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1、精心整理 精心整理 一次函数与二次函数可能有一个焦点或两个焦点或没有交点，对于两个 （1）求二次函数表达式时要填写最终的一般式 （2）由一般式变顶点式时，可通过两个方法 方法一：通过定点坐标公式直接代入顶点式中，有一点需要注意，（X-h） 方法二：可通过配方法解决问题 1如图，将抛物线M1:xaxy4 2 向右平移 3 个单位， 再向上平移 3 个单位，得到抛物线M2，直线xy与 M1 的一个交点记为 A，与 M2的一个交点记为B，点 A的 横坐标是 3. （1）求a的值及 M2的表达式； （2）点C是线段AB上的一个动点，过点 C作x轴的 垂线，垂足为 D，在CD的右侧作正方形 CDEF.
2、当点 C的横坐标为 2时，直线nxy恰好经过 正方形 CDEF的顶点F，求此时n的值； 在点 C的运动过程中，若直线nxy与正方形 CDEF始终没有公共点， 求n 的 取值范围（直接写出结果）. 27.解： （1）点 A在直线xy，且点 A的横坐标是 3， A(3，3).1 分 把 A(3，3)代入xaxy4 2 ， 解得 a=1.2 分 M1:xxy4 2 ，顶点为 (2，4). M2的顶点为 (1，1). M2的表达式为xxy2- 2 . 3 分 （2）由题意， C(2，2)， F(4，2).4 分 直线nxy经过点 F， 2=4+n. 解得n=2. 5 分 n3，n6. 7 分 一次函数
3、与二次函数图像的结合，一定要多画图像进行观察通常是找临界点进行观 察计算 精心整理 精心整理 27在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 21 21 2 yaxxa与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交 于 A，B两点（点 A 在点 B左侧） ，且点 A的横坐标为 -1 （1）求 a 的值； （2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P，求点P的坐标； （3）将抛物线在A，B 两点之间的部分（包括A，B 两点） ，先向下平移 3 个单 位，再向左平移m（0m）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象 G 与直线PP无交点，求 m的取值范围 27解： （1）A（-1，0）在抛物线 21 21 2 yaxx
4、a上， 1 210 2 axa，.1 分 解得2a， .2 分 （2）抛物线表达式为 2 23yxx 抛物线 2 23yxx的顶点 P的坐标为（ 1，4） .3 分 （会配方，套公式给1 分） 点 P关于原点的对称点为P， P的坐标为（ -1，-4） .4 分 （3）直线PP的表达式为4yx， . .5 分 图象向下平移 3 个单位后，A的坐标为（ -1，-3） ，B的坐标为（ 3，-3） ， 若图象 G与直线PP无交点，则B要左移到M及左边， 令3y代入PP，则 3 4 x，M的坐标为 3 , 3 4 ， 6 分 315 3 44 BM= ， x y O 2 2 -2 -2 x y M A
5、B O P C B A P 精心整理 精心整理 O y x 15 4 m 7 分 二次函数与斜率不确定的一次函数结合题型，判断交点问题 27已知：关于 x的一元二次方程 x 2+(m+1)x+(m+2)=0（m0） （1）求证：该方程有两个不相等的实数根； （2）当抛物线 y=x 2+(m+1)x+(m+2)经过点 （3，0） ，求该抛物线的表达式； （3）在（ 2）的条件下，记抛物线y=x 2+(m+1)x+(m+2) 在第一象限之间的部分为图象G，如果直线 y=k(x+1)+4 与图象 G 有公共点，请结合函数 的图象，求直线y=k(x+1)+4 与 y轴交点的纵坐标t的取值范围 27 （
6、本小题满分 7 分） （1）证明： =(m+1)24(1)(m+2) =(m+3) 2. 1 分 m0， (m+3)20， 即0， 原方程有两个不相等的实数根.2 分 （2）解：抛物线抛物线y=x2+(m+1)x+(m+2)经过点（ 3，0） ， 32+3(m+1)+(m+2)=0，3 分 m=1. y=x2+2x+3. 4 分 （3）解： y=x 2+2x+3=(x1)2+4， 该抛物线的顶点为（ 1，4）. 当直线 y=k(x+1)+4 经过顶点（ 1，4）时， 4=k(1+1)+4， k=0， y=4. 此时直线 y=k(x+1)+4 与 y轴交点的纵坐标为4. 5 分 y=x 2+2x
7、+3， 当 x=0 时，y=3， 该抛物线与 y 轴的交点为（ 0，3）. 此时直线 y=k(x+1)+4 与 y轴交点的纵坐标为3. 6 分 精心整理 精心整理 3t4.7 分 一次函数与二次函数焦点个数问题 27在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 2yxmxn经过点A（-1，a） ，B（3，a） ，且 最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a的值； （2）设抛物线顶点 C关于 y 轴的对称点为点 D，点 P是抛物线对称 轴上一动点，记抛物线在点A，B 之间的部分为图 象 G（包含 A，B两点） .如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点， 结合函数图象， 求点 P纵 坐标 t
