初一数学讲义(学生版整理).pdf

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1、优秀学习资料欢迎下载 第一讲和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1) 几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a| 。 (2) 代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 也可以写成： |0 aa aa aa 当 为正数 当 为0 当 为负数 三、 典型例题 例 1 （数形结合思想）已知 a、b、c 在数轴上位置如图： 则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（） A-3a B 2c a C2a2b D b 例 2已知：zx0，0xy，且xzy，

2、 那么yxzyzx的值（） A是正数B是负数C是零D不能确定符号 例 3 （分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧， 两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例 4 （整体思想 ）方程xx20082008的解的个数是（） A1 个B 2 个C3 个D无穷多个 例 5 （非负性 ）已知 |ab2|与|a1|互为相互数，试求下式的值 1111 112220072007abababab 例 6 （距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4 与2，3 与 5，2与6，4与 3. 并回答下列各题： （1）你能发现

3、所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：_ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x，点 B 表示的数为 1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为_. （3）结合数轴求得23xx的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为_. （4） 满足341xx的x的取值范围为_ . 说明： （） |a| 0 即|a| 是一个非负数； （） |a| 概念中蕴含分类讨论思想。 优秀学习资料欢迎下载 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1 “代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值

4、。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例 1若多项式xyxxxmx537852 222 的值与 x 无关， 求mmmm452 22 的值 . 例 2x=-2 时，代数式6 35 cxbxax的值为 8，求当 x=2 时，代数式6 35 cxbxax的值。 例 3当代数式53 2 xx的值为 7 时, 求代数式293 2 xx的值 . 例 4 已知01 2 aa，求20072 23 aa的值 . 例 5 （实际应用） A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条

5、件基本相同，只有工资待遇有如下 差异： A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元； B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50 元。从收 入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 优秀学习资料欢迎下载 例 6三个数 a、b、 c 的积为负数，和为正数，且 bc bc ac ac ab ab c c b b a a x， 则1 23 cxbxax的值是 _ 。 例 7如图，平面内有公共端点的六条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线 OA 开始按逆时针方向依次在 射线上写出数字1，2，3，4， 5，6，7， （1） “17”在射线_上， “2008”在射线 _上 （2）若 n 为正整数，

6、则射线OA 上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为_ 例 8 将正奇数按下表排成5 列: 第一列第二列第三列第四列第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律，2007 应在 A125 行,3 列 B. 125行,2 列 C. 251行,2 列D. 251行,5 列 例 9 （2006 年嘉兴市）定义一种对正整数n 的“ F”运算：当n 为奇数时，结果为3n5；当 n 为偶数时， 结果为 k n 2 （其中 k 是使 k n 2 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取n26，则： 若 n4

7、49，则第 449 次“ F 运算”的结果是_ 第三讲：与一元一次方程有关的问题 一、典型例题 例 1若关于 x 的一元一次方程 23 32 xkxk =1 的解是 x=-1 ，则 k 的值是（） A B D C E F O 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 26 13 44 11 第一次 F 第二次 F 第三次 F 优秀学习资料欢迎下载 A 2 7 B 1 C - 13 11 D0 例 2若方程 3x-5=4 和方程0 3 3 1 xa 的解相同，则a 的值为多少？ 例 3. （方程与代数式联系） a、 b、c、d 为实数，现规定一种新的运算 bcad dc ba . （

8、1）则 21 21 的值为； （2）当 18 5)1( 42 x 时，x= . 例 4 （方程的思想）如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高a厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面 高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的（） A ba a B ba b C h ab D h ah 例 5 小杰到食堂买饭，看到A、B 两窗口前面排队的人一样多，就站在A 窗口队伍的里面，过了2 分钟，他 发现 A 窗口每分钟有4 人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6 人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增 加 5 人。此时，若小李迅速从A 窗口队伍转移到B 窗口后面重新排队，将比继续在A 窗口排

9、队提前30 秒买到 饭，求开始时，有多少人排队。 （提示） 题中的等量关系为：小李在A 窗口排队所需时间=转移到 B 窗口排队所需时间+ 2 1 课外知识拓展： 一、含字母系数方程的解法： 思考： bax 是什么方程？ 在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求a0，所以bax不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 不考虑瓶子的厚度. 优秀学习资料欢迎下载 例 6解方程bax 例 7问当 a、 b 满足什么条件时，方程2x+5-a=1-bx ： （1）有唯一解； （2）有无数解； （3）无解。 例 8 解方程 11xxab abab 二、含绝对值的方程解法 例 9 解下列方程523x

