2013年山东高考理科数学试题及答案详解word版.pdf

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1、绝密启用并使用完毕前 2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学 本试卷分第卷和第卷两部分，共4 页，满分 150 分，考试用时120 分钟， 考试结束 后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1. 答题前， 考生务必用0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类 填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第卷必须用0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置，不能写在试卷上；如需改动

2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 如果事件 A，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A，B 独立，那么 P(AB)=P(A) P(B) ； 第卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共12 题，每小题5分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 (1). 复数z满足 (3)(2)5zi（ i 为虚数单位），则z的共轭复数z为 (A) 2i(B) 2i(C) 5i(D)5i (2). 已知集合 0

3、, 1, 2A ，则集合 ,Bxy xAyA 中元素的个数是 (A) 1(B) 3(C) 5(D)9 (3). 已知函数()fx 为奇函数，且当0x时， 2 1 ()fxx x ，则( 1)f (A) 2(B) 0(C) 1(D)2 (4). 已知三棱柱 111ABCA B C 的侧棱与底面垂直， 体积为 9 4 ， 底面是边长为3 的正三角形。 若 P 为底面 A1B1C1的中心，则PA 与平面 ABC 所成角的大小为 (A) 5 12 (B) 3 (C) 4 (D) 6 (5). 将函数()sin (2)fxx的图象沿x轴向左平移 8 个单位后， 得到一个偶函数的图象， 则的一个可能取值为

4、 (A) 3 4 (B) 4 (C)0(D) 4 (6). 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组 220 210 380 xy xy xy 所表示的区域上一动点，则直 线 OM 斜率的最小值为 (A) 2(B) 1(C) 1 3 (D) 1 2 (7). 给定两个命题，pq。若p是q的必要而不充分条件，则 p是q的 (A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件 (8). 函数cossinyxxx的图像大致为 (9). 过点 3 , 1 作圆 2 2 11xy 的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB 的方程为 (A) 230xy(B)23

5、0xy (C) 430xy(D)430xy (10). 用， ，0 19十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 (A) 243(B)252(C) 261(D)279 (11). 抛物线 2 1 1 :(0) 2 Cyxp p 的焦点与双曲线 2 2 2 :1 3 x Cy的右焦点 的连线交 1 C于第一象限的点M。若 1 C在点 M 处的切线平行于 2 C的一条渐近，则p (A) 3 16 (B) 3 8 (C) 23 3 (D) 43 3 (12). 设正实数x， y，z满足 22 340xxyyz 。则当 xy z 取得最大值时， 212 xyz 的最大值为 (A) 0(B)1 (C

6、) 9 4 (D)3 第卷（共90 分） 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分。 (13). 执行右图的程序框图，若输入的的值为 0.25，则输出的n 的值为。 (14). 在区间3, 3上随机取一个数x，使得 121xx成立的概率为。 (15). 已知向量AB与AC的夹角为120，且 3AB， 2AC。若APABAC，且APBC，则 实数的值为。 (16). 定义“正对数” ： 001 ln ln1 x x xx ，现有四个命题： 若0a，0b，则ln ()ln b aba； 若0a，0b，则ln ()lnlnabab； 若0a，0b，则ln ()lnln a ab b

7、； 若0a，0b，则ln ()lnlnln2abab 。 其中的真命题有。 （写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分。 (17).（本小题满分12 分） 设ABC的内角 A ，B ，C 所对应的边分别为,a b c，且 7 6,2, cos. 9 acbB （）求,ac的值； （）求sin()AB的值。 (18). （本小题满分12 分） 如图所示，在三棱锥PABQ中，PB平面 ABQ，BABPBQ，,DCEF分别是 ,AQBQAPBP的中点，2AQBD，PD与EQ 交于点G,PC与FQ交于点 H ，连接GH。 （）求证：/ /ABGH； （）求二面角DGHE的余弦值

8、。 (19). （本小题满分12 分） 甲乙两支排球队进行比赛，约定先胜3 局者获得比赛的胜利，比赛随机结束。 除第五 局甲队获胜的概率是 1 2 外，其余每局比赛甲队获胜概率都是 2 3 。假设各局比赛结果相互独 立。 （）分别求甲队以：，：，：303132胜利的概率； （）若比赛结果为：30或：31， 则胜利方得3 分， 对方得 0 分； 若比赛结果为：32， 则胜利方得2 分，对方得1 分。求乙队得分X的分布列及数学期望。 (20). （本小题满分12 分） 设等差数列 n a的前 n 项和为nS，且424SS，221nnaa。 （）求数列 n a的通项公式； （）若数列 n b的前 n

