过1 小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v) 1+v 1=

8、vi1(i=1 、2、 3) 第 i 号赛艇追上浮标的时间为： 1 1 i i i i i v v vvv S t (小时 ) 由此可见，掉头后各走1 小时，同时追上浮标，所以3 条赛艇并列冠军。 评注：顺流速度=静水速度 +水流速度；逆流速度 =静水速度 -水流速度。 例 5 在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第10 秒钟时追上乙，在 第 30 秒时追上丙，第60 秒时甲再次追上乙，并且在第70 秒时再次追上丙，问乙追上丙用 了多少时间？ ( 第 11 届希望杯竞赛培训题) 解：设甲的运动速度是 甲，V 乙的运动速度是 乙V ，丙的运动速度是 丙V 设环形轨道长为L。 甲

9、比乙多运动一圈用时50 秒，故有 甲 V 乙 V 50 L 甲比丙多运动一圈用时40 秒，故有 甲 V 丙 V 40 L 可得到 乙 V 丙 V 40 L 50 L 200 L 4 丙乙 乙甲 VV VV 5 丙乙 丙甲 VV VV 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离 学习必备欢迎下载 （ 甲V 丙V ）30（ 甲V 乙V ）10；乙追上丙所用时间 丙乙 乙、丙之间距离 VV 丙乙 丙甲 30 VV VV 1104015010 丙乙 乙甲 VV VV 秒所以第110 秒时，乙追上丙 评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和时间； 追及 问题的关系式是：追及 路程

10、 =速度差时间。 例 6 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数 是十位上数的3 倍，求这个三位数。 解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7 由题意得： 3 x+x+ x+7=17 ， x=2 这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926 答：这个三位数是926 评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来。 例 7 两个三位整数，它们的和加1 得 1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间 点上一个小数点， 则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数 的 6 倍，求这两个数。

11、解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得 ) 1000 999(6 1000 999x x x x 解这个方程得：x=857, 999-x=142 答：大数为857，小数为142。 例 8 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为AB，过了1 小时里程碑上 的数字为 BA ，又行驶了1 小时里程碑上的数字为 A0B，求每次看到的数字和卡车的速度。 分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程。 解：依题意得：BA-AB=A0B-BA，即AB+A0B=2BA ， 所以(10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B 因为 A、B 取 1 到 9 的自然数，所

12、以只有A=1 ，B=6 故 3 次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45 千米 /时。 评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B 是 1 到 9 的自然数来求出A、B。 例 9 在黑板上从1 开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为 17 7 35 ，试问擦去的数是什么数？ 分析：设出擦去的数，用平均值为17 7 35 来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数。 学习必备欢迎下载 解：设写出了n 个自然数1，2， n 中擦去的是k，则由题意得： 21 21 1 21 17 7 35 2 2 1 121 1 21 17 7 35 n n nn n kn n n

13、n n kn 即 17 14 70 17 14 68 17 7 35 2 17 7 35 2 2 n n n 解之得 因为 n 是自然数，且n-1 必须是 17 的倍数，所以n=69 于是由17 7 35 68 6921k ，可解得k=7，即擦去的数为7。 评注： 本题运用了放缩原理来得出n的范围， 从而确定自然数n 的值， 放缩法是数学竞赛中 常用的方法。 三、三、巩固练习 选择题 1、甲、乙二人从M 地同时出发去N 地，甲用一半的时间以每小时a 千米的速度行走， 另一半的时间以每小时b 千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一 半路程以每小时b 千米的速度行走。若ab，则

14、 ( )先到达 N 地。 A、甲B、乙C、二人同时到达D、不确定 2、已知游艇在静水中的航速为每小时10 千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2 小时，又用3 小时返回出发地，求该团所走的航程是( ) A、24 千米B、12 千米C、 48 千米D、40 千米 3、某人从 A 地步行到B 地，当走到预定时间时，离B 地还有 0.5 千米；若把步行速度 提高 25%，则可比预定时间早半小时到达B 地。已知AB 两地相距12.5 千米，则某人原来 步行的速度是 ( ) A、2 千米 /时B、4 千米 /时C、5 千米 /时D、6 千米 /时 4、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位