8、 的取值范围 . 27.解： （1）抛物线 2 2yxmxn过点 A（-1，a） ，B（3，a） ， 抛物线的对称轴x=1.1 分 抛物线最低点的纵坐标为-4， 抛物线的顶点是（ 1，-4） .2 分 抛物线的表达式是 2 2(1)4yx， 即 2 242yxx.3 分 把A（-1，a）代入抛物线表达式，求出 4a.4 分 （2）抛物线顶点(1, 4)C关于 y 轴的对称点为点 D，( 1, 4)D 求出直线CD的表达式为4y.5 分 求出直线BD的表达式为22yx，当1x时，0y.6 分 所以40t.7 分 4 4 4 4 1 2 3 1 2 3 321213xO y 精心整理 精心整理 二
9、次函数与一次函数结合焦点个数问题，多画图进行判断，注意临界点 27在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点 A，顶点为点 B，点 C与点 A关于抛物线的对称轴对称 （1）求直线 BC的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点D 的横坐标为 4将抛物线在点A，D 之间的部分（包 含点 A，D）记为图象 G，若图象 G 向下平移t（0t）个单位后与直线BC 只有一个 公共点，求t的取值范围 27.(本小题满分 7 分) 解： （1）抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点 A， 点 A 的坐标为（ 0，2） 1分 2211 ( 2 3 2 )21 2 yxxx， 抛物
10、线的对称轴为直线1x，顶点 B 的坐标为（ 1， 3 2 ） 2 分 又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称， 点 C的坐标为 (2， 2)， 且点 C在抛物线上 设直线 BC 的解析式为ykxb 直线 BC 经过点 B （1，3 2 ）和点 C(2，2)， 3 2 22. ，kb kb 解得 1 2 1. k b ， 直线 BC 的解析式为 1 1 2 yx3分 （2）抛物线 2 2 1 2 yxx中， 当4x时，6y， 点 D 的坐标为 (4，6)4分 直线 1 1 2 yx中， 当0x时，1y， 当4x时，3y， x y O 5432112345 7 6 5 4 3 2 1 1 2
11、3 4 5 6 7 F E D A B C 精心整理 精心整理 如图，点E 的坐标为 (0，1)， 点 F 的坐标为 (4，3) 设点 A 平移后的对应点为点A，点 D 平移后的对应点为点D 当图象 G 向下平移至点A与点 E 重合时，点D在直线 BC 上方， 此时 t=1；5分 当图象 G 向下平移至点D与点 F 重合时，点A在直线 BC下方，此时t=3 6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是 13t 7分 27在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 2yxmxn经过点A（-1，a） ，B（3，a） ，且 最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a的值； （2）设抛物线顶点 C
12、关于 y 轴的对称点为点 D，点 P是抛物线对称 轴上一动点，记抛物线在点A，B 之间的部分为图 象 G（包含 A，B两点） .如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点， 结合函数图象， 求点 P纵 坐标 t 的取值范围 . 27.解： （1）抛物线 2 2yxmxn过点 A（-1，a） ，B（3，a） ， 抛物线的对称轴x=1.1 分 抛物线最低点的纵坐标为-4， 抛物线的顶点是（ 1，-4） .2 分 抛物线的表达式是 2 2(1)4yx， 即 2 242yxx.3 分 把A（-1，a）代入抛物线表达式，求出4a.4 分 4 4 4 4 1 2 3 1 2 3 321213xO y 精心
13、整理 精心整理 （2）抛物线顶点(1, 4)C关于 y 轴的对称点为点 D，( 1, 4)D 求出直线CD的表达式为4y.5 分 求出直线BD的表达式为22yx，当1x时，0y.6 分 所以40t.7 分 27在平面直角坐标系xOy中，抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点 A，顶点为点 B，点 C与点 A关于抛物线的对称轴对称 （1）求直线 BC的解析式； （2）点 D 在抛物线上，且点D 的横坐标为 4将抛物线在点A，D 之间的部分（包 含点 A，D）记为图象 G，若图象 G 向下平移t（0t）个单位后与直线BC 只有一个 公共点，求t的取值范围 27.(本小题满分 7 分) 解： （
14、1）抛物线 2 2 1 2 yxx与y轴交于点 A， 点 A 的坐标为（ 0，2） 1分 2211 ( 2 3 2 )21 2 yxxx， 抛物线的对称轴为直线1x，顶点 B 的坐标为（ 1， 3 2 ） 2 分 又点 C 与点 A 关于抛物线的对称轴对称， 点 C的坐标为 (2， 2)， 且点 C在抛物线上 设直线 BC 的解析式为ykxb 直线 BC 经过点 B （1，3 2 ）和点 C(2，2)， 3 2 22. ，kb kb 解得 1 2 1. k b ， 直线 BC 的解析式为 1 1 2 yx3分 （2）抛物线 2 2 1 2 yxx中， 当4x时，6y， 点 D 的坐标为 (4，
