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1、学习必备欢迎下载 高考数学终极解题策略 -构造函数 构建函数专题 关系式为“加”型 （1）( )( )0fxf x构造( )( )( ) xx e f xefxf x （2）( )( )0xfxf x构造( )( )( )xf xxfxf x （3）( )( )0xfxnfx构造 11 ( )( )( )( )( ) nnnn x f xx fxnxf xxxfxnf x （注意对x的符号进行讨论） 关系式为“减”型 （1）( )( )0fxf x构造 2 ( )( )( )( )( ) () xx xxx f xfx ef x efxf x eee （2）( )( )0xfxf x构造 2
2、( )( )( ) f xxfxf x xx （3）( )( )0xfxnfx构造 1 21 ( )( )( )( )( ) () nn nnn f xx fxnxf xxfxnf x xxx （注意对x的符号进行讨论） 小结： 1.加减形式积商定 2.系数不同幂来补 3.符号讨论不能忘 典 型 例 题 ： 例 1.设( )( )f xg x、是R上的可导函数，( ) ( )( )( )0fx g xf x g x，( 3)0g，求不等式( ) ( )0f x g x的解集 变式： 设( )( )f xg x、分别是定义在R上的奇函数、 偶函数， 当0x时，( ) ( )( )( )0fx g
3、 xfx g x，( 3)0g， 求不等式( ) ( )0f x g x的解集 . 例 2.已知定义在R上的函数( )( )f xg x、满足 ( ) ( ) x f x a g x ，且( )( )( )( )fx g xf x gx， (1)( 1)5 (1)( 1)2 ff gg ，若有穷 数列 * ( ) () ( ) f n nN g n 的前n项和等于 31 32 ，则n等于. 学习必备欢迎下载 变式：已知定义在 R上的函数( )( )f xg x、 满足 ( ) ( ) x f x a g x ，且( ) ( )( )( )fx g xf x gx，若若 (1)( 1)5 (1)
4、( 1)2 ff gg ， 求关于x的不等式log1 ax 的解集 . 例3. 已 知 定 义 域 为R的 奇 函 数( )f x的 导 函 数 为( )fx， 当0x时 ， ( ) ( )0 f x fx x ， 若 111 ( ),2( 2),ln(ln 2) 222 afbfcf，则关于, ,a b c的大小关系是 例 4.已知函数( )f x为定义在 R上的可导奇函数， 且( )( )f xfx 对于任意 xR恒成立，且 f （3） =e， 则( )f x /ex1 的解集为 变式：设( )f x是R上的可导函数，且( )( )fxfx，(0)1f， 2 1 (2)f e .求(1)f
5、的值 . 例 5.设函数( )f x在R上的导函数为( )fx，且 2 2 ( )( )f xxfxx， 变式：已知( )f x的导函数为( )fx，当0x时，2 ( )( )f xxfx，且(1)1f，若存在xR ，使 2 ( )fxx， 求x的值 . 巩固练习 : 1. 定义在 R上的函数 ( )f x，其导函数 fx满足 1fx，且23f，则关于x的不等式1fxx的解集 为 2. 已知定义在 R上的可导函数 ( )yf x 的导函数为 / ( )fx，满足 / ( )( )fxf x，且 (1)yf x 为偶函数， (2)1f，则不等式( ) x f xe的解集为 3. 设)(xf和)(
6、xg分别是( )f x和( )g x的导函数， 若( )( )0fx g x在区间I上恒成立， 则称)(xf和)(xg在区间I 上单调性相反. 若函数 31 ( )2 3 f xxax与 2 ( )2g xxbx在开区间( , )a b上单调性相反（0a） ，则ba的最大 值为 4. 设函数)(xf在 R 上存在导数)(xf，对任意的Rx有 2 )()(xxfxf，且在,0上，.)(xxf，若 ,22)()2(aafaf则实数a的取值范围为； 一些常见的导数小题 学习必备欢迎下载 1已知函数 32 ( )f xxbxcxd（b、c、d为常数），当(0,1)x时取极大值，当(1,2)x时取极小值
7、，则 221 ()(3) 2 bc的取值范围是（） 4b+c+12=0 2b+c+3=0 BD A ob c A. 37 (,5) 2 B. ( 5,5) C. 37 (,25) 4 D. (5,25) 2 已知)( xf、)(xg都是定义在R上的函数，( )0g x，( ) ( )( )( )fx g xfx g x，)()(xgaxf x ， 2 5 )1( ) 1( )1( )1 ( g f g f ， 则关于x的方程 2 5 20(0,1) 2 abxxb有两个不同实根的概率为（） A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 3设曲线 1* () n yxnN在点（ 1，1
