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1、教案说明 1、教学要求 在最新修订的全日制普通高级中学数学教学大纲中对本节课 的要求是了解数系扩充的必要性，理解复数有关概念。 在国家新课程标准下，对本节课的要求为： (1)在问题情境中了解数系扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感 受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。 因此在讲解本节课时既要通过复数概念的理解体现数学的本质 还要通过数系的扩充展现数学的人文价值。 2、教材处理： 本节课包含两个内容：数系扩充、复数的概念。 就数系扩充的内容而言， 本节课是一节介绍数学史的课程，希望
2、学生体会实际需求与数学内部矛盾在数系扩充中的作用，感受人类理 性思维的作用与现实的关系。 就复数内容而言，本节课是一堂概念课，因此如何让学生理解 相关的概念显得很重要；同时本节课也是一堂全新内容的课介 绍之前从未接触的“虚数” ，因此 “虚”的理解就成为复数概念理 解的难点，但同时也是本节课的重点。 对此，本节课由方程无实数解引入， 从而引出最开始的形式上的 “虚数” ；通过与方程在有理数域与实数域解情况的类比，指出扩展 数域的必要性。其后由卡尔丹诺的形式虚数， 顺势介绍复数系扩充史， 进而得到虚数的单位“ i ” 。 在引入复数之后， 根据研究问题的一般思路： 新概念的理解 新旧概念的对比新
3、概念的系统化。自然引出复数与实数虚数的关 系、复数大小、复数的相等等问题。 其间做一些辨析与巩固练习，以此对学过的知识加深理解。 3、教法说明： 1、数系扩充这个内容，采取问题引入，教师讲解的方式。 采取问题引入，是为了让学生体会实际需求与数学内部的矛盾 在数系扩充中的作用，进一步的感受到人类理性思维的作用以及数 与现实世界的联系，体现数学的人文价值。 在数学史的介绍中，让学生体会创新，要敢于突破，敢于质疑， 敢于提出新的看法，进而渗透德育教育。 通过对复数系的扩张，理解“i”的形成过程，有助于学生了解 虚数单位的实质，更深入的了解复数、虚数的概念，从而避免数学 的形式化。 2、复数的概念，为
4、本节课的重点。本着以人为本的原则，结合学生 的理解能力与思维方式采取引导的方法，让学生自主思考， 以引导 思路、规范过程为主， 采取探究式教学， 更多的注重课堂教学的生 成性。 在学习过程中通过归纳 （归纳出复数的一般形式） 、类比（虚数、 实数的对比）、特殊化（复数、实数、虚数的关系）等，让学生体会 开拓性研究的思路，了解处理新问题的方法。 3、例题与练习，以教材为蓝本，学生练习为主，老师巡堂、指出问题并规 范过程。 例题与练习相结合，难度上由浅入深，逐层深入，让学生的 对复数的概念形成一个理性感性理性的一个螺旋上升的 过程，从而在概念理解上更加透彻。 在巡堂过程中， 对个别的问题单独指导，
5、 对普遍出现的问题在 课堂上可以进行探究。 课题: 数系的扩充和复数的概念 教材: 人教 A版 1、教学目标 （1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的 矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感 受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系 （2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件 【教学目标说明】 德育方面： 1、通过对探究题的设置，让学生能够自然的了解研究问题的一般 方法，能够自然的提出问题， 并在老师的引导下逐步达到自主解决问题。 接下来让学生清楚研究新问题的一般流程： 新概念新旧概念的联系与区别新概念的 新性质研究 2、对数学发展史的了解和数系的
6、扩充，体现数学的人文价值，以 此激发学生的学习兴趣。 希望通过数系的扩充， 让学生体会研究过程中 有辛酸的挫折也有欣喜的成果，渗透研究精神。 能力方面： 1、类比推理能力。数系扩充类比；复数与实数类比；运算规则类 比；大小比较类比。 2、归纳整理能力。新旧知识的梳理与归纳；复数形式的归纳。 知识方面： 1、复数概念理解： 关键在于“ i”的理解。 “i”可以看作一个单位，作为纯虚数部分 的度量；也可以看成一个方向； “i”也可以类似基底进行理解。即复 数在（1，i）上分解。 2、复数相等的充要条件：从分解上讲，就比较容易理解。 2、教学重点 （1）数系的扩充过程 （2）复数的概念、复数的分类和
7、复数相等的充要条件 3、教学难点 （1）虚数单位 i的理解 （2）复数的大小比较。 3、教学方法： 讲解式、启发式、探究式 【教学方法说明】 对于复数的概念采取引导的方法，让学生自主的思考，采取探索式教 学，更多的注重生成性。 复数的概念主要3 个方面：复数的形式、 “i”的理解、复数 相等的充要条件。 复数的形式：归纳为主，将实数、虚数“一网打尽”，可以写 作“ a+bi”的形式。可以由教师引导，学生归纳 的方式。 “i”的理解：教师引导，学生讨论，教师总结的方式。一方面 能提高学生的课堂参与度， 另一方面也能够让学 生对新概念认识深刻。 复数相等的充要条件：由学生自己体会并提出来，不需要证
8、 明。但是需要让学生去结合“i”的理解，进行 类比思考。注意要强调实部虚部必须为实数。 教学手段： 多媒体辅助教学 4、教学过程 : ( 一)引入新课 . 问题 1：能否寻找两个数，使得它们的和为10，乘积为 40。 利用设元的方法，转化为一个一元二次方程求解，可以发现判别 式小于 0。工作无法继续！ 怎么办？（学生回答） 问题 2： （学生回答）考虑下列问题，你能否得到新的思路： 方程 02 2 x在已知数系中的解集探究： (1) 在有理数集中。（无有理数解） (2) 在实数集中。 (2) ( 二) 讲授新课 . 1、数系扩充引入： 问题 2 表明, 对于同一个方程在不同的数系中其解的情况是
9、不一样 的。对于问题 2 中的方程在有理数中不可解但在实数集却是可解得，由 此得到启发：对于问题 1 在实数集不可解，但是是非存在一个新的数集， 使得在新的数集上问题1 可以得到解决？如果存在， 那又是一个什么样 的数集呢？ 2、数系扩充史简述： 最早于到涉及到问题1 并提出形式解决的是1545 年意大利数学怪 杰卡尔丹诺在解决三次方程的根是遇到了一个问题：求两个数使得他 们的和为 10，乘积为 40。 卡丹得到了形式上的解决：155x，155y。但是对于 15没有给出任意的解释， 在此只是作为一个形式与开方的记号出现。 直到解析几何的开山始祖笛卡尔才开始给出了一个和实数(real numbe
10、r)对应的名称虚数（ imaginary number） 。 实际上：从形式上，11515，或者对任意的负数开方都可 以写成：1| a（a3i. 理由是 53。这个理由是不成立的。 一个通俗的、不严密的解释：因为不等式两边同时乘一个数，不等 号变向问题依赖于所乘数的正负，而显然i 是无法判断正负的。因为i 是虚数单位，而 0 是实数的范畴。 （2）虚部相同的虚数比较： 他们认为 5+3i2+3i. 其实，这个问题与上面的解释类似，都要求 对同一数域加减，而3i 是虚数，5 和 3 是实数。此种解释并不能让学 生满意，最好的解释就是类比向量。 如果这样的问题严格的解释会涉及到数域中不等关系的定义问 题，一方面是学生知识储备不足，另一方面是学生的理解能力也未必 足够，因此留作课后探究，课堂上不可涉及太多。