9、 项和为 n T ， 且（为常数） 1 2 n nn a T。令 * 2 () nn CbnN，求数列 n C的前n项和 n R。 (21). （本小题满分13 分） 已知函数 2 ( ) x x f xc e （2.71828e是自然对数的底数，cR） 。 （）求( )f x的单调区间、最大值; （）讨论关于 x的方程 ln x()fx根的个数。 (22). （本小题满分13 分） 椭圆C ： （ 22 22 10) xy ab ab 的左、右焦点分别是 12 ,FF ， 离心率为 3 2 ，过 1 F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1。 （）求椭圆C的方程 ; （）点P是椭圆C上除

10、长轴端点外的任一点，连接 12 ,PFPF。设 12 F PF的平分 线PM交C的长轴于点(, 0)M m，求m的取值范围； () 在()的条件下，过点 P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公 共点。设直线 12 ,PFPF的斜率分别为 12 ,kk。若0k，试证明 12 11 kkkk 为定值，并求 出这个定值。 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷 )详解 理科数学 一、选择题： 1. 解：由 (3)(2)5zi 得 55(2) 32 241 i zi i ，5z i ， 5zi 。答 案： D。 2. 解：0, 1, 2A ，,xAyA ，当0x时0 ,1 ,2x

11、y；当1x时 1 , 0 ,1xy；当2x时2 , 1 , 0xy。答案： C 。 3. 解：当0x时， 21 ()fxx x ， 21 (1)12 1 f ，又 ()fx 为奇函数， (1)(1)2ff。答案： A。 4. 解：三棱柱 111 ABCA B C 的体积为 9 4 ，底面是边长为 3 的正三角形， 柱 2139 (3) 224 Vh ，三棱柱的 高为3h。设o为底面 ABC的中心， P为底面 A1B1C1的中 心，PO底面 ABC ，则PAO 为 PA与平面 ABC所成角， 在直角POA 中， 3 tan3 32 23 PO PAO AO ， 60PAO。答案： B。 5. 解

12、：将函数()sin(2)fxx的图象沿x轴向左平移 8 个单位后，得函数 ()sin(2()sin(2) 84 g xxx 为一个偶函数， () 42 kkZ ，即 () 4 kkZ ， 4 。答案： B。 6. 解：画出不等式组 220 210 380 xy xy xy 所表示的区域如图，当 M 点位于 A 点时，直线OM 斜率的值最小。由 210 380 xy xy 解 得 3 1 x y ， OM 斜率的最小值为 11 33 y x 。答案： C。 7. 解：p是 q的必要而不充分条件，且pqpq，等价于 且qpqp，p 是q的充分而不必要条件。答案：A。 8. 解： 函数cossiny

13、xxx为奇函数， 答案 B不正确； 0 6 x 时，0y，答案 C不正确；x时，0y，答案A 不正确。答案：D。 9. 解：圆 2 2 11xy的圆心为(1 , 0)C，易知一个切点为(1 , 1)A， 101 312 PC k且PCAB，2 AB k ，直线AB 的方程为 12(1)yx ，即230xy。答案： A。 10. 解： （法一）用， ，0 19十个数字，可以组成的所有三位数的个数为 111 91010 900C C C，其中无重复数字的三位数的个数为 12 99 998648C A， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为900648252。答案： B。 （法二） 题目的意思是一

14、定要有重复数字，比如1 开头： 100，101，110，111，112， 113，114，115，116，117，118，119，121，122，131，133，141，144，151， 155，161， 166，171，177，181，188， 191，199。所以 1 开头有 28 个。所以共有289252个。 11. 解：抛物线 2 1 1 :(0) 2 Cyxp p 的焦点为(0 ,) 2 p F，双曲线 2 2 2 :1 3 x Cy的右焦点为 2(2 , 0) F， 直线 2 FF的方程为 1 2 2 xy p ，即 420pxyp。由 2 2 420 xpy pxyp 消y得 2