10、 例 10 解方程 215 1 3 x 例 11 解方程121xx 第四讲：图形的初步认识 基本要求： 1如图四个图形都是由6 个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（） ABCD 较高要求： 2下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么a+b-2c= （） A40 B.38 C.36 D. 34 4下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（） 9下面是四个立体图形的

11、展开图，则相应的立体图形依次是( ) A正方体、圆柱、三棱柱、圆锥B.正方体、圆锥、三棱柱、圆柱 C正方体、圆柱、三棱锥、圆锥D.正方体、圆柱、四棱柱、圆锥 13对右面物体的视图描绘错误的是（） 1 2 3 6 4 5 c 8 4 25b a A B C D 优秀学习资料欢迎下载 （四）新颖题型 16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长 方体的下底面数字和为 . 第五讲：线段和角 一、知识结构图 直线 线段 直线性质 射线 线段的比较和画法线段的中点 线段性质两点间的距离 角 角的分类 角的比较、度量和画法 相关角 角平分线 平角直

12、角锐角 周角 钝角 余角和补角 定义 性质 同角（或等角） 的补角相等 同角（或等角） 的余角相等 二、典型问题： （一）数线段数角数三角形 问题 1、直线上有n 个点，可以得到多少条线段？ 问题 2如图，在 AOB 内部从 O 点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展：在 AOB 内部从 O 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义： 优秀学习资料欢迎下载 文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点 图形语言： M BA 几何语言： M 是线段 AB

13、的中点 1 2 AMBMAB，22AMBMAB 典型例题： 1由下列条件一定能得到“P 是线段 AB 的中点”的是（） （A）AP= 2 1 AB （B）AB 2PB （C）APPB （D）APPB= 2 1 AB 2若点 B 在直线 AC 上，下列表达式：ACAB 2 1 ； AB=BC ； AC=2AB ； AB+BC=AC 其中能表示B 是线段 AC 的中点的有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 3已知线段MN，P 是 MN 的中点， Q 是 PN 的中点， R 是 MQ 的中点，那么MR= _ MN 4如图所示，B、C 是线段 AD 上任意两点， M 是 AB 的中点， N 是 C

14、D 中点，若MN=a ， BC=b，则线段AD 的长是（） A 2（ a-b）B 2a-b C a+b D a-b （三）与角有关的问题 1 已知：一条射线OA，若从点O 再引两条射线OB、OC，使 AOB= 60 0， BOC=20 0， 则AOC=_度 （分类讨论 ） 2 A、O、B 共线， OM、ON 分别为 AOC 、 BOC 的平分线，猜想MON 的度数，试证明你的结论 3如图，已知直线AB和CD相交于O点，COE是直角，OF平分AOE，34COF， 求BOD的度数 4如图， BO、CO 分别平分 ABC 和 ACB， （1）若 A = 60，求 O； （2）若 A =100， O

15、是多少？若 A =120， O 又是多少？ （3）由（ 1） 、 （2）你又发现了什么规律？当A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180） 5如图， O 是直线 AB 上一点 ,OC、OD、OE 是三条射线 ,则图中互补的角共有（B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ADBMCN AB C N M O 优秀学习资料欢迎下载 D C B A 6互为余角的两个角（） （A）只和位置有关（B）只和数量有关 （C）和位置、数量都有关（D）和位置、数量都无关 7已知 1、 2 互为补角，且1 2，则 2 的余角是（） A. 1 2 （ 1 2） B.

16、1 2 1 C. 1 2 （ 1 2） D. 1 2 2 第六讲：相交线与平行线 一、知识框架 相 交 线 两条 直线 相交 邻补角、对顶角对顶角相等 两条 直线 被第 三条 直线 所截 同位角、内错角、同旁内角 平 行 线 平行公理 平移 判定 性质 垂线及性质点到直线的距离 二、典型例题 1. 下列说法正确的有( ) 对顶角相等; 相等的角是对顶角; 若两个角不相等, 则这两个角一定不是对顶角; 若两个角不是对顶角, 则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2. 如图所示 , 下列说法不正确的是( ) A.点 B到 AC的垂线段是线段AB; B.点 C到 AB的垂线段是

17、线段AC C.线段 AD是点 D到 BC的垂线段 ; D.线段 BD是点 B到 AD的垂线段 3. 下列说法正确的有( ) 在平面内 , 过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 在平面内 , 过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; 优秀学习资料欢迎下载 D C BA A B 1 E F E DC BA l3 l2 l1 O 3 4 l3 l2 l 1 1 2 在平面内 , 过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; 在平面内 , 有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是

