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1、优秀学习资料欢迎下载 初中数学竞赛题典 数的整除 题 l 所有四位数中，有（）个数能同时被入3，5，7 和 11 整除？ （A）l（B）2（C）3（D）4 题 2 设 n 是 100 到 200之间的自然数，则满足7n2 是 5 的倍数的。共有（）个 题 3 一个六位数1991ab能被 12 整除，这样的六位数共有多少个 （A）4 （B） （ C）8（D）12 题 4 已知 7 241 可被 40 至 50 之间的两个整数整除，这两个整数是（） ， 优秀学习资料欢迎下载 题 6 n 是一个两位数，它的数码之和为a当 n 分别乘以 3，5，79 以后得到4 个乘积如 果其每一个积的数码之和仍为a
2、，那么，这样的两位数n 有（） 题 8 设某个 n 位正整数的n个数宇是1，2， n 的一个排列， 如果它的前k 个数字所 组成的整数能被k 整除，其中k1，2， n，那么就这个n 位数为一个“好数” 例如， 321 就是一个三位“好数” ，因为 1 整除 3，2 整除 32，3 整除 321那么六位“好数”的个 数为（） 优秀学习资料欢迎下载 题 9 能被 11 整除的最小的九位数是 题 12 在自然数1，2，3， 1990，1991 中不能披7 整除的数有（）个 优秀学习资料欢迎下载 题 13 将自然数N 接写在任意一个自然数的右面（例如，将2 接写在 35 的右面得352） ，如 果得到
3、的新数都能被N 整除，那么N 称为魔术数，在小于l30 的自然数中，魔术数的个数 为（） 题 14 在所有的五位数中，各位数字之和等于43 且能被 11 整除的数是（） 。 优秀学习资料欢迎下载 题 15 定义：如果n 个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两数的积能被这两数的和整 除那么，叫这组数为n 个数的祖冲之数组。例如：60，120，180 这三个数就构成一个三 个数的祖冲之数组， （因（ 60120）（ 60120） ， （60180）（ 60 180） ， （ 120180） （ 120180）都是整数） 请你写出一组四个数的祖冲之数组 题 16 设 a、b、c 为整数，且ab 和
4、 ab 均可被 c 整除，求怔： a3b3可被 c2整除 优秀学习资料欢迎下载 题 17 设 a、b、c 为正整数，求证：a 3（bc） b3（ca） c3（ab）可被 ab c 整 除 题 19 一个魔方是由自然数组成的正方形网格。它有如下性质：每一行，每一列及两条对 角线上的数的和都相同，这个值称为魔方和。求证：每一个33 大小的魔方的魔方和都能 被 3 整除。 优秀学习资料欢迎下载 题 20 求证：如果两个不可约分数的和是整数，那么这两个分数的分母相同。 题 21 设 a 和 b 为自然数，使得a 2ab1 可被 b2ba1 整除，求证： ab。 题 22 自然数 a、b、c、d 都可以
5、被abcd 整除，其中abcd0。求证： abcd1。 题 23 使求出所有这样的自然数n，使得 n33 可被 n 3 整除。 优秀学习资料欢迎下载 题 26 圆上有 9 个数码，已知从某一位起把这些数码按顺时针方向记下，得到一个9 位数 并且能被27 整除。求证：如果从任何一位起把这些数码按顺时针方向记下的话，那么所得 的一个 9 位数也能被27 整除。 题 27 任意给定一个自然数A，把 A 的各位数字按逆序写出来，形成一个新的自然数A。 试证： AA是 9 的倍数。 优秀学习资料欢迎下载 题 28 设 n 是正奇数，试证：1n 2n 9n3（1n6n8n）能被 18 整除。 题 29 求
6、证： 2000 1001L 1 442 44 3 个 被 1001 整除。 优秀学习资料欢迎下载 题 30 求证： 7|（2222 555555552222） 。 题 31 求证：对任何自然数，数（2n1） n3 都可被 2n3 整除。 优秀学习资料欢迎下载 题 33 给定自然数a，b和 n，已知对任何自然数k（k0） ，数 ak n 能被 bk 整除，证明： ab n。 题 34 设 k 为正奇数，证明12 n 整除（ 1k2k nk） 。 题 35 求证： 467|512367537203。 优秀学习资料欢迎下载 题 36 已知最简分数 m n 可以表示成 111 1 231992 m n