15、22 220xp xp，解得 22 1,2 16 4 ppp x， 0x， 22 16 4 ppp x。 又 1 yx p ， 1 C 在点 M 处的切线斜率为 222 16161 44 ppppp k p ，双曲线 2 2 2: 1 3 x Cy的渐近线为 3 3 yx， 2 163 43 pp ，解得 43 3 p。答案： D。 12. 解：正实数x，y，z满足 22 340xxyyz， 22 3443zxxyyxyxyxy，1 xy z 。当 xy z 取得最大值时， xyz且2xy， 2 2zy，0y， 2 212212 22xyzyyy 2 2 211 (1)11 yyy ，所以 2

16、12 xyz 的最大值为1。答案： B。 二、填空题： 13. 解： 1 2F， 0 1F，1n，0.25， 101 123FFF， 010 312FFF，112n， 1 11 0.25 3F ； 101 235FFF， 010 523FFF，213n， 1 11 0.25 5F ； 答案：3。 14. 解：使得121xx成立的数x取值区间为1 , 3，所求概 率为 311 3( 3)3 p。答案： 1 3 。 15. 解：BCABAC，APABAC，且APBC， 2 ()()()(1)APBCABACABACABABAC 22 2 ()(1)cos,0ACABABACABACAC， 向量AB

17、与AC的夹角为120，且3AB，2AC。 9(1)32cos12040，即 7 12 。答案： 7 12 。 16. 解：定义“正对数” ： 001 ln ln1 x x xx ， 对 若0a，0b，则ln ()ln b aba； 当01a，0b时，01 b a，左边 =ln ()0 b a，右边 =ln00bab， 命题成立； 当1a，0b时，1 b a， 左边 =ln ()ln()ln bb aaba， 右边 =lnlnbaba， 命题成立；所以正确。 对 若0a，0b，则ln ()lnlnabab； 当2a， 1 3 b时， 2 01 3 ab，左边 =ln ()0ab，右边 =ln 2

18、00，所 以命题不正确。 对 若 0a ， 0b ，则ln ()lnln a ab b ； 当1ab时，1 a b ，左边 =ln ()lnlnln aa ab bb ，右边 =lnlnab，命 题成立； 当1ba时，01 a b ，左边 =ln ()0 a b ，右边 =lnln0ab，命题成立； 当10ab时，1 a b ，左边 =ln ()lnlnlnln aa aba bb ，右边 =ln0lnaa，命题成立； 当10ba时，01 a b ，左边 =ln ()0 a b ，右边 =0ln0b，命题成立； 当0 1ba 时，1 a b ，左边 =ln ( )ln0 aa bb ，右边 =

19、0 00，命题成立； 当01ab时，01 a b ，左边 =ln ()0 a b ，右边 =000，命题成立； 所以正确。 对 若0a，0b，则ln ()lnlnln2abab 。 当1a，1b时，2ab，左边 =ln ()ln()abab ，右边 =lnlnln2lnlnln2ln(2)ln()ln()abababababab，命题成 立； 当1a，01b时，1ab，左边 =ln ()ln()abab ，右边 =lnlnln2ln0ln2ln(2 )ln()abaaab，命题成立； 当1b，01a时，1ab，左边 =ln ()ln()abab ，右边 =lnlnln20lnln2ln(2 )

20、ln()abbbab，命题成立； 当01a，01b时，2ab，左边 =0或左边 =ln ()ln()ababln 2，右边 =lnlnln 200ln 2ln 2ab，命题成 立； 所以正确。故答案： 。 三、解答题： 17. 解：（） 由余弦定理 222 2cosbacacB得 22 ()2(1cos )bacacB， 又 7 6,2, cos 9 acbB ，所以9ac，3a，3c。 （）在ABC中， 24 2 sin1cos 9 BB， 由正弦定理得 sin2 2 sin 3 aB A b ，因为ac，所以A为锐角， 21 cos1sin 3 AA ，因此 sin()sincosABAB

21、 10 2 cossin 27 AB。 18. （）证明：因为,DCEF分别是,AQBQAPBP的中点，所以 ,EFABDCAB，所以EFDC，又EF平面PCD，CD平面PCD， 所以EF平面PCD，又EF平面EFQ， 平面EFQ 平面PCDGH，所以EFGH，又EFAB，所以 ABGH。 （）解法一：在ABQ中，2AQBD，ADDQ， 所以 o ABQ = 90，即ABBQ，因为PB平面ABQ， PBAB， 又BPBQB，AB平面PBQ。 由（）知ABGH，GH平面PBQ，又FH平 面PBQ，GHFH。同理可得GHHC，所以 FHC为二面角DGHE的平面角。设2BABPBQ，连接、FC，在

