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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 数学（理工类） 本试题卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）。第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 2 至 5 页考生 作答是，须将答案答在答题卡上，在本试题作答，答题无效。满分：150 分，考试时间 150分钟。 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 第 I 卷（选择题共 50 分） 注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。 一、选择题：本答题共有10 小题，每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题 目要求的。 1、设集合02| xxA，集合04| 2 xxB，则 BA=（） A
2、、2B、2C、2 ,2D、 2、如图，在复平面内，点A 表示复数 z 的共轭复数的点是（） A、A B、B C、C D、D 3、一个几何体的三视图如图所示，则该集合体的直视图可以是（） 正视图侧视图 A B C D 俯视图 4、设Zx，集合 A是奇数集，集合 B是偶数集，若命题BxAxp2,：，则（） A、BxAxp2,：B、BxAxp2,： C、BxAxp2 ,：D、BxAxp2,： 5、函数) 22 ,0)(sin(2)(xxf的部分图象如图所示，则 ,的值分别是（） A、 3 2、B、 6 2、C、 6 4、D、 3 4、 6、抛物线xy4 2 的焦点到双曲线1 3 2 2y x的渐近线
3、的距离是（） A、 2 1 B、 2 3 C、1 D、3 7、函数 13 3 x x y的图象大致是（） A、B、C、D、 8、从 1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为ba,，共可得到balglg的不同值的 个数是（） A、9 B、10 C、18 D、20 9、节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通 电后的 4 秒内任一时刻等可能发生， 然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮， 那么这两串彩灯同时同时通 电后，它们第一次闪亮的时候相差不超过2 秒的概率是（） A、 4 1 B、 2 1 C、 4 3 D、 8 7 10、设函数为自然对
4、数的底数）eRaaxexf x ,()(若曲线xysin上存在点),( 00 yx使得 00) (yyff，则 a的取值范围是（） 、, 1 e、 1 , 1 1 e、 1, 1 e、 1, 1 1 ee 第 II 卷（非选择题共 100 分） 注意事项： 必须使用0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的大体区域内作答。作图题可先用铅笔绘出，确认 后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 11、二项式 5 )(yx的展开式中，含 32 yx的项的系数是 _ （用数字作答） . 12、在平行四边形ABCD中
5、，对角线AC与BD交于点O，AOADAB，则_. 13、设), 2 (,sin2sin，则2tan的值是 _. 14、已知)(xf是定义域为R的偶函数，当0x时，xxxf4)( 2 ，那么，不等式5)2(xf的解 集是_. 15、设 n PPP, 21 为平面内的 n个点，在平面内的所有点中， 若点P到点 n PPP, 21 的距离之和 最小，则称点P为 n PPP, 21 的一个 “ 中位点 ” ，例如，线段AB上的任意点都是端点BA,的中位点， 现有下列命题： 若三个点CBA、共线，C在线段 AB 上 ，则 C 是 A，B，C 的中位点； 直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点
6、； 若四个点DCBA、共线，则它们的中位点存在且唯一； 梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点。 其中的真命题是 _ （写出所有真命题的序号）. 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16、（本小题满分12 分） 在等差数列 n a中，8 31 aa，且 4 a为 2 a和 9 a 的等比中项，求数列 n a的首项，公差及前 n项和。 17、（本小题满分12 分） 在ABC 中， 角 A、 B、 C 的对边分别cba、， 且 5 3 )c o s (s i n )s i n (c o s 2 c o s2 2 CABBAB BA （1）求
7、Acos的值； （2）若5,24ba，求向量BA在 BC方向上的投影。 18、（本小题满分12 分） 某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在 1,2,3,.,24这 24 个整数中等可能随机产生 （I）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率)3 ,2, 1(ipi； （II） 甲乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编程写出程序重复运行n次后，统计记录输出y 的值为)3 ,2, 1(ii的频数，以下是甲乙所作频数统计表的部分数据。 甲的频数统计图（部分）乙的频数统计图（部分） 运行次数 n 输出 y 的值为 1 的频数 输出 y 的值为 2 的频数 输出 y 的值为 3 的
8、频数 30 14 6 10 . . . . 2100 1027 376 697 当2100n时，根据表中的数据， 分别写出甲、 乙所编程序各自输出y的值为)3 ,2, 1(ii的频率（用 分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合要求的可能系较大； （III ）将按程序摆图正确编写的程序运行3 次，求输出y的值为 2 的次数的分布列及数学期望。 运行次数 n 输出 y 的值为 1 的频数 输出 y 的值为 2 的频数 输出 y 的值为 3的频数 30 12 11 7 . . . . 2100 1051 696 353 19、（本小题满分12 分） 如图，在三棱柱 111 CBAABC中，侧
9、棱ABCAA底面 1 ， 1 2AAACAB，120BAC， 1 ,DD分 别是线段 11 ,CBBC的中点，P是线段AD的中点。 （I）在平面 ABC 内，试做出过点P与平面BCA 1 平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面 11A ADD； （II）设（ I）中的直线l交 AB 于点 M，叫 AC 于点 N，求二面角NMAA 1 的余弦值。 20、（本小题满分13 分） 已知椭圆)0(1 2 2 2 2 ba b y a x C：的两个焦点分别为)0, 1(),0, 1( 21 FF，且椭圆C经过点) 3 1 , 3 4 (P。 （I）求椭圆C的圆心率： （II）设过点)2,0(A的直线l与椭圆C交于NM ,两点，点Q是线段MN上的点，且 222 112 ANAMAQ ，求点Q的轨迹方程。 21、（本小题满分14 分） 已知函数 0,ln 0,2 )( 2 xx xaxx xf，其中 a是实数，设)(,( 11 xfxA，)(,( 22 xfxB为该函数图象上的 点，且 21 xx. （I）指出函数)(xf的单调区间； （II）若函数)(xf的图象在点BA,处的切线互相垂直，且0 2 x，求 12 xx的最小值； （III ）若函数)(xf的图象在点BA,处的切线重合，求 a的取值范围。 2013年四川高考数学（理科卷） 参考答案