7、 L。试证：分子m 是质数 1993 的倍数。 优秀学习资料欢迎下载 题 37 设 p 与 q 是自然数， 满足 1111 1 2313181319 p q L。求证： p 可被质数1979 整除。 题 38 设 p 为奇质数，求证： 111 1 231 a pb L的分子 a 是 p 的倍数。 优秀学习资料欢迎下载 优秀学习资料欢迎下载 题 39 给定 111 1 2320 m n L，其中 m n 是不可约分数，试证：m 能被 5 整除。 题 40 试证：将和 111 1 2340 L写成一个最简分数 m n 时， m 不会是 5 的倍数。 优秀学习资料欢迎下载 题 41 设 n 是正偶数
8、，求证： （2n1）不整除（ 3n 1） 。 优秀学习资料欢迎下载 题 42 试证：对每一个自然数n，数 1 199721997 n1997 不能被 n2 整除。 题 46 一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b，如果 a 恰是 b 的 3 被， 我们称 a 是一个“希望数” 。 （1）请举例说明： “希望数”一定存在。 （2）请证明：如果a，b 都是“希望数” ，则一定有729|ab。 优秀学习资料欢迎下载 题 47 求证：对任何自然数n，都有 120|n 55n3 4n。 优秀学习资料欢迎下载 题 48 求证： n（n21） （ n25n26）可以被120 整除。 题 49
9、试证： n2（ n21） （n24）可以被360 整除。 优秀学习资料欢迎下载 题 50 设 n 是任意自然数，求证： 3 7 5315 n nnn 是整数。 题 51 若干个整数的和能被6 整除，求证：这些数的立方和也能被6 整除。 题 52 今有 6 根金属棒，每根的长度都是1m，能否将它们锯成10 根 27cm 长、12 根 15cm 长和 25 根 6cm 长的短棒？（锯棒时的损耗可忽略不计） 优秀学习资料欢迎下载 题 53 柯楼南契大蛇有1000 个头。神话中的大力士能一次用剑看去1，17，21 或 33 个头， 但是大蛇又相应地生出10，14， 0 或 48 个头。问大力士能战胜柯
10、楼南契大蛇吗？ 题 54 一天我发现了如下的魔术钱币机：如果我放入一枚一分的硬币，出来一枚5 分硬币 和一枚一角硬币；如果我放进一枚5分硬币， 机器给出四角硬币，而如果我放如一枚一角硬 币，我取回3 枚一分的硬币我用一枚一分的硬币开始，反复进行以上过程，能出现我刚好 有一美元硬币的机会吗？验证答案 题 55 是否存在两个不等于0 的整数 a 和 b，其中之一可被它们的和整除，另一个可被它们 的差整除？ 优秀学习资料欢迎下载 题 56 一个凸n 边形被划分成黑、白两色的若干个三角形，使得任意两个三角形要么有公 共的边（这时它们染不同颜色），要么有公共顶点，要么没有公共顶点。而多边形的每条边 都是
11、某个黑色三角形的边。证明：3|n。 题 57 求证：不存在整数a、b、c、d，使当 x19 时， ax3bx 2cxd1，以及当 x 62 时， ax 3bx2cxd2。 优秀学习资料欢迎下载 题 58 公共汽车票的号码是一个六位数，若一张车票的号码的前三个数字之和等于后三个 数字之和，刚称这张车票是幸运的试证：所有幸运车票号码的和能被13 整除， 题 59 某商场向顾客发放9999 张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001 到 9999 号如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和，则称这张购物券为“幸运 券” 例如号码0734，因 0734，所以这个号码的购物券是幸运券试证：这个商场所 发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101 整除 优秀学习资料欢迎下载