22、R FBC t 中，由勾股定理得2FC，在R PBC t 中，由勾股定理得 5PC 。又 H为PBQ的重心， 15 33 HCPC，同理 5 3 FH。在FHC中，由 余弦定理得 55 2 4 99 cos 5 5 2 9 FHC 。即二面角DGHE的余弦值为 4 5 。 解法二：在 ABQ中，2AQBD， ADDQ，所以 o ABQ = 90，又PB平面 ABQ，,BABQBP两两互相垂直。以为坐 标原点，分别以,BABQBP所在直线为x轴，y 轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设 2BABPBQ，则(1 , 0 , 1)E， (0 , 0 , 1)F，(0 , 2 , 0)Q，(1

23、, 1 , 0)D， (0 , 1 , 0)C ，(0 , 0 , 2)P。 (1 , 2 ,1)EQ，(0 , 2 ,1)FQ， (1 ,1 , 2)DP，(0 ,1 , 2)CP。设平面EFQ的一个法向量为 111 (,)mxyz，则由 0 0 m EQ m FQ 得 111 11 20 20 xyz yz ，取 1 1y， 得(0 , 1 , 2)m； 设平面EFQ的一个法向量为 222 (,)nxyz，则由 0 0 n DP n CP 得 222 22 20 20 xyz yz ，取 2 1z，得(0 , 2 , 1)n。所以 222222 0012214 cos, 5 012021

24、m n mn mn ，因为二面角 DGHE为钝角，所以二面角DGHE的余弦值为 4 5 。 19. 解： （）记“甲队以：30胜利”为事件 1 A， “甲队以：31胜利”为事件 2 A， “甲队以：32胜利”为事件 3 A，由题意知，各局比赛结果相互独立，故 3 1 28 ()() 327 P A， 22 23 2228 ()() (1) 33327 P AC， 222 34 2214 ()() (1) 33227 P AC，所以甲队以：，：3031胜利的概率都为 8 27 ，甲队 以：32胜利的概率为 4 27 。 （） ，记“乙队以：32胜利”为事件 4 A，由题意知，各局比赛结果相互独立

25、，所以 222 44 2214 ()(1) ()(1) 33227 P AC，由题意知，随机变量X的所有可能的取值为 0 , 1 , 2 , 3，根据事件的互斥性得 1212 16 (0)()()() 27 P XP AAP AP A， 3 4 (1)() 27 P XP A ，4 4 (2)() 27 P XP A ， 3 (3)1(0)(1)(2) 27 P XP XP XP X，故乙队得分X的分布列为 乙队得分X的数学期望为 164437 0123 272727279 EX。 20. 解： （）设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，则由 42 4SS， 2 21 nn aa 得

26、11 11 4684 (21)22(1)1 adad andand ，解得 1 1a，2d，因此 * 21 , n annN。 （）由题意知， * 1 , 2 nn n TnN，当2n时， 11 () 2 nnnn n bTT 21 12 () 22 nn nn ，故 1* 221 221 (1) ( ) 24 n nnn n cbnnN，数列 n C的前n项和 01231 11111 0( )1 ( )2( )3( )(1) ( ) 44444 n n Rn，则 1234 111111 0 ( )1 ( )2 ( )3( )(1) () 444444 n n Rn，两式相减得 1231 11

27、 ( ) 3111111 44 ( )( )( )( )(1) ()(1) ( ) 1 4444444 1 4 n nnn n Rnn 1131 ( ) 334 n n ，故 1 131 (4) 94 nn n R，所以数列 n C的前n项和 1 131 (4) 94 nn n R。 21. 解： （） 2 ( ) x x f xc e ， 2 ( )(12 ) x fxx e，由 2 (12 )0 x x e解 得 1 2 x 。 当 1 2 x 时，( )0fx，( )f x为单调增函数， 当 1 2 x 时，( )0fx，( )f x 为单调减函数。函数( )f x的单调增区间为 1 (

28、,) 2 ，单调减区间为 1 (,) 2 ，最大 值为 1 11 ( ) 22 fec。 （）令 2 ( )ln( )ln,(0 ,) x g xxf xxxec x。 （1）当(1 ,)x时，ln0x，则 2 ( )ln x g xxxec， 2 2 ( )(21) x xe g xex x ，(1,)x，210x， 2 0 x e x ，于是( )0g x， 因此( )g x在(1 ,)上为单调递增函数。 （2）当(0 , 1)x时，ln0x，则 2 ( )ln x g xxxec， 2 2 ( )(21) x x e g xex x ，(0 , 1)x， 22 (1 ,) x ee， 2