18、（） A. 第一次向左拐30第二次向右拐30 B. 第一次向右拐50第二次向左拐130 C. 第一次向右拐50第二次向右拐130 D. 第一次向左拐50第二次向左拐130 5如图，若AC BC于 C，CD AB于 D，则下列结论必定成立 的是（ ） A. CDAD B.ACBD D. CDc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短） 由上式可变形得到：acb，bac，cba 即有：三角形的两边之差小于第三边 2 高:由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3 中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线 4 角平分线： 三角形一个内角的

19、角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线. 二、典型例题 （一）三边关系 1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么 a 的取值范围是 ( ) A.1 1 2 （AB+AC ） （二）三角形的高、中线与角平分线 问题：（1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （2）图中存在哪些相等角？ 注意基本图形：双垂直图形 4如图，在直角三角形ABC 中， ACAB ，AD 是斜边上的高，DE AC，DFAB， 垂足分别为E、F，则图中与C（ C 除外）相等的角的个数是（） A5 B4 C3 D2 优秀学习资料欢迎下载 2 1 A B C D 5如图， ABC 中， A = 4

20、0， B = 72， CE 平分 ACB ，CDAB 于 D， DFCE，求 CDF 的度数。 6 ABC 中， ABC 、 ACB 的平分线相交于点O。 （1）若 ABC = 40 ， ACB = 50 ，则 BOC = 。 （2）若 ABC + ACB =116 ，则 BOC = 。 （3）若 A = 76，则 BOC = 。 （4）若 BOC = 120 ，则 A = 。 （5）你能找出 A 与 BOC 之间的数量关系吗？ 8已知 : BE, CE 分别为ABC 的外角 MBC, NCB 的角平分线 , 求: E 与 A 的关系 9已知 : BF 为 ABC 的角平分线 , CF 为外角

21、 ACG 的角平分线 , 求 : F与 A 的关系 优秀学习资料欢迎下载 DCB E A E DCB A D EC B A 第九讲：与三角形有关的角 一、相关定理 （一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180 （二）三角形的外角性质定理： 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内角和定理：n 边形的内角和为（n-2 ）*180 多边形外角和定理：多边形的外角和为360 二、典型例题 1如图 , 在 ABC中, B=C, BAD=40 , 且 ADE= AED,求 CDE的度数 . 2如图：在ABC 中， CB，AD BC

22、于 D，AE平分 BAC 求证： EAD 1 2 （ C B） 3已知： CE是 ABC外角 ACD的角平分线， CE交 BA于 E 求证： BAC B 4多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350，求多边形的边数。 5科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4 中的 步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（） A. 6 米B. 8米C. 12 米D. 不能确定 优秀学习资料欢迎下载 第十讲：二元一次方程组 一、相关知识点 1、 二元一次方程的定义： 经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次 方程。 2、二元一次方程的标准式：

23、00,0axbycab 3、 一元一次方程的解的概念： 使二元一次方程左右两边的值相等的一对x和y的值，叫做这个方程的一个解。 4、 二元一次方程组的定义： 方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二、典型例题 1下列方程组中，不是二元一次方程组的是（） 1 23 x y ， 1 0 xy xy ， 1 0 xy xy ， 21 yx xy ， 2有这样一道题目：判断 3 1 x y ， 是否是方程组 250 2350 xy xy ，的解？

24、 小明的解答过程是：将3x，1y代入方程250xy，等式成立所以 3 1 x y ， 是方程组 250 2350 xy xy ， 的 解 小颖的解答过程是：将3x，1y分别代入方程250xy和2350xy中，得250xy， 2350xy所以 3 1 x y ， 不是方程组 250 2350 xy xy ， 的解 你认为上面的解答过程哪个对？为什么？ 3若下列三个二元一次方程：3x-y=7 ；2x+3y=1；y=kx-9 有公共解，那么k 的取值应是（） A、 k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、 k=3 4解方程组 63101 321002 mn mn 5已知方程组 9 .3053 133

25、2 ba ba 的解是 2 .1 3 .8 b a ，则方程组 9.301523 131322 yx yx 的解是（） 优秀学习资料欢迎下载 A 2.1 3.8 y x B 2.2 3 .10 y x C 2 .2 3.6 y x D 2. 0 3 .10 y x 6 45 13 45 3 xy xy 7解方程组 :3: 21 3532 x y xy 8解三元一次方程组 (1) (2) (3) x 2yz8 x y1 x 2z2y 3 9字母系数的二元一次方程组。当a为何值时，方程组 21 33 axy xy 有唯一的解 11为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A、 B 两套楼房， A

