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1、用配方法解一元二次方程教学设计 第 1 课时用配方法求解简单的一元二次方程 教材分析 : 教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本课的具体学习任 务：用配方法解二次项系数为1 的一元二次方程。但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者 说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。 本课用配方法求解一元二次方程内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而 务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是 刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思 想”，同时也应力图在学习
2、中逐步达成学生的有关情感态度目标。 教学目标： 【知识与技能】 1会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 2了解用配方法解一元二次方程的基本步骤 【过程与方法】 1理解配方法；知道“配方”是一种常用的数学方法 2会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程 3能说出用配方法解一元二次方程的基本步骤 【情感态度与价值观】 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们 的数学应用意识和能力 教学重难点： 【教学重点】 运用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。 【教学难点】 难点：配方过程中，解一元二次方程的要点的理解。 关键：充分运用等式的性质，首先把方程化为一
3、般式。然后再把二次项系数化为1，接着将 常数项配成一次项系数一半的平方，再减去这个常数项保持恒等，使左边配成一个完全平方 式。在这里，化二次项系数为1和等式两边同时配上一次项系数的一半的平方是关键。 课前准备：多媒体 教学过程： 一、 旧识回顾，引入新知 活动内容 ：1、如果一个数的平方等于，则这个数是，若一个数的平方等于 7，则这个数是。一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？ 2、用字母表示因式分解的完全平方公式。 【设计意图 】通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生后面配方法的 学习作好铺垫。 二、 自主探究、讲授新课 自主探究：（1）你能解哪些一元二次方程？ （2）
4、你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ ；。 （3）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离满足方程,你能仿 照上面几个方程的解题过程, 求出的精确解吗 ?你认为用这种方法解这个方程的困难 在哪里 ?（合作交流） 【设计意图 】利用实际问题， 让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应用，为后 面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的学习品质及与他人合 作交流的意识。 讲授新课 活动 1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方） 填上适当的数，使下列等式成立。（选4 个学生口答） 问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如的式子 如何配成完全平方式？（小组合作
5、交流） 【设计意图 】配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式的特征， 在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半 的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与 一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 活动内容2：解决例题 （ 1）解方程： x 2+8x-9=0. （师生共同解决） 解: 可以把常数项移到方程的右边，得 x 2+8x9 两边都加上（一次项系数8 的一半的平方），得 x 2+8x42=942. （x+4） 2=25 开平方，得 x+4= 5, 即 x+4=5, 或 x+
6、4=-5. 所以 x1=1, x2=-9. （ 2）解决梯子底部滑动问题：（仿照例1，学生独立解决） 解：移项得 x 2+12x=15， 两边同时加上6 2 得， x 2+12x+62 =15+36，即 (x+6) 2=51 两边开平方，得x+6= 所 以 ：,， 但 因 为表 示 梯 子 底 部 滑 动 的 距 离 所 以 不合题意舍去。 答：梯子底部滑动了米。 【设计意图 】通过对例1 和例 2 的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充 分 理 解 掌 握 用 配 方 法 解 一 元 二 次 方 程 的 基 本 思 路 及 关 键 是 将 方 程 转 化 成 形式， 同时通过例2
7、提醒学生注意： 有的方程虽然有两个不同的解， 但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对结果进行取舍。由于此问题 在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目的。最后由问题“用这种方法解一元二 次方程的思路是什么？”引出配方法的定义。 三、典例精析 例 3：用配方法解012 2 xx 例 4：用配方法解14 2 xx 【设计意图 】再次规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用配方法解一元 二次方程的基本思路及关键是将方程转化成形式。 四、应用与巩固 当堂练习： 1. 方程04 2 x的解是（） A. x =2 B. x = -2 C. x = 2 D. x =4 2. 用配
8、方法解关于x 的一元二次方程032 2 xx, 配方后的方程可以是（） A. 41 2 x B. 41 2 x C.161 2 x D. 161 2 x 3. 解方程： (x + 1 )(x - 1) + 2(x + 3) = 8 【设计意图】对本节知识进行巩固练习。 五、课堂小结 活动内容： 师生互相交流、总结配方法解一元二次方程的基本思路和关键，以及在应 用配方法时应注意的问题。 【设计意图】 鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予 鼓励）。 六、布置作业: 课本 39 页习题 2.3 1题、 2、3 题 教学反思： 1、 创造性地使用教材 教材只是为教师提供
9、最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适 当调整。 学生在初一、 初二已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而 且普遍掌握较好，所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入配 方法。 教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上。本节课老师安排 了三个例题， 通过前两个例题规范用配方法解一元二次方程的过程，帮助学生充分掌握 用配方法解一元二次方程的技巧，同时本节课创造性地使用教材，把配方法（3）中的 一个是设计方案问题改编成一个实际应用问题，让学生体会到了方程在实际问题中的应 用，感受到了数学的实际价值。培养了学生分析问题，解决问题的能力。 2