29、 10 x ex，于是 2 1 x e x ，又211x， 2 210 x e x x ，即( )0g x，因此( )g x在(0 , 1)上 为单调递减函数。 综合（ 1） （2）可知，当(0 ,)x时， 2 ( )(1)g xgec。 当 2 (1)0gec，即 2 ce时，( )g x没有零点，故关于x的方程 ln x()fx根的个数为0。 当 2 (1)0gec，即 2 ce时，( )g x只有一个零点，故关于x的方程 ln x()fx根的个数为1。 当 2 (1)0gec，即 2 ce时， 当(1 ,)x时，由（）知 21 1 ( )lnln() 2 x g xxxecxecln1x

30、c。要使( )0g x，只需使 ln10xc，即 1 (,) c xe； 当(0 , 1)x时，由（）知 21 1 ( )lnln() 2 x g xxxecxecln1xc。要使( )0g x，只需 使ln10xc，即 1 (0 ,) c xe； 所以 2 ce时，( )g x有两个零点，故关于x的方程ln x()fx根的个数为2。 综上所述，当 2 ce时，关于x的方程ln x( )fx根的个数为0； 当 2 ce时，关于x的方程ln x()f x根的个数为1； 当 2 ce时，关于 x的方程ln x()f x根的个数为2。 22. 解： （）由于 222 cab，将xc代入椭圆方程（ 2

31、2 22 10) xy ab ab 得 2 b y a ，由题意知 2 2 1 b a ，即 2 2ab，又 3 2 c e a ，2a，1b，所以 椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y。 （）解法一：设 000 (,) (0)P xyy， 1( 3 , 0)F， 2( 3 , 0) F， 直线 1 PF， 2 PF的方程分别是 1 000 :(3)30 PF ly xxyy， 2 000 :(3)30 PF ly xxyy。由题意知 00 0000 2222 00 33 (3)(3) m yym yy yxyx ， 又点P在椭圆C上， 2 20 0 1 4 x y， 22 00 33 33

32、 (2)(2) 22 mm xx ， 33m， 0 22x， 00 33 33 22 22 mm xx ， 0 3 4 mx，于是 33 22 m。 解法二：设 000 (,)(0)P xyy，当 0 02x时， 当 0 3x时，直线 2 PF的斜率不存在，易知 1 ( 3 ,) 2 P或 1 (3 ,) 2 P。 若 1 ( 3 ,) 2 P，则直线 1 PF的方程为4 330xy，由题意知 3 3 7 m m，又33m， 33 4 m。若 1 (3 ,) 2 P，同理可得 33 4 m。 当 0 3x时，设直线 1 PF， 2 PF的方程分别是 1( 3)ykx， 2( 3)ykx， 由题

33、意知 1122 22 12 33 11 mkkmkk kk ， 22 1 2 2 2 1 1 (3) 1 (3) 1 km m k 。又 2 20 0 1 4 x y ， 且 0 1 0 3 y k x ， 0 2 0 3 y k x ， 222 00 222 00 4(3)4(3) (3)4(3)4 xxm mxx 22 000 22 000 38 316(34) 38 316(34) xxx xxx ， 0 0 343 334 xm mx 。 又33m， 0 02x，且 0 3x， 0 0 433 343 xm mx ，整理得 0 3 4 x m，故 3 0 2 m且 3 3 4 m。 综

34、合可得 3 0 2 m。当 0 20x时，同理可得 3 0 2 m。 综上所述，m的取值范围为 33 (,) 22 。 () 设 000 (,) (0)P xyy，则直线l的方程是 00 ()yyk xx，由 2 2 00 1 4 () x y yyk xx 消y整理得， 2222 00000 (14)8()4(2kxk yk xxykx y 22 0 1)0k x，由题意知0，即 222 0000 (4)210xkx y ky。又 2 20 0 1 4 x y， 222 0000 1680y kx y kx，故 0 0 4 x k y 。 由（）知 0 1 0 3 y k x ， 0 2 0 3 y k x ， 000 12000 33211xxx kkyyy ， 00 121200 4211111 ()()8 yx kkkkk kkxy ， 因此 12 11 kkkk 为定值，这个定值为8。