15、6)4分 x y O 5432112345 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 F E D A B C 精心整理 精心整理 直线 1 1 2 yx中， 当0x时，1y， 当4x时，3y， 如图，点E 的坐标为 (0，1)， 点 F 的坐标为 (4，3) 设点 A 平移后的对应点为点A，点 D 平移后的对应点为点D 当图象 G 向下平移至点A与点 E 重合时，点D在直线 BC 上方， 此时 t=1；5分 当图象 G 向下平移至点D与点 F 重合时，点 A 在直线 BC下方，此时t=3 6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是 13t 7分 27二次函数 2 (0)yax
16、bxc a的图象与一次函数 1 yxbk 的图象交于) 10( ，A、B 两点，(1,0)C为二次函数图象的顶点 . （1）求二次函数 2 (0)yaxbxc a的表达式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象和一次函 数 1 yxbk 的图象； （3）把（ 1）中的二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象平移后得到新的二次函数 2 2 (0,)yaxbxcm am为常数的图象, .定义新函数 f： “ 当自变量 x任取一值时， x对应的函数值分别为 1 y或 2 y，如果 1 y 2 y，函数 f的函数值等于 1 y、 2 y中的 较小值 ;如果 1
17、 y= 2 y，函数 f 的函数值等于 1 y（或 2 y）. ” 当新函数 f 的图象与 x 轴有三个交点时 ,直接写出 m的取值范围 . 27.解： （1）设抛物线解析式为 2 )1(xay， 由抛物线过点)10( ，A，可得12 2 xxy (2分) （2）如图： (5 分) x 精心整理 精心整理 -1 1 2 3 4 5 -1-2-3-4-5 54321 x O y （3）-4m0(7 分) 注意区间是否含有 27.已知二次函数的图象 1 C3)两点 （1）求1C对应的函数表达式； （2）将 1 C先向左平移 1 个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线 2 C，将 2 C对应的 函数
18、表达式记为 2 2 yxmxn，求 2 C对应的函数表达式； （3）设 3 23yx ，在（2）的条件下，如果在 2xa 内存在 某一个 x 的值，使 得 2 y 3 y成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围 27 解：（1） 二次函数 2 1 yxbxc的图象 1 C经过( 1,0)，(0, 3)两点， 10, 3. bc c 1 分 解得 2, 3. b c 2 分 抛物线 1 C的函数表达式为32 2 1 xxy 3 分 （2） 22 1 23=(1)4yxxx， 抛物线 1C的顶点为 (1, 4)4 分 平移后抛物线 2 C的顶点为(0,0)，它对应的函数表达式为 2 2 yx5分
19、（3） a1（见图 7） 7 分 23. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 22 +22ymxxm的开口向下，且抛物线与y轴 的交于点A，与x轴交于B，C两点， （B在C左侧） . 点A的纵坐标是3. （1）求抛物线的解析式； （2）求直线AB的解析式； 图 7 精心整理 精心整理 （3）将抛物线在点C左侧的图形（含点C）记为G. 若直线(0)ykxn n与直线AB平行，且与 图形G恰有一个公共点，结合函数图象写出 n的 取值范围 . 23. (1) 抛物线 22 +21ymxxm与 y 轴的交点 A的纵坐标是 3 22 0 +2023mm解得：1m1分 抛物线开口向下1m 抛物线的解析式为
20、2 +23yxx 2 分 (2)由（1）可知( 1,0),(3,0)BC.设AB的解析式为ykxm. 则 3 0 m km 解得: 3 3 m k AB 的解析式为：33yx. 4分 (3)当3yxn经过(3,0)点时，9n.5 分 结合图象可知，n的取值范围是9n. 7 分 27抛物线cbxxyC 2 1 2 1 :与y轴交于点 C(0，3)，其对称轴与x轴交于点 A(2，0) （1）求抛物线 1 C的解析式； （2） 将抛物线 1 C适当平移，使平移后的抛物线 2 C的顶点为 D(0，k) 已知点 B(2， 点 ，2)， 若抛物线 2 C与OAB的边界总有两个公共 请结合函数图象，求k的取
21、值范围 3)，27 解：（1） 抛物线cbxxy 2 2 1 与y轴交于点 C(0， 1 1 2 A C O x y B 精心整理 精心整理 3c； 1 分 抛物线cbxxy 2 2 1 的对称轴为2x， 2 2 1 2 b ， 解得2b， 2 分 抛物线 1 C的解析式为32 2 12 xxy 3 分 （2）由题意，抛物线 2 C的解析式为kxy 2 2 1 4 分 当抛物线经过点A(2，0)时，02 2 1 2 k， 解得2k 5 分 O(0，0)，B(2，2)， 直线 OB的解析式为xy 由 kxy xy 2 2 1 , ， 得 022 2 kxx， （*） 当 k214)2( 2 0，即 2 1 k时，6 分 抛物线 2 C与直线 OB只有一个公共点， 此时方程（ *）化为012 2 xx， 解得1x， 即公共点 P的横坐标为 1，点 P 在线段 OB上 k的取值范围是 2 1 2k 7 分 1 1 2 A C O x y B 1 2 E O D H B C A