8、）处的切线与x轴的交点的横坐标为 n x, 则 12n xxx的值为 A. 1 n B. 1 n n C. 1 1n D. 1 4定义在 R上的函数 xfy ，满足2fxfx ，1x f 0x ，若 313faf，则实数a的取值范围是（） A 2 , 3 B 2 , 3 C 2 2 , 3 3 D 22 , 33 学习必备欢迎下载 5已知函数( )sin ()f xxx xR，且 22 (23)(41)0fyyf xx，则当1y时， 1 y x 的取值范围是 （） A 1 3 , 4 4 B 3 0, 4 C 1 4 , 4 3 D 4 0, 3 6已知函数 32 ()1 32 xmxmn x
9、 y的两个极值点分别为x1，x2，且 x1(0, 1) ，x2(1, + ) ，记分别以m ，n 为横、 纵坐标的点P(m,n) 表示的平面区域为D，若函数log (4)(1) a yxa的图象上存在区域D内的点，则实数a 的取值范 围为 ( ) A (1,3 B (1,3) C(3,) D 3,) 7已知函数 3 111 ,0, 362 21 ,1 12 xx fx x x x ，函数sin220 , 6 g xaxaa 若存在 12 ,0,1x x，使得 12 fxg x成立，则实数a的取值范围（） A. 1 4 , 2 3 B. 2 ,1 3 C. 4 3 , 3 2 D. 1 ,2 3
10、 8已知3,ln3lnlnbdca，则 22 )()(cdba的最小值为（） A 5 103 B 5 18 C 5 16 D 5 12 9 已知 2 1 ( )ln(0) 2 f xaxxa，若对任意两个不等的正实数12,x x，都有 12 12 ()() 2 f xf x xx 恒成立， 则实数a的 取值范围是（） A(0,1 B(1,) C(0,1) D1,) 10已知定义在R上的函数)(xf和)(xg分别满足 222 (1) ( )2 (0) 2 x f f xexfx，0)(2)( xgxg ，则下列不 等式成立的是（） A.(2)(2015)(2017)fgg B.(2)(2015)
11、(2017)fgg C.(2015)(2)(2017)gfg D.(2015)(2)(2017)gfg 11若函数1)2(33)( 23 xaaxxxf有极大值又有极小值, 则a的取值范围是 _ 学习必备欢迎下载 12已知函数 2 63, x eex fxxxg x ex ，实数,m n满足0mn，若 1 ,xm n， 2 0,x， 使得 12 fxg x成立，则nm的最大值为 _ 答案 1D 学习必备欢迎下载 【解析】 试题分析：因为函数 32 ( )f xxbxcxd的导数为 2 ( )32fxxbxc. 又由于当(0,1)x时取极大值，当 (1,2)x时取极小值 . 所以 (1)0 (0
12、)0 (2)0 f f f 即可得 230 0 4120 bc c bc ， 因为 22 1 ()(3) 2 bc的范围表示以 1 (,3) 2 圆心的 半径的平方的范围. 通过图形可得过点A最大，过点B 最小，通过计算可得 22 1 ()(3) 2 bc的取值范围为(5,25). 故选 D. 考点： 1. 函数的导数问题.2. 极值问题 .3. 线性规划问题 .4. 数形结合的思想. 2B 【解析】 试题分析：令 ( ) ( ) ( ) x f x h xa g x ，则 2 ( ) ( )( )( ) ( )0 ( ) fx g xf x gx h x g x ，所以 ( ) ( ) (
13、) x f x h xa g x 是减函数， 01a. 又 2 5 )1( )1( )1 ( ) 1( g f g f ，所以 151 , 22 aa a . 由0得 2 5 b. 又(0,1)b，由几何概型概率公式得： 2 5 p. 选 B. 考点： 1、导数的应用；2、指数函数及方程；3、几何概型 . 3C 【解析】 试题分析：曲线 1* () n yxnN ， 1)1 (,) 1(nfxny n ，曲线y=x n+1（nN*）在（ 1，1）处的切线方程为 )1)(1(1xny ，该切线与x 轴的交点的横坐标为 1n n xn，因此。 12nxxx 1 1 1 1 . 3 2 2 1 nn
14、 n n n 考点： n xy 的导数，曲线C的切线方程，直线与x 的交点 . 4D 【解析】 试 题 分 析 ： 函 数 xfy ， 满 足2fxfx说 明 函 数 xfy 的 图 象 关 于 直 线1x对 称 ， 由 于 1xf 0x， 则当1x时， ()0 fx，函数在( ,1)为增函数， 当 1x时， ()0 fx，函数在(1， + ) 为减函数，因(1)(3)ff，若313faf，则3 11a 或 ，3 13a ，则 2 3 a或 2 3 a，选 D； 考点： 1利用导数判断函数的单调性；2借助函数图象，数形结合，解不等式 5A 【解析】 试题分析：( )1cos0fxx，所以( )