10、、 相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、 激励的语言， 以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。本节课多次 组织学生合作交流，通过小组合作， 为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过 程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区， 这样 使得老师可以更好地指导今后的教学。 3、注意改进的方面 在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学 生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。教师应对小组讨论给予适当 的指导，包括知识的启发引导、学生交
11、流合作中注意的问题及对困难学生的帮助等，使 小组合作学习更具实效性。 第 2 课时 用配方法求解较复杂的一元二次方程 教材分析 : 在课程安排上这节课的具体学习任务：用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程以 及利用一元二次方程解决实际问题。这节课内容从属于 “方程与不等式” 这一数学学习领域， 因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方 程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数 学思想” 教学目标： 【知识与技能】 1会用配方法解复杂的数字系数的一元二次方程 2熟练用配方法解一元二次方程的基本步骤 【过程与方法】
12、 1.经历用配方法解二次项系数不为1 的一元二次方程的过程，体会其中化归思想； 2. 能利用一元二次方程解决有关的实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性， 进一步培养分析问题、解决问题的意识和能力. 【情感态度与价值观】 通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强 他们的数学应用意识和能力 教学重难点： 【教学重点】 运用配方法解复杂的数字系数的一元二次方程。 【教学难点】 难点：配方过程中，解一元二次方程的要点的理解。 关键：充分运用等式的性质，首先把方程化为一般式。然后再把二次项系数化为1，接着将 常数项配成一次项系数一半的平方，再减去这个常数
13、项保持恒等，使左边配成一个完全平方 式。在这里，化二次项系数为1和等式两边同时配上一次项系数的一半的平方是关键。 课前准备：多媒体 教学过程： 一、复习引入 活动内容 ：回顾配方法解二次项系数为1 的一元二次方程的基本步骤。 【设计意图 】回顾配方法的基本步骤，为本节课研究二次项系数不为1 的二次方程的解法打 下基础。 二、 讲授新课 活动一： 问题 1：观察下面两个是一元二次方程的联系和区别： 086 2 xx 024183 2 xx 问题 2：用配方法来解 086 2 xx 【设计意图 】这两个习题之间的区别是方程2 的二次项系数为3，不符合上节课解题的基本 形式， 联系是当方程两边同时除
14、以3以后， 这两个方程式同解方程。学生们作了方程的变形 以后，对二次项系数不为1 的方程的解法有了初步的感受和思路。 活动二：讲解例题 例 1：用配方法解方程： 024183 2 xx 解：方程两边同时除以3,得 086 2 xx 移项，得8-6 2 xx 配方 , 得13 2 x 开平方 , 得x + 3 = 1. 解得x1 = -2 , x2= -4 . 设计意图 】通过对例1 的讲解，继续拓展规范配方法解一元二次方程的过程. 让学生充分理 解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路, 关键是将方程转化成形 式。 例2. 解方程 3x 2+8x-3=0 【设计意图】 特别强调当一次项系数为分数
15、时，所要添加常数项仍然为一次项系数一半的平 方，理解这样做的原理，树立解题的信心。另外，得到后，在移项得到 要注意符号问题，这一步在计算过程中容易出错。 活动三：应用提高 做一做 ： 例 3. 一小球以15m/s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m) 与时间 t(S) 满足关 系:h=15t-5t2,小球何时能达到10 米的高度？ 解：根据题意得 15t-5t2=10 方程两边都除以-5 ，得 t2-3t=-2 配方，得 开方，得 解得 【设计意图 】在前边学习的基础上，通过例3 进一步提高学生分析问题, 解决问题的能 力，帮助学生熟练掌握配方法在实际问题中的应用，也为后续学习做好铺垫
16、。 例 4. 试用配方法说明：不论k 取何实数，多项式k24k5 的值必定大于零. 【设计意图】对利用一元二次方程解决实际问题进行巩固练习,培养学生的阅读能力、数 学建模能力。 三、应用与巩固 当堂练习： 1. 方程 2x2 - 3m - x +m2 +2=0有一根为 x = 0 ，则 m的值为（） A. 1 B.1 C.1或 2 D.1或-2 2. 应用配方法求最值. (1) 054-2 2 xx的最小值； (2)0153- 2 xx的最大值 . 3. 用配方法解方程：0 4 5 2 5 2 1 - 2 xx 4. 用配方法解方程：0143 2 xx. 5. 已知 a,b,c为 ABC的三边
17、长，且 ,0 222 bcacabcba 试判断 ABC的形状 . 【设计意图】 给学生适当的空间，培养学生独立思考的习惯，然后鼓励思维敏捷的同学展示 自己的思路，用学生的语言带动学生们学习。 四、课堂小结 活动内容： 1. 学生总结解一元二次方程的基本步骤； 2. 利用一元二次方程解决实际问题的思路，对于结果的理解。 设计意图】 鼓励学生结合本节课的学习，谈自己的收获与感想。 五、布置作业: 课本 42 页习题 2.4 第 1 题； 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p（毫米汞柱）与年 龄 x （岁） 大致满足关系： p=0.01x2+0.05x+107.如果一个女性的
18、收缩压为120 毫米汞柱， 那么她的年龄大概是多少？ 有能力的同学请课余时间用配方法交流探究方程： ax 2+bx+c=0 (a 不为 0) 的解法 . 教学反思： 1、创造性的使用了教材： 这节课作为配方的第二节主要是以习题训练为重点，所以我依照书上的例题为重点 展示了解方程的基本步骤，另外， 添加了辅助性的3 个习题； 将书上的做一做转化成一 个例题， 让学生体会利用一元二次方程解决问题的感受；另在作业中配套了一道血压方 面的数学问题，学生可以体会到一元二次方程与我们的现实生活息息相关。 2、注意改进的方面 基础较好的学生对于基础性的计算比较快，与此同时，班级中的有78 名学生对 于数据计算有懒惰的思想，速度慢，时间长，如果不能及时解决，这部分学生将落队， 或者整节课堂冗长无味，因此如何调控教学进度成为教学中的一个难点。我的办法是老 师准备好几个不同层次的习题，当大部分学生做完后，可以为他们提供更高层次的习题， 继续引领他们的思维前进，而加强对基础薄弱的同学动手动脑的监督。