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1、第三讲：因式分解一提公因式法 【知识要点 】 1、分解因式的概念 把一个多项式公成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式。 2、分解因式与整式乘法的关系 分解因式与整式乘法是的恒等变形。 3分解因式的一些注意点 （1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止； （3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。 4公因式 多项式中各项都含有的公共的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的. 5.提公因式法 如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的 方示叫做提公因式法. 6.确定公因式的方法 (1)系数公因式 :应取多项式中各项系
2、数为; (2)字母公因式 :应取多项式中各项字母为. 重点辨析 提取公因式时的注意点 多项式的形式注意点 多项式的首项系数为 负数 (1)首项为负数,一般要提出“ - ” 号;(2)在括号内的多项式的各项都要变号.如 )(cbammcmbma 公因式是多项式公 因 式 是 多 项 式 时 , 可 把 这 个 因 式 作 为 一 个 整 体 提 出 , 如 )23)()(2)(3nmbabanbam 多项式的某一项恰是 公因式 提公因式后 ,括号内的项数,不增不减 ,特殊是某一项为1,千万不要漏掉此项, 如)1(bammmbma 底数需调整为同底数 幂 32 )()(abba可调整为 : 32
3、)()(baba或 32 )()(abab 提公因式后,括号已 见分晓有同类项 提 公 因 式 后 , 如 果 括 号 内 有 同 类 项 必 须 合 并 同 类 项 , 如 )2)()()()( 2 bababbabababba 【学堂练习 】 1. 下列各式从左边到右边的变形, 哪些是分解因式 , 哪些不是 ? (1) 1 1 ( 22 x xxx; (2)1)5)(5(2 2 aaba (3) 22 )(nmnmnm (4) 22 )2(44xxx (5)23(23 2 yxxxxyx (6)32)1)(3( 2 xxxx 2把下列各式分解因式 （1）aaba369 2 （2） 4324
4、 264xyyxyx 【经典例题 】 例 1、把下列各式分解因式 （1）)2(3)2(2yxbyxa（2）)2(4)2(3)2(2yxcxybyxa （3） 32 )2()2(2xybyxa（4） 32 )3(25)3(15abbab （5） 432 )(2)(3)(xyxyyx（6） nmnm xbxaxbxa)()()()( 11 例 2利用分解因式计算 （1）5.12346 .45 .12347.115.12349. 2（2） 99100 9899 22 22 例 3已知2, 3 2 abba，求代数式 2222 2abbaba的值。 例 4、利用因式分解说明： 127 636能被 14
5、0 整除。 【随堂练习 】 1下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（） A、2)(1( 2 aabaaB、) 1 )( 1 ( 2 2 y x y x y x C、)(yxyxyxD、 2 )2(4)4(mmm 2已知二次三项式cbxx 2 2分解因式)1)(3(2xx，则cb,的值为（） A、1,3 cbB、2,6 cbC、4,6 cbD、6,4 cb 3下列各式的公因式是a的是（） A、5ayaxB、 2 64mamaC、aba105 2 D、maaa4 2 4将)()(3yxbyxa用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（） A、ba3B、)(3yxC、yxD、ba3 5把多项式)2(
6、)2( 2 amam分解因式的结果为（） A、)(2( 2 mmaB、)(2( 2 mmaC、) 1)(2(mamD、) 1)(2(mam 6多项式xyyx 2 2的公因式是；多项式是 3232 96cabba的公因式是。 7分解因式： 2 xyxy= 。 333 )()()(nmmnbnma（） 。 8已知：1000,133 abba。 22 abba的值为。 9把下列各式分解因式 （1） 2222 262abbaba（2） 3222322 9123bcacbabca （3）)()(yxbyxa（4）)()(2 2 yxxxy 【课后强化】 143 2 mxx分解因式为)1)(43(xx，则
7、m的值为。 2xynxymxyxy3963（）)()()(axcxabaxa。 3把下列各式分解因式 （1）xyzxyyx1263 22 （2）)(6)(3 2 xyxyxx （3） 23 )(4)(2xyyx（4） 2 )()(baababaa 第四讲：因式分解公式法、分组分解法 【知识要点 】 1乘法公式逆变形 （1）平方差公式：)( 22 bababa （2）完全平方公式： 222222 )(2,)(2babababababa 2. 常见的两个二项式幂的变号规律： 22 ()() nn abba； 2121 ()() nn abba （n为正整数） 3把一个多项式分解因式，一般可按下列步
8、骤进行： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）如果多项式没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解； （3）如果上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解方法。 【学堂练习 】 1、如果259 2 kxx是一个完全平方式，那么k的值是（） A 15B 15C 30D 30 2、下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（） A、4 2 mB、 22 yxC、1 22 yxD、 22 amam 3、把下列各式分解因式： （1） 22 4ba（2） 2 916a（3）116 22 yx （4）3612 2 mm（5） 22 4 1 yxyx（ 6） 22 2yxyx （7） 22 xya
