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1、3.4 二元一次方程组的应用 在上一节我们已经学习了二元一次方程组的概念，掌握了解二元一次方程组的一般步骤. 这节是在此基础上，学习列方程组解决实际问题，从而使学生体验数学知识在实际生活中的 应用 . 本节中要研究的二元一次方程组的应用包含以下几个方面的问题：简单实际问题、行 程问题、百分率问题和配套问题. 【知识与能力目标】 1. 能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题； 2. 会利用二元一次方程组解决行程问题； 3. 会运用二元一次方程组解决百分率和配套问题. 【过程与方法目标】 经历分析、探究实际问题中的数量关系的过程，学会用二元一次方程组解决实际问题， 培养学生分
2、析问题、解决问题的能力. 【情感态度价值观目标】 在解方程组和运用二元一次方程组解决实际问题的过程中，进一步体会方程和方程组是 教材分析 教学目标 刻画现实世界的有效数学模型. 【教学重点】 1. 能根据题意找出等量关系，并列出二元一次方程组解决问题； 2. 借助列表、画图，列方程组解决实际问题. 【教学难点】 1. 正确找出问题中的两个等量关系，列方程组解决实际问题； 2. 借助列表、画图的方法，分析出问题中所蕴涵的数量关系 多媒体课件 . 一、情境引入 某市举办中学生足球赛，规定胜一场得3 分，平一场得1 分一球队共比赛11 场，没 输过一场，一共得27 分问该队胜几场，平几场？ 问题：若
3、假设胜了x 场，则平多少场？ 球队共比赛11 场，故平 (11x)场. 问题：你能找到题中的等量关系吗？ 胜场得分平局得分总分 问题：你能列出方程解决这个问题吗？ 解：设该队胜x 场，则平了 (11x)场 由题意可得，3x(11x)27. 解得 x8. 11x 1183. 答：该队胜8 场，平 3 场 问题：如果该市第二中学足球队胜的场数与平的场数分别用不同的未知数x，y 来表 示，是否能列出方程组来求解呢？ 【设计意图】 从实际问题中抽象出数学模型，引出二元一次方程组的应用，为归纳列二元一 次方程组解应用题的一般步骤做铺垫. 课前准备 教学过程 教学重难点 二、探究新知 1. 列方程组解决简
4、单实际问题. 问题：若假设胜了x 场，平局为y 场，共进行11 场比赛你能找到它们三者之间的等 量关系吗？ 胜局场数平局场数总场数 问题：胜一场得3 分，胜 x 场共得了3x 分，平一场得1 分，平局y 场共得 y 分，一共 得 27 分，这 3 个得分间有什么等量关系呢？ 胜场得分平局得分总分 问题：你能列出方程组解决这个问题吗？ 解：设胜了x 场，平局为y 场， 根据题意得， ， 解得， ， 答：该队胜8 场，平 3 场 问题：你能总结出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤吗？ (1)审题意，找等量关系； (2)设未知数，可直接设元，也可间接设元； (3)根据题目中的等量关系列出方程组；
5、 (4)解方程组； (5)检验解的正确性和是否符合实际意义，然后作答. 【设计意图】 经历用二元一次方程组解决简单实际问题的过程，使学生掌握列二元一次方程 组解决实际问题的一般步骤. 2. 列方程组解决行程问题. 例 1 甲、乙两地相距4 km，以各自的速度同时出发如果同向而行，甲2 h 追上乙； 如果相向而行，两人0.5 h 后相遇试问两人的速度各是多少？ 对于行程问题， 一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观地找到等量关 系 (1)同时出发，同向而行： 问题：题中的等量关系是什么？ 甲 2 h 行程 4 km乙 2 h 行程 (2)同时出发，相向而行： 问题：题中的等量关系是什
6、么？ 甲 0.5h 行程乙0.5h 行程 4 km 解：设甲、乙的速度分别为x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 2x2y 4， 1 2x 1 2y4. 解方程组，得 x5， y3. 答：甲的速度为5 km/h，乙的速度为3 km/h. 【设计意图】 经历用二元一次方程组解决行程问题的过程，进一步加深学生对二元一次方程 组的应用的认识. 3. 列方程组解决百分率问题和配套问题. 例 2 玻璃厂熔炼玻璃液， 原料是石英砂和长石粉混合而成，要求原料中含二氧化硅70%. 根据化验，石英砂中含二氧化硅99%，长石粉中含二氧化硅67%.试问在 3.2 吨原料中，石 英砂和
7、长石粉各多少吨？ 分析： 问题中涉及了哪些已知量和未知量？它们之间有何关系？引入未知数，填写下表： 石英砂 / t长石粉 / t总量 / t 需要量x y 3.2 含二氧化硅99%x67%y70% 3.2 解：设需石英砂x t，长石粉y t. 根据题意可列出方程组： xy3.2， 99%x 67%y70% 3.2， 解方程组，得 x0.3， y2.9. 答：在 3.2 t 原料中，需石英砂0.3 t，长石粉2.9 t. 例 3 某村 18 位农民筹集5 万元资金，承包了一些低产田地根据市场调查，他们计划 对种植作物的品种进行调整，改种蔬菜和荞麦 种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的 资金如下
8、表： 作物品种每公顷所需人数每公顷投入资金/ 万元 蔬菜5 1.5 荞麦4 1 在现有情况下，这18 位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都有工 作，且资金正好够用？ 分析：怎样理解“所有的人都有工作”及“资金正好够用”？能用等式来表示它们吗？ 根据题意列表如下： 作物品种种植面积S/ hm 2 需要人数投入资金 / 万元 蔬菜x 5x1.5x 荞麦y 4yy 合计18 5 解：设蔬菜种植x hm2，荞麦种植y hm 2， 根据题意列出方程组： 5x4y18， 1.5xy5， 解方程组，得 x2， y2. 故承包田地的面积为：xy4 (hm2) 人员安排为：5x5210(人)；4
9、y 428(人) 答：这 18 位农民应承包4 公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2 公顷，并安排10 人种蔬菜， 8 人种荞麦，这样能使所有人都有工作且资金正好够用 【设计意图】 经历用二元一次方程组解决百分率问题和配套问题的过程，进一步加深学生对 二元一次方程组的应用的认识. 三、巩固练习 1. 某工地调来72 人参加挖土和运土，已知 3 人挖出的土1 人恰好全部运走，怎样调配 劳动力才能使挖出来的土能及时运走且不窝工？ 2. 某校团支部发出为贫困地区捐款的倡议后，全校师生奉献爱心，踊跃捐款，已知全 校师生共捐款45 000 元，其中学生捐款数比老师捐款数的2 倍少 9 000 元，该校老师和学生 各捐款多少元？ 四、课堂总结 问题：通过这节课的学习，你有哪些收获？ 列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： (1)审题意，找等量关系； (2)设未知数，可直接设元，也可间接设元； (3)根据题目中的等量关系列出方程组； (4)解方程组； (5)检验解的正确性和是否符合实际意义，然后作答. 略. 教学反思