15、sin()f xxx xR单调递增，且为奇函数. 由 22 (23)(41)0f yyf xx得 22 (23)(41)f yyfxx即： 学习必备欢迎下载 2222 2341(2)(1)1yyxxxy. 作出 22 1 (2)(1)1 y xy 表示的区域如图所示： x y 11234 1 2 3 4 1 2 P E O D 1 4 PE k. 设:(1)PDyk x，由 2 |21| 1 1 kk k 得 12 3 ,0 4 kk. 结合图形可知， 13 44 k即 13 414 y x . 选 A. 考点： 1、导数及函数的性质；2、平面区域；3、不等关系 . 6B 【解析】 试题分析：
16、因为， 32 ()1 32 xmxmn x y，所以， y=x 2+mx+1 2 （m+n ）， 依题意知，方程y=0 有两个根x1、x2，且 x1（ 0，1）， x2（ 1，+）， 构造函数f （ x）=x 2+mx+1 2 （m+n ）， 所以， f00 f 10 ，即 mn0 23mn0 ， 直线 m+n=0 ，2+3m+n=0的交点坐标为（-1，1） 要使函数y=loga（x+4）（ a1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足1loga（ -1+4） loga31，解得 a3 又 a1， 1 a3，故选 B 考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。 点评：中档题，
17、本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究方程跟单分布，体现应 用数学知识的灵活性。 7A 【解析】 试题分析： 当 1 0, 2 x时， 1 0f(x) 6 ； 当 1 (,1 2 x时， 3 2 f(x) 1 x x ， 32 2 46 ( ) (1) xx fx x 0， 故函数在 1 (,1 2 x 是单调递增，所以 1 f(x)1 6 ，综上所述：0,1,0f(x)1x；又0,1x时， 3 22a(x)2 2 ga，则要 使存在 12 ,0,1x x，使得 12 fxg x成立，则值域交集非空，则 3 20 2 a且221a，所以a 1 4 , 2 3 .
18、考点： 1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算. 8B 【解析】设) 3 ,( a aP，) 3 ,( b bQ ，则 2 22 )()(PQcdba，) 3 ,( a aP的轨迹为直线 3 x y，) 3 ,( b bQ 的轨迹为 学习必备欢迎下载 双曲线 x y 3 ， 双曲线上一点) 3 ,( 0 0 x x到直线03yx的距离为 10 6 10 3 3 0 0 x x d， 22 )()(cdba的 最小值为 5 18 【命题意图】本题主要考查距离公式、基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力 9D 【解析】 试题分析：根据 12 12 ()() 2 f x
19、f x xx 可知函数的导数大于或等于2，所以 20,0 a fxxxa x ，分离参数 得2axx，而当0x时，2xx最大值为1，故1a. 考点：函数导数与不等式，恒成立问题 10D 【解析】 试题分析： 22 1220 x fxfexf，所以11220fff，01f， 22 2 x fxexx， 设 2x F xe g x， 222 22 xxx Fxgx eg x eegxg x， 由 于 2 0,20 x egxg x， 0Fx恒成立 ，所以F x单 调 递减，所以20152017FF， 4 2fe，故 有 2 20152 2017 20152017egeg，即 4 20152017g
20、e g，因此(2015)(2)(2017)gfg, 故选 D. 考点：导数的运算及利用导数研究函数的单调性 【方法点睛】本题主要考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 解答本题首先对fx求导， 求出0f，进而得到函数fx的解析式，对于0)(2)( xgxg的应用，应考虑构造函数 2x F xe g x，求 导即可得到其单调性，从而有20152017FF，整理即可得到结论，考查考生的发散思维能力和创新能力. 1121aa或 【解析】 试题分析：)2(363)( 2 aaxxxf，因为1)2(33)( 23 xaaxxxf有极大值又有极小值，所以 0)( xf有两个不相等的实根，所以21,0)2(3636 2 aaaa或. 考点：利用导数研究函数的极值. 124 学习必备欢迎下载 填 4. 【点睛 】 对于 1212 ,xAxB fxg x，转化为fx的值域g x的值域。