9、xay（8） 42 469xaa 【经典例题 】 例 1用 公式法 分解因式： （1） 22222 4)(baba（2） 22 )3()2(yx （3）44 22 abba（ 4）168 24 xx (5) 22 )2(25)1(16xx (6)9)(6)( 222 xxxx 例 2用 分组分解法 分解因式 （1）44axayxy（2） 22 9816aabb （3）baba44 22 （4） 2 222 22abcdadbc 例 3 用 合适的方法 分解因式： （1） 4242 55bmam（2） 2222 31212mnmnm （3）)()(4 22 mnbnma（4）)(12)(94 2
10、2 nmmnmm 例 4利用分解因式计算： （1）433.1922.1 22 （2） 22 98196202202 例 5若 3223 ,2, 3babbaaabba求值。 【随堂练习 】 1对于多项式 532 1xxx有如下四种分组方法：其中分组合理的是（） 532 ()(1)xxx 523 ()(1)xxx 532 ()1xxx 532 (1)xxx ABCD 2.ABC 的三边满足a 4+b2c2-a2c2-b4=0，则 ABC 的形状是 _. 3.已知2ba，利用分解因式，求代数式 22 2 1 2 1 baba。 4、分解下列因式： （1） 3x 312x236x （2） 222 4
11、) 1(xx （3）mmnnm22 2 （4）a 22abb2a b 5、计算：（1）200420022003 2 （2） 119899 4555 2 22 【课后强化】分解因式 （1）28 2 x（2） 22 916ba（3）baabba 23 2 （4） 222 4)1(xx（5） 22 2yxyxyx 第五讲：因式分解综合复习 【考点分析 】 考点 1：分解因式的意义 1、下列从左到右的变形 ,属于分解因式的是 ( ) A. (x+3)(x 2)=x 2+x6 B. axay+1=a(xy)+1 C. x 2 2 1 y =(x+ y 1 )(x y 1 ) D. 3x 2+3x=3x(
12、x+1) 2 、若多项式 x 2+ax+b 可分解为 (x+1)(x2),试求 a、b 的值。 考点 2：提公因式法分解因式 1多项式 6a 3b23a2b221a2b3 分解因式时，应提取的公因式是( ) A. 3a 2b B. 3ab 2 C. 3a 3b2 D. 3a 2b2 2把多项式 2(x2) 2(2x)3 分解因式的结果是（） A. (x2) 2(4x) B. x (x2) 2 C.x (x2) 2 D. (x2) 2(2x) 3下列各组代数式没有公因式的是（） A5a5b 和 ba Bax+1 和 1+ay C(ab) 2 和a + b Da2b2和(a + b)(a + 1)
13、 4、分解下列因式 （1）8x 2n+2 yn+2 + 12xn+1 y2n+3 （2）x 2y(xy) + 2xy(yx) （3）16（xy）224xy（yx）（4）xyyyxx39327 2 2 考点 3：运用公式法分解因式 1如果259 2 kx x 是一个完全平方式，那么k 的值是（） A、 15 B、 5 C、 30 D 30 2. （2009年北京）分解因式： 22 4914baba= 。 （2005年上海市）分解因式： 44 16nm= 。 3、分解下列因式： （1） 22 3 3 1 nm（2）4914 22 abba （3） 22 169baba（4）16249 2 baba
14、 考点 4：分组分解法分解因式 (1) yyxx 22 24(2) 1494 22 mnm （3） 22 (1)(1)4abab（4） 22 44caa 考点 5：综合运用提公因式法、公式法分解因式 1、 （1） （2009年北京）分解因式： 4m 3 -m= ； （2） （2008年上海）分解因式： 8x 2 y-8xy+2y= 。 2、分解下列因式： （1）8a 42a2 （2）mnynmx 22 9 （3） 222 ()4()abmba（4） 22 (161)(1 16 )axybyx 考点 6：分解因式的应用 1、利用因式分解方法计算： （1） 4.45 13.7445 0.88944
15、.5 0.26(2) 22 8001600798798 2、已知6,7baab，求 22 a bab的值。 3、ABC 的三边满足 a 2-2bc=c2-2ab，则 ABC 是（ ） A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形 4、若a为整数，证明1) 12( 2 a能被 8 整除。 【随堂小测 】 1、下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（） (A) (a+3)(a-3)=a 2-9 (B) x 2+x-5=(x-2)(x+3)+1 (C) a 2b+ab2=ab(a+b) (D) x 2+1=x(x+ x 1 ) 2、把多项式 m 2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（
16、 ） (A) (a-2)(m 2+m) (B) (a-2)(m 2-m) (C) m(a-2)(m-1) (D) m(a-2)(m+1) 3、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（） (A) -a 2+b2 (B) -x 2-y2 (C) 49x 2y2-z2 (D) 16m 4-25n2p2 4、下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（） (A) 4 1 2 m m(B) 22 2yxyx(C) 22 4914baba(D)1 3 2 9 2 n n 5、把多项式apap11 2 分解因式的结果是（） A、ppa 2 1B、ppa 2 1C、11 papD、11 pap 6、已知yxy
17、xyx则,01062 22 （） A、2 B、2 C、4 D、4 7、若三角形的三边长分别为a、b、c，满足0 3222 bcbcaba，则这个三角形是（） A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、三角形的形状不确定 6、已知 x+y=6，xy=4，则 x 2y+xy2 的值为。 7、分解因式： m 3-4m= 。 8、若 ax 2+24x+b=(mx-3)2，则 a= ，b= ，m= 。 9、16（xy） 224xy（yx）= 8（xy） （ ） 10、分解下列因式： （1） 3234 241228x yx yxy（ 2） 222 4)1(aa 11、若 3223 ,2,3babbaaabba求值。