26、套楼房在第3层楼， B 套楼房在第5 层 楼， B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24 平方米，两套楼房的房价相同。第3 层楼和第5 层楼的房价分别是 平均价的1.1 倍和 0.9 倍。为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米， B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（） A 24 1 .19 .0 xy yx B 24 9 .01. 1 yx yx C 24 1.19 .0 yx yx D 24 9. 01 .1 xy yx 12某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数 （千克） 不超过 20 千克20 千克以上但不超过 40 千克 4

27、0 千克以上 每千克价格6 元5 元4 元 张强两次共购买香蕉50 千克（第二次多于第一次），共付出 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少 千克？ 优秀学习资料欢迎下载 第十一讲：一元一次不等式 一、知识链接： 1不等式的基本性质 性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若 ab，则 a+cb+c（a-cb-c） 。 性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若 ab 且 c0，则 acbc。 性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若 ab 且 cb。即“大大取大”“小小取小”“

28、大小小大取中间”“大大小小取不了” 二、典型例题： 1下列关系不正确的是（） A若ba，则abB若ba，cb，则ca C若ba，dc，则dbcaD若ba，dc，则dbca 2已知yx且0xy，a为任意有理数，下列式子中正确的是（） AyxByaxa 22 CayaxDyx 3下列判断不正确的是（） A若0ab，0bc，则0acB若0ba，则 ba 11 C若0a，0b，则0 b ba D若ba，则 ba 11 4若不等式axb 的解集是x a b ，则 a 的范围是（） A、a0 B、a0 C、a0 D、 a0 5解关于x 的不等式2355mxmxm 优秀学习资料欢迎下载 6解关于x 的不等式

29、21a xa。 7 若不等式21350m xxx和是同解不等式，求m 的值。 8不等式组 02 1372 x xx 的解集为 _. 9若不等式组 841xx xm 的解是 x3，则 m 的取值范围是（） A3mB3mC3mD3m 10 关于 x 的不等式组 23(3)1 32 4 xx x xa 有四个整数解，则a 的取值范围是（） A 115 42 aB 115 42 aC 115 42 aD 115 42 a 11已知关于x、y的方程组 21 21 xya xya 的解适合不等式21xy，求a的取值范围 . 12解下列不等式（1）5x（2）2x 思考题：解下列含绝对值的不等式。 （1）21

30、3x（2） 21 4 3 x 优秀学习资料欢迎下载 第十二讲：一元一次不等式（组）的应用 一、典型例题 1m 取什么样的负整数时，关于x 的方程 1 1 2 xm的解不小于3. 2已知x、y满足 2 2210xyaxya且31xy，求a的取值范围 . 3比较 2 31aa和 2 25aa的大小 4若方程组的解为 x、 y，且 2k4，求 x-y的取值范围。 5若 2(a-3) 3 2a ，求不等式 5 4xa x-a 的解集 6阅读下列不等式的解法，按要求解不等式. 不等式 1 0 2 x x 的解的过程如下： 优秀学习资料欢迎下载 解：根据题意，得 10 20 x x 1 或 10 20 x

31、 x 2 解不等式组 1 ，得2x；解不等式组2 ，得1x 所以原不等式的解为2x或1x 请你按照上述方法求出不等式 2 0 5 x x 的解 . 7目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊8 元，然后每月必 须缴 50 元的占号费，除此之外，打市话1 分钟付费0.4 元；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占 号费，打市话1 分钟 0.6 元若每月通话时间为x分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为 1 y和 2 y， 请算一算，哪种对用户合算 8某饮料厂开发了A、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲

32、 原料和乙原料各2800 克进行试生产， 计划生产A、B 两种饮料共100 瓶，设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程；（2）如果 A 种饮料每瓶的成本为2.60 元，B 种饮料每瓶的成 本为 2.80 元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出y 与 x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？ 原料名称 饮料名称 甲乙 A 20 克40 克 B 30 克20 克 9某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按120 个工时计算）生产空调器，彩电， 冰箱共 360 台，且冰箱至少生产40 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？ 家电名称空调器彩电冰箱 工时（个） 1 2 1 3 1 4 产值（万元 /台）0.4 0.3 0.2