《初中数学竞赛专题中位线.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初中数学竞赛专题中位线.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载 初中数学竞赛专题中位线 一、内容提要 1.三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。 2.中位线性质定理的结论，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计 算线段的长度，确定线段的和、差、倍关系。 3.运用中位线性质的关键是从出现的线段中点，找到三角形或梯形，包括 作出辅助线。 4.中位线性质定理，常与它的逆定理结合起来用。它的逆定理就是平行线 截比例线段定理及推论， 一组平行线在一直线上截得相等线段，在其他直线上截得的线段也相等 经过三角形一边中点而平行于另一边的直线，必平分第三边 经过梯形一腰中点而平行于两底的直线，必平分
2、另一腰 5.有关线段中点的其他定理还有： 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 等腰三角形底边中线和底上的高，顶角平分线互相重合 对角线互相平分的四边形是平行四边形 线段中垂线上的点到线段两端的距离相等 因此如何发挥中点作用必须全面考虑。 二、例题 例1.已知： ABC 中，分别以AB、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和 CAN ，P 是 BC 的中点。求证：PMPN （1991 年泉州市初二数学双基赛题） 证明：作ME AB ，NFAC ，垂足 E， F ABM 、 CAN 是等腰直角三角形 AEEBME，AFFCNF， 根据三角形中位线性质 PE 2 1 AC NF， PF 2 1 AB
3、ME PEAC ，PFAB PEB BAC PFC 即 PEM PFN PEM PFN PMPN A B C M N P E F 学习必备欢迎下载 例 2.已知 ABC 中， AB 10，AC 7，AD 是角平分线，CMAD 于 M， 且 N 是 BC 的中点。求MN 的长。 分析： N 是 BC 的中点，若M 是另一边中点， 则可运用中位线的性质求MN 的长， 根据轴称性质作出AMC 的全等三角形即可。 辅助线是：延长CM 交 AB 于 E（证明略） 例 3.求证梯形对角线的中点连线平行于两底，且等于两底差的一半。 已知：梯形ABCD 中， AB CD， M、N 分别是 AC、BD 的中点
4、求证： MN ABCD，MN 2 1 （ ABCD） 分析一： M 是 AC 中点，构造一个三角形，使N 为另一边中点，以便运 用中位线的性质。 连结 CN 并延长交AB 于 E（如图 1）证 BNE DNC 可得 N 是 CE 的 中点。（证明略） 分析二：图2 与图 1 思路一样。 分析三：直接选择ABC ，取 BC 中点 P 连结 MP 和 NP，证明M，N，P 三点在同一直线上，方法也是运用中位线的性质。 例4.如图已知：ABC中， AD是角平分线， BECF， M、N 分别是 BC 和 EF 的中点 求证： MN AD 证明一：连结EC，取 EC 的中点 P，连结 PM、PN MPA
5、B ，MP 2 1 AB ，NPAC ，NP 2 1 AC BECF， MPNP 3=4= 2 MPN-180 MPN BAC 180 （两边分平行的两个角相等或互补） 1=2= 2 MPN-180 ，2=3 NPAC MN AD 4 3 21 A B C D E F M N P 3 21 N A B C D E A B C D E A B CD M N M M N E 710 1 2 A B C D M N 学习必备欢迎下载 证明二：连结并延长EM 到 G，使 MG ME 连结 CG，FG 则 MN FG， MCG MBE CGBECFB BCG AB CG， BAC FCG180 CAD
6、2 1 （180 FCG） CFG 2 1 （180 FCG）=CAD MN AD 例5.已知： ABC 中， AB AC，AD 是高， CE 是角平分线， EFBC 于 F，GECE 交 CB 的延长线于G 求证： FD 4 1 CG 证明要点是：延长GE 交 AC 于 H， 可证 E 是 GH 的中点 过点 E 作 EM GC 交 HC 于 M， 则 M 是 HC 的中点， EMGC， EM 2 1 GC 由矩形 EFDO 可得 FDEO 2 1 EM 4 1 GC 三、练习 1.已知 E、 F、G、H 是四边形ABCD 各边的中点 则四边形EFGH 是形 当 AC BD 时，四边形EFG
7、H 是形 当 AC BD 时，四边形EFGH 是形 当 AC 和 BD 时，四边形EFGH 是正方形形。 2.求证：梯形两底中点连线小于两边和的一半。 3.已知 AD 是锐角三角形ABC 的高， E，F，G 分别是边BC，CA，AB 的中 点，证明顺次连结E，F，G， H所成的四边形是等腰梯形。 4.已知：经过 ABC 顶点 A 任作一直线a,过 B，C 两点作直线a 的垂线段 BB ，和 CC， ，设 M 是 BC 的中点， 求证： MB ，MC， 5.如图已知 ABC 中， AD BE，DM ENBC 求证 BCDM EN M j A B C G D E F N O 2 1 A B C G
8、 D E F H M A B C DM EN A B CD E F G H 学习必备欢迎下载 6.如图已知：从平行四边形ABCD 的各顶点向形外任一直线a 作垂线段 AE ， BF，CG，DH。 求证 AE CGBFDH 7.如图已知D 是 AB 的中点， F 是 DE 的中点， 求证 BC 2CE 8.平行四边形ABCD 中，M，N 分别是 BC、CD 的中点，求证AC 平分 MN 9.已知 ABC 中， D 是边 BC 上的任一点，M，N，P，Q 分别是 BC，AD ， AC ，MN 的中点，求证直线PQ 平分 BD 。 10.等腰梯形ABCD 中， AB CD，AD BC，点 O 是 A
9、C 和 BD 的交点， AOB 60 ，P，Q，R 分别是 AO ，BC ，DO 的中点，求证PQR 是等边 三角形。 11.已知： ABC 中， AD 是高， AE 是中线，且AD， AE 三等分 BAC ， 求证： ABC 是 Rt。 12.已知：在锐角三角形ABC 中，高 AD 和中线 BE 相交于 O， BOD 60 ，求证 ADBE 13.如图已知：四边形ABCD 中， AD BC， 点 E、F 分别是 AB 、CD 的中点， MN EF 求证： DMN CNM 练习题参考答案 1.平行四边形菱形矩形相等且互相垂直 D A B CF E M N R 60 O AB C D P Q S
10、 (9) A BCD M N P R A o B C D a G H E D1 F F (7) A B C E D 8 O D A B C M N 学习必备欢迎下载 2.取一条对角线的中点，利用三角形两边差小于第三边 3.DGEF 2 1 AB 4.过点 M 作 a的垂线 ,必平分 B ，C， 5.ABC 的中位线也是梯形BCD ，D 中位线 6.同上，有公共中位线 7.取 BC 中点 G，连结 DG 8.连结 BD 交 AC 于 O，易证四边形MCNO 是平行四边形 9.证四边形MPNS 是平行四边形 10. COD 是等边三角形，CRDO，RQ 2 1 BC， 11. 作 EFAC ，EFED 2 1 EC， C30 ， 12. 作 EFBC 于 F，AD ，BE 都等于 2EF 13. 过 AC 的中点 O 作 MN 的平行线，则OEOF，