15、上的数与个位上的数对换， 现在的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是( ) A、43 B、 34 C、25 D、52 5、在由两个不同数字组成的所有两位数中，每个两位数被其两个数字之和除时，所得 的商的最小值是( ) A、1.5 B、1.9 C、3.25 D、4.375 6、一个插入一个一位数(包括 0)，就变成一个三位数，如：72 中间插入6后变成了762。 有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数，是原来两位数的9 倍，这样的两位数有 ( ) (第六届祖冲之杯数学邀请赛试题) A、1 个B、4 个C、10 个D、超过 10 个 填空题 7、早晨 8 点多钟，有两辆汽车先后离开化

16、肥厂，向幸福村开去。两辆汽车的速度都是 每小时 60 千米， 8 点 32 分时， 第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的3 倍。到了 8 点 39 学习必备欢迎下载 分时，第一辆车离开化肥厂的距离是第二辆车的2 倍。则第一辆车是8 点分离开化肥 厂的 . 8、甲、乙两个同学从A 地到 B 地，甲步行的速度为每小时3 千米，乙步行的速度为每 小时 5 千米，两人骑自行车的速度都是每小时15 千米。现在甲先步行，乙先骑自行车，两 人同时出发。走了一段路程后，乙放下车步行，甲走到乙放车处改骑自行车，以后不断交替 行进，两人恰好同时到达B 地。甲走全程的平均速度是千米 /小时。 (第六届迎春 杯初赛试

17、题 ) 9、一船从重庆到上海要5 昼夜，而从上海到重庆要7 昼夜，那么有一木排从重庆顺流 漂到上海要昼夜 10、一个六位数 9abcde的 4 倍是abcde9，则这个六位数是 11、有四个正整数，其中任三个数的算术平均数与第四个数的和，分别等于29、23、 21、 19，则这四个数中最大的一个是 12、一个两位自然数等于它的十位数字与个位数字之和的3 倍，则这样的两位自然数的 个数是 解答题 13、一列客车的速度是60 千米 /时，一列货车的速度是45 千米 /时，货车比客车长135 米，如果两车在平行的轨道上同向行驶，客车从后面赶上货车，它们交叉的时间是1 分 30 秒，求各车的长度；如果

18、这两车在平行的轨道上相向行驶，它们交叉时需要多少时间？ 14、甲、乙两人在一条长400 米的环形跑道上跑步，若同向跑步每隔 3 1 3 分钟相遇一次， 若反向跑步则每隔40 秒相遇一次，求甲、乙两人的速度(甲比乙跑得快 )。 15、某人由甲地去乙地，如果他从甲地先骑摩托车行12 小时， 再换骑自行车行9 小时， 恰好到达乙地。如果他从甲地先骑自行车行21 小时，再换骑摩托车行8 小时，恰好也到达 乙地。问：全程骑摩托车需要几小时到达乙地？(第四届华杯赛初赛试题) 16、快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三 辆车分别用6 分钟、 10 分钟、 12 分钟追上骑

19、车人。现在知道快车每小时走24 千米， 中车每 小时走 20 千米，问慢车每小时走多少千米？(第一届华杯赛决赛试题) 17、有一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，并且这个两位数除以十位上的 数字与个位上的数字的差，所得的商为11，余数为 5，求这个两位数。 18、一个十位数字为0 的三位数，它恰好等于它的数字和的67 倍；交换它的个位与百 位数字后得到一个新的三位数，它恰好又是它的数字和的m 倍,求 m 的值。 19、一个两位数的十位数字小于个位数字，当数字交换位置后所得的新的两位数与原数 之和大于70 而小于 90，求这样的两位数。 20、今有一个三位数，其各位数字均不相同，如将此三位数的各位数字重新排列，必得 一个最大数和一个最小数，且此两数之差恰为原来的那个三位数